2023屆新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第25講 蝴蝶問題含解析

1、2023屆新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第25講 蝴蝶問題一、解答題 1在平面直角坐標系中，已知圓，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，設(shè)點的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程；(2)若，設(shè)過點的直線與曲線分別交于點，其中，求證：直線必過軸上的一定點。(其坐標與無關(guān))2已知橢圓的左右頂點分別為點，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.3已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，

2、N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k12k2，求直線l斜率的值4已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：5已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，線段的中點為，直線與橢圓交于，證明：.6如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點求證：點的縱坐標為定值

3、37已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（）求橢圓方程；（）設(shè)為橢圓右頂點，過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于，兩點（異于），直線，分別交直線于，兩點. 求證：，兩點的縱坐標之積為定值.8已知橢圓經(jīng)過點，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點且斜率存在的直線交橢圓于兩點，點與點關(guān)于坐標原點對稱連接求證：存在實數(shù)，使得成立9已知點在橢圓：上，為坐標原點，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點的直線：（且）與橢圓交于，兩點，關(guān)于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，求證：.10橢圓（）的左、右焦點分別為，在橢圓上，的周長為，

4、面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，探索與的斜率之比是否為定值并說明理由.11已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，的面積是的面積的倍（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，指出與之間的關(guān)系，并說明理由12已知橢圓C的方程為，在橢圓上，離心率，左、右焦點分別為、（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A，B兩點，連接并延長交橢圓C于D、E兩點，連接，求的值13如圖，B，A是橢圓的左、右頂點，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，.（1）求證

5、：；（2）若直線PQ過定點，求證：.14已知橢圓：的焦距為4，且點在橢圓上，直線經(jīng)過橢圓的左焦點，與橢圓交于兩點，且其斜率為，為坐標原點，為橢圓的右焦點.（1）求橢圓的方程； （2）設(shè)，延長分別與橢圓交于兩點，直線的斜率為，求證：為定值.15已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點（I）求橢圓的標準方程（II）設(shè)，延長，分別與橢圓交于，兩點，直線的斜率為，求證：為定值第25講 蝴蝶問題一、解答題 1在平面直角坐標系中，已知圓，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，設(shè)點的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程；(2)若，設(shè)過點的直線與曲線

6、分別交于點，其中，求證：直線必過軸上的一定點。(其坐標與無關(guān))【答案】(1) ； (2) 證明見解析【分析】（1）由橢圓的定義可直接求出求曲線的方程；（2）先求出直線的方程，再分別與橢圓聯(lián)立方程組，求出兩點的坐標并寫出直線的方程【詳解】（1）在線段的垂直平分線上，由橢圓的定義知點的軌跡是以為焦點，6為長軸長的橢圓，曲線的方程為：。（2）點的坐標為直線方程為：，即，直線方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：.當時，直線方程為：令，解得：。此時必過點；當時，直線方程為：，與軸交點為。所以直線必過軸上的一定點?！军c睛】本題主要考查利用定義法求橢圓的標準方程及圓錐曲線中的定點問題，計算

7、量大，第二問難度大，是高考壓軸題。2已知橢圓的左右頂點分別為點，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題知，解方程即可得，故橢圓的方程是.（2）先討論斜率不存在時的情況易知直線，的交點的坐標是.當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，進而聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理得，直線的方程是，直線的方程是，進而計算得時的縱坐標，并證明其相等即可.【詳解】解：（1）因為，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）若直線的斜率不存在時，如圖，因為橢圓的右焦點為，所以直線的方程是

8、.所以點的坐標是，點的坐標是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點的坐標是.所以點在直線上.若直線的斜率存在時，如圖.設(shè)斜率為.所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，整理得.顯然.不妨設(shè)，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子.所以點在直線上.【點睛】本題第二問解題的關(guān)鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當直線斜率存在時，設(shè)，寫出直線的方程是和直線的方程是，進而計算得時的縱坐標相等即可.考查運算求解能力，是中檔題.3已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大

9、于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k12k2，求直線l斜率的值【答案】（1）1；（2）.【分析】(1)由橢圓的離心率,和點P在橢圓上求出橢圓的標準方程;(2) 由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為ykx1, 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2), 聯(lián)立方程組消去y,再將k12k2用坐標表示,利用點在橢圓上和韋達定理求出直線l的斜率.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以a2c.又因為a2b2c2，所以bc.所以橢圓的標準方程為1.又因為點P為橢圓上一點，所以1，解得c1.所以橢圓的標準方程為1.(2) 由橢圓的對稱性可知直線l的斜率

10、一定存在，設(shè)其方程為ykx1.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立方程組消去y可得(34k2)x28kx80.所以由根與系數(shù)關(guān)系可知x1x2，x1x2.因為k1，k2，且k12k2，所以.即.又因為M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，所以 (4)， (4)將代入可得：，即3x1x210(x1x2)120.所以310120，即12k220k30.解得k或k，又因為k1，所以k.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓的標準方程和橢圓的幾何性質(zhì),考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.4已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程

11、；（2）設(shè)不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)a=2b，再將點代入橢圓方程，解方程組即可求解.（2）設(shè)直線l的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理可得M點坐標為，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓聯(lián)立，求出點，根據(jù)兩點間的距離公式即可求解.【詳解】（1）由已知，a=2b.又橢圓過點，故，解得.所以橢圓E的方程是.（2）設(shè)直線l的方程為， ，由方程組 得，方程的判別式為，由，即，解得.由得.所以M點坐標為，直線OM方程為，由方程組，得.所以.又.所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛

12、：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出M點坐標，考查了計算能力.5已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，線段的中點為，直線與橢圓交于，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)b=1，結(jié)合解方程組即可求解；（2）設(shè)直線l的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理可得中點，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓聯(lián)立，求出點，根據(jù)兩點間的距離公式即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意： ，所以橢圓G的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為： 由 消去得： 即，需 即 ， 設(shè)，中點，則，那么直線的方程為:即，由 ，不妨令 ，那么

13、，所以 |MC|MD|=|ME|MF|.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理可得中點，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓再次聯(lián)立，求出點，考查了分析問題、解決問題能力，以及計算能力.6如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點求證：點的縱坐標為定值3【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由得，再根據(jù)焦距等于其長半軸長可求，故可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線方程為，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：（2）由題意知直線的斜

14、率存在，設(shè)其方程為，用的橫坐標表示的縱坐標，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達定理化簡的縱坐標后可得所求的定值.設(shè)（），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，由得，故，整理得到，故故點的縱坐標為3【點睛】求橢圓的標準方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.7已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的

15、短半軸長為半徑的圓與直線相切.（）求橢圓方程；（）設(shè)為橢圓右頂點，過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于，兩點（異于），直線，分別交直線于，兩點. 求證：，兩點的縱坐標之積為定值.【答案】（）；（）詳見解析.【分析】（）求出后可得橢圓方程.（）當直線的斜率不存在，計算可得兩點的縱坐標之積為.當直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理化簡后可得定值.【詳解】解：（）因為以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，所以半徑等于原點到直線的距離，即.由離心率，可知，且，得.故橢圓的方程為. （）由橢圓的方程可知.若直線的斜率不存在，則直線方程為，所以.則直線的

16、方程為，直線的方程為.令，得，.所以兩點的縱坐標之積為.若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,由得，依題意恒成立.設(shè)， 則. 設(shè)，由題意三點共線可知，所以點的縱坐標為.同理得點的縱坐標為.所以綜上，兩點的縱坐標之積為定值.【點睛】求橢圓的標準方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組，消元后得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關(guān)系式，該關(guān)系式中含有或，最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值等問題.8已知橢圓經(jīng)過點，離心率為（1）

17、求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點且斜率存在的直線交橢圓于兩點，點與點關(guān)于坐標原點對稱連接求證：存在實數(shù)，使得成立【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由點可得,由,根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得；由點B與點Q關(guān)于原點對稱,可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設(shè)直線的方程為，聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因為,所以,又因為點B與點Q關(guān)于原點對稱,所以,即,則有,由點在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實數(shù),使成立【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用,考查運算能力.9

18、已知點在橢圓：上，為坐標原點，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點的直線：（且）與橢圓交于，兩點，關(guān)于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，求證：.【答案】（）（）見解析【分析】（）根據(jù)橢圓的中點弦所在直線的斜率的性質(zhì)，得到，得到，再結(jié)合橢圓所過的點的坐標滿足橢圓方程，聯(lián)立方程組，求得，進而求得橢圓的方程；（）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用韋達定理得到兩根和與兩根積，將證明結(jié)果轉(zhuǎn)化為證明直線，的斜率互為相反數(shù)，列式，可證.【詳解】（）由題意，即 又聯(lián)立解得所以，橢圓的方程為：.（）設(shè)，由，得，所以，即，又因為，所以，解法一：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明

19、直線，的斜率互為相反數(shù)，只需證明，即證明. ，.解法二：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明直線，與軸交點、連線中點的縱坐標為，即垂直平分即可.直線與的方程分別為：，分別令，得，而，同解法一，可得，即垂直平分.所以，.【點睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何的問題，涉及到的知識點有橢圓方程的求解，用到的結(jié)論有橢圓中點弦所在直線的斜率的特征，再者就是直線與橢圓相交的綜合題，認真審題是正確解題的關(guān)鍵，注意正確的等價轉(zhuǎn)化.10橢圓（）的左、右焦點分別為，在橢圓上，的周長為，面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，探索與的斜率之比是否為定值并說明理由.【答案】（I）；（II

20、）.【分析】利用的周長為，面積的最大值為列出方程求出a，b即可得到橢圓方程設(shè)，則直線AD：，代入C：，結(jié)合，代入化簡得，設(shè)，利用韋達定理通過斜率關(guān)系，化簡求解即可【詳解】，得，所以橢圓C的方程為：設(shè)，則直線AD：，代入C：得，因為，代入化簡得，設(shè)，則，所以，直線，同理可得，所以，所以：【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力11已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，的面積是的面積的倍（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，指出與之間的關(guān)系，并說明理由【答案】(1);(2)見解析

21、.【解析】【分析】（1）由題意可求得，從而可得橢圓的方程（2）設(shè)，則，可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，然后根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到點的坐標同理可得點的坐標，最后通過計算可得【詳解】（1）由的面積是的面積的倍，可得，即，又，所以，由在橢圓上，可得，所以，可得，所以橢圓的方程為 （2）設(shè)，則，故直線的方程為，由消去整理得， 又，代入上式化簡得，設(shè)，則，所以，又直線的方程為，同理可得， 所以kDE所以【點睛】在解答直線和圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，一般要遇到大量的運算，所以在解題時為了減少運算量要注意合理運用“設(shè)而不求”、“整體代換”等方法的運用，以減少運算，提高解題的效率，

22、盡量避免出現(xiàn)計算中的錯誤12已知橢圓C的方程為，在橢圓上，離心率，左、右焦點分別為、（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A，B兩點，連接并延長交橢圓C于D、E兩點，連接，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由在橢圓上，得到，再根據(jù)和，求得的值，即可求解；（2）設(shè)，得到直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合，求得，同理求得，結(jié)合斜率公式，化簡，即可求解.【詳解】（1）由在橢圓上，可得，又由離心率，可得，且，解得，所以橢圓C的方程為（2）設(shè)，則，直線，代入，得，因為，代入化簡得，設(shè)，則，所以，直線：，同理可得，化簡得，故，即，所以又，所以【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線

23、的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力13如圖，B，A是橢圓的左、右頂點，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)，代入斜率公式求；（2）設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，再根據(jù)（1）的結(jié)論證明.【詳解】（1）設(shè) ；（2）設(shè)直線的方程是，設(shè) 與橢圓方程聯(lián)立， 得：

24、 ， ， ， ， ,由（1）可知，兩式消去，解得：.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值和定點，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和計算能力，屬于中檔題型，第二問中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達定理，弦長公式都是解題的基本工具.14已知橢圓：的焦距為4，且點在橢圓上，直線經(jīng)過橢圓的左焦點，與橢圓交于兩點，且其斜率為，為坐標原點，為橢圓的右焦點.（1）求橢圓的方程； （2）設(shè)，延長分別與橢圓交于兩點，直線的斜率為，求證：為定值.【答案】(1) (2)見解析 【詳解】試題分析：（1）由題意知，且解得，故橢圓的方程為.（2）聯(lián)立 得，同理得的坐標為

25、，表示整理得，從而為定值.試題解析：（1）由題意知，且解得橢圓的方程為.（2）由（1）可得，設(shè)，可得：，聯(lián)立方程 ，同理，直線與橢圓交點的坐標為設(shè)：，代入可得，為定值.點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).15已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點（I）求橢圓的標準方程（II）設(shè)，延長，分別與橢圓交于

26、，兩點，直線的斜率為，求證：為定值【答案】（I）；（II）見解析.【解析】試題分析：（I）依題意,得,再由求得,從而可得橢圓的標準方程;（II）設(shè)，可求得直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,由韋達定理可求得,進一步可求, 同理,從而可得,化簡運算即可.試題解析：（I）由題意，得解得，故橢圓的方程為（II）設(shè)，由已知，直線的方程為，即由消去并整理，得則，同理，為定值點睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在

27、的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用第26講 外接圓問題一解答題 1已知拋物線，是的準線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，（1）當點在軸上時，求切線，的方程；（2）設(shè)圓是的外接圓，當圓的面積最小時，求圓的方程2已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切（）求動圓的圓心軌跡的方程；（）過點的直線與曲線相交于，兩點，分別過點，作曲線的切線，兩條切線相交于點，求外接圓面積的最小值3已知橢圓的兩個焦點分別為和，、是橢圓短軸的兩端點，過點的直線與橢圓相交于另一點，且求橢圓的離心率；設(shè)直線上有一點，

28、在的外接圓上，求的值4已知橢圓經(jīng)過點，且其離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點，橢圓與軸的正半軸相交于點，經(jīng)過點的直線與橢圓相交于另一點，且滿足，求外接圓的方程5已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且過拋物線的焦點（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，過作兩條直線和，其斜率分別為、，滿足，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點，與軸相交于，兩點，使得，求證：的外接圓過點；（3）設(shè)拋物線的準線為，是拋物線上的兩個動點，且滿足，線段的中點為，點在上的投影為，求的最大值6如圖，在平面直角坐標系中，已知，直線與線段、分別交于點、（）當時，求以，為焦點，且過中點的橢圓的標準

29、方程；（）過點作直線交于點，記的外接圓為圓求證：圓心在定直線上；圓是否恒過異于點的一個定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由7已知的邊邊所在直線的方程為點關(guān)于點的對稱點為，點在邊所在直線上且滿足求邊所在直線的方程；求的外接圓的方程；若點的坐標為，其中為正整數(shù)試討論在的外接圓上是否存在點，使得成立？說明理由8過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，（） 證明：為定值；（） 記的外接圓的圓心為點，點是拋物線的焦點，對任意實數(shù)，試判斷以為直徑的圓是否恒過點？并說明理由9已知拋物線，為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，（1）當?shù)淖鴺藶闀r，求過，三點的圓的方程；（2）若，是上的任意

30、點，求證：點處的切線的斜率為；（3）證明：以為直徑的圓恒過點10（2020廣州一模）已知點是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是的外接圓的圓心，求點的軌跡方程第26講 外接圓問題一解答題 1已知拋物線，是的準線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，（1）當點在軸上時，求切線，的方程；（2）設(shè)圓是的外接圓，當圓的面積最小時，求圓的方程【解答】解：（1）拋物線，準線的方程，點在軸上，設(shè)，且，由，求導，解得，切線的方程為，即，同理可得切線的方程為，（2）如圖：設(shè)點，設(shè)過點與拋物線相切的直線方程為，由，即切線，互相垂直即是直角三角形，的外接圓直徑為弦當圓的面

31、積最小時，即是最短時，此時垂直軸，的外接圓圓心為，圓的方程為2已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切（）求動圓的圓心軌跡的方程；（）過點的直線與曲線相交于，兩點，分別過點，作曲線的切線，兩條切線相交于點，求外接圓面積的最小值【解答】解：（）設(shè)點到直線的距離為，依題意設(shè)，則有化簡得所以點的軌跡的方程為（）設(shè)，代入中，得設(shè)，則，所以因為，即，所以所以直線的斜率為，直線的斜率為因為，所以，即為直角三角形所以的外接圓的圓心為線段的中點，線段是直徑因為，所以當時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為3已知橢圓的兩個焦點分別為和，、是橢圓短軸的兩端點，過點的直線與橢圓相交于另一點，且求橢圓

32、的離心率；設(shè)直線上有一點，在的外接圓上，求的值【解答】解：（），且，是和的中點，不妨設(shè)，由，代入得：，即橢圓的離心率；（）由（）知，得，橢圓的方程可設(shè)為若，則，線段 的垂直平分線的方程為，直線與軸的交點是外接圓的圓心因此，外接圓的方程為直線的方程為，于是點的坐標滿足方程組：，由，解得故；若，則，同理可得4已知橢圓經(jīng)過點，且其離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點，橢圓與軸的正半軸相交于點，經(jīng)過點的直線與橢圓相交于另一點，且滿足，求外接圓的方程【解答】解：（1）橢圓經(jīng)過點，橢圓的離心率為，即聯(lián)立解得：，橢圓的方程為；（2）橢圓的方程為，設(shè)，則，且，即，聯(lián)立解得：，或，或，當為時，的外

33、接圓是以為圓心，1為半徑的圓，此時外接圓的方程為：；當為時，設(shè)的外接圓方程為：，則，解得，此時外接圓的方程為：，綜上所述，的外接圓的方程為：或5已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且過拋物線的焦點（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，過作兩條直線和，其斜率分別為、，滿足，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點，與軸相交于，兩點，使得，求證：的外接圓過點；（3）設(shè)拋物線的準線為，是拋物線上的兩個動點，且滿足，線段的中點為，點在上的投影為，求的最大值【解答】（1）解：由已知，設(shè)橢圓的方程為，則，離心率為，橢圓的方程為；（2）證明：由題意，并且和，關(guān)于軸對稱，與，與也分別關(guān)于軸對稱，

34、的方程代入橢圓方程，可得，或，或，直線是橢圓的上半部分相交，和的方程分別為或，令，可得，四點共圓，的外接圓過點；（3）設(shè)，則，由拋物線的定義及梯形的中位線定理可得，時，的最大值為6如圖，在平面直角坐標系中，已知，直線與線段、分別交于點、（）當時，求以，為焦點，且過中點的橢圓的標準方程；（）過點作直線交于點，記的外接圓為圓求證：圓心在定直線上；圓是否恒過異于點的一個定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由【解答】解：（）設(shè)橢圓的方程為，當時，中點為，所以，橢圓的標準方程為；（）證明：直線；所以可得，直線交于點，設(shè)的外接圓的方程為，則圓心坐標為圓心在定直線上；由可得圓的方程為：整理可得，且聯(lián)

35、立此兩方程解得，或，圓恒過異于點的一個定點，該點的坐標為，7已知的邊邊所在直線的方程為點關(guān)于點的對稱點為，點在邊所在直線上且滿足求邊所在直線的方程；求的外接圓的方程；若點的坐標為，其中為正整數(shù)試討論在的外接圓上是否存在點，使得成立？說明理由【解答】解：，又在上，為，（1分）又邊所在直線的方程為，所以直線的斜率為（2分）又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為即（3分）與的交點為，所以由解得點的坐標為，（5分）（6分）又（7分）從外接圓的方程為：（8分）若在的外接圓圓上存在點，使得成立，則為線段的垂直平分線與圓的公共點所以當與圓相離時，不存在滿足條件的點；當與圓相交或相切時則存在滿足條件的點由，知的斜率為，線段的中點為線段的垂直平分線為（10分）圓的圓心到直線的距離為（11分）當時，此時直線與圓相交，存在滿足條件的點當時，此時直線與圓相交，存在滿足條件的點當時，此時直線與圓相離，不存在滿足條件的