老師1份初三1對(duì)2二次函數(shù)教案

1、文檔編碼 : CM7Y3Q2J3P10 HE5N5B5X10S8 ZI1R6Z8Q9R1二次函數(shù)1. 形如 yax2bxc a0 的函數(shù),叫做二次函數(shù),定義域 xR ；特別地,bc0時(shí), yax2a0 是二次函數(shù)特例；練一練： ym1xm 21m1x3是二次函數(shù),就 m_；2 二次函數(shù)解析式和三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). 二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y 軸的拋物線二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣- 一般 兩根 三頂點(diǎn)練習(xí) 1: 通過配方,確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),再描點(diǎn)畫圖. 解：因此,拋物線開口向下,對(duì)稱軸是直線 由對(duì)稱性列表：x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2、1 ,8. x .-2 -1 0 1 2 3 4 描點(diǎn)、連線,如以下圖-10 0 6 8 6 0 -10 2已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,求的值. 分析： 頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上有兩種可能：1 頂點(diǎn)在 x 軸上, 就頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0；2 頂點(diǎn)在 y 軸上,就頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0. ,解 ：就拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 . 當(dāng)頂點(diǎn)在 y 軸上時(shí),有,解得. 當(dāng)頂點(diǎn)在 x 軸上時(shí),有解得或. 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí),有三個(gè)值,分別是 2,4,所以,當(dāng)拋物線-8.3、二次函數(shù)的圖像及增減性4. （1）頂點(diǎn)b,4acb2,當(dāng) xb時(shí), y 有最值為4acab2；2 a4 a2 a4（2）對(duì)稱軸 x b2 a（3）與 y 軸

3、交點(diǎn)（ 0,c）,有且僅有一個(gè)）,令 y0就 ax2bxc0 ；（4）與 x 軸交點(diǎn) A（ x1, ）,B（ x2,0 0,有 x1x 2,兩交點(diǎn) A、B； 0,有 x1x 2,一個(gè)交點(diǎn)； 0,沒有實(shí)數(shù) x 1,x 2 與 x 軸無交點(diǎn)；25. 拋物線 y ax bx c 中,a , b , c 的作用（1） a 準(zhǔn)備開口方向及開口大小,a 表示開口寬窄,a 越大開口越窄 . （2） b 和 a 共同準(zhǔn)備拋物線對(duì)稱軸的位置 . 由于拋物線 y ax 2 bx c 的對(duì)稱軸是直線x b,故： b 0 時(shí),對(duì)稱軸為 y 軸； b0（即 a 、b 同號(hào)）時(shí),對(duì)稱軸在 y2 a a軸左側(cè)； b 0（即

4、 a 、 b 異號(hào)）時(shí),對(duì)稱軸在 y 軸右側(cè) . a（3） c 的大小準(zhǔn)備拋物線 y ax 2 bx c 與 y 軸交點(diǎn)的位置 . 當(dāng) x 0 時(shí),y c,拋物線 y ax 2 bx c 與 y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（ 0, c ）： c 0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn) ; c 0 , 與 y 軸交于正半軸； c 0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí),仍成立 . 如拋物線的對(duì)稱軸在 y 軸右側(cè),就b0 . a例 1. 一次函數(shù) y ax b和二次函數(shù) y ax 2 bx c 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象（）2已知拋物線 的部分圖象 如圖 ,圖象再次與 x 軸相交時(shí)的坐標(biāo)是 A5 ,0 B6

5、 , 0 C7 ,0 D8 , 0 解： C 分析： 由,可知其對(duì)稱軸為x=4,而圖象與x軸已交于 1, 0,就與 x 軸的另一交點(diǎn)為7,0. 3函數(shù) y=x2-4 的圖象與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 A.2 ,0B.-2 , 0C.0,4D.0 ,-4 解： D 分析： 函數(shù) y= x2-4 的圖象與y 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,x=0 時(shí), y=-4 ,應(yīng)選 D. . 4已知一次函數(shù)y=ax+c ,二次函數(shù)y=ax2+bx+ca 0,它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的大致圖象是分析： 一次函數(shù)y=ax+c,當(dāng) a0 時(shí),圖象過一、三象限；當(dāng)a0 時(shí),圖象過二、四象限；c0時(shí),直線交y 軸于正半軸；當(dāng)c0 時(shí),直線

6、交y 軸于負(fù)半軸；y=ax+c 應(yīng)過一、對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+ca 0來講：y=ax2+bx+c 的開口向上,而一次函數(shù)解：可用排除法,設(shè)當(dāng)a 0 時(shí),二次函數(shù)三象限,故排除 C；當(dāng) a0 時(shí),用同樣方法可排除 A ；c 準(zhǔn)備直線與 y 軸交點(diǎn)；也在拋物線中準(zhǔn)備拋物線與 y 軸交點(diǎn),此題中 c 相同就兩函數(shù)圖象在 y 軸上有相同的交點(diǎn),故排除 B. 答案： D. 6. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：yax2bxc. 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x 、 y 的值,通常選擇一般式 . 2. （2）頂點(diǎn)式：yaxh2k. 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像

7、與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x 、2x ,通常選用交點(diǎn)式：yaxx 1xx例.1. 求二次函數(shù)解析式：（1）拋物線過（ 0,2）,（1,1）,（3,5）；（2）頂點(diǎn) M（-1 ,2）,且過 N（2,1）；（3）與 x 軸交于 A（-1 ,0）,B（2,0）,并經(jīng)過點(diǎn) M（1,2）；例 2：已知：拋物線y=x2+bx+c 與直線 y=-x-1 有唯獨(dú)的公共點(diǎn)P,并且 P 點(diǎn)在 y 軸上,試求b、c. 分析：由已知,點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 0,-1,而由已知條件,不難得出c=-1 ,問題的關(guān)鍵是如何利用拋物線y=x2+bx+c 與直線 y=-x-1 只有一個(gè)公共點(diǎn)P 這個(gè)條件,再得到b 的值；解：直線y=-x-1

8、 與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0, -1 由已知, P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 0,-1 從而 c=-1 , y=x2+bx-1 令拋物線 y=x2+bx-1 與直線 y=-x-1 有唯獨(dú)的公共點(diǎn)；方程 x2+b+1x=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b+1=0 即 b=-1 b=-1 ,c=-1 即已知拋物線的解析式為Ay=x2-x-1 2 ,此拋物線與x 軸分別交于例 3:已知拋物線y2 axbxc 過點(diǎn)1,32,其頂點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為B x, ,C x , 兩點(diǎn)x 1x 2,且2 x 1x216D 的坐標(biāo)02（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）如 D 是 y 軸上一點(diǎn),且CDE為等腰三角形,求點(diǎn)解：（1）

9、設(shè)所求拋物線為ya x22n ,4 an即yax24 ax4 an 點(diǎn)3 A ,2在拋物線上,3an 2x 1,x2是方程ax24ax4an0的兩實(shí)根,x 1x 24,x x 24ana又2 x 1x 22x 1x 222x x 24224an16a由得a1,n21x22x 2所求拋物線解析式為y1 2x222,即y2頂點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 2 2, （2）由（ 1）知B0 0,C4 0, 又E2 2, ,故BCE為等腰直角三角形,如圖EC,明顯D點(diǎn)為0 0, 或 0 4, （這時(shí) D, ,C由等腰CDE知, CE 為腰或 CE 為底當(dāng) CE 為腰時(shí),又 D 在 y 軸上,就只能有 DE共線,舍去

10、）D點(diǎn)只能取0 0, 當(dāng) CE 為底時(shí),設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn) F ,因CEF為等腰直角三角形,a xh2 ,再向上 k0就線段 CE 的垂直平分線過點(diǎn)F ,設(shè)交 y 軸于點(diǎn) D 故OFD45ODDF2D點(diǎn)坐標(biāo)為0,2綜上所述,點(diǎn)D 的坐標(biāo)為 0 0, 或 0,27. y2 axbxc配方可得 ya xh2k a0yax2 向右（ h0）或向左（ h0）平移 h 個(gè)單位,得到 ybxc向下 k0 平移 k 個(gè)單位,便得 ya xh2k,即 y2 ax a0 ；即左加右減,上加下減練一練： 1. 把二次函數(shù) y=1/2x 2+3x+52 的圖像向右平移 2個(gè)單位,再向上平移 3個(gè)單位；所得圖

11、像的函數(shù)解析式是y=1/2x2+3x+5 2 =1/2x2+6x+9-9/2+5/2 =1/2x+32-2 右平移 2個(gè)單位,再向上平移 3 個(gè)單位y=1/2x+12+1 2把拋物線 y=-2x2向上平移 1 個(gè)單位,得到的拋物線是 A. y=-2x+12 B. y=-2x-1 2 C. y=-2x2+1 D. y=-2x 2-1 提示： 這個(gè)題很基本,把頂點(diǎn)從原點(diǎn)處移至 0,1處,選 C. 3拋物線 經(jīng)過平移得到,平移方法是 A. 向左平移 1 個(gè)單位,再向下平移 3 個(gè)單位B.向左平移 1 個(gè)單位,再向上平移 3 個(gè)單位C.向右平移 1 個(gè)單位,再向下平移 3 個(gè)單位D.向右平移 1 個(gè)單

12、位,再向上平移 3 個(gè)單位提示： 此題要留意被移動(dòng)的是拋物線=-2x+12-3,即把頂點(diǎn)從 -1,-3處移至原點(diǎn)處,因此寫平移時(shí)需留意方向 .選 D. 4在平面直角坐標(biāo)系中,假如拋物線 y=2x2 不動(dòng),而把 x 軸、 y 軸分別向上、向右平移 2 個(gè)單位,那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是 A.y=2x-22+2 B.y=2x+22-2 C.y=2x-22-2 D.y=2x+2 2+2 提示： 這是移軸的問題,需將它轉(zhuǎn)化為移圖象的問題把圖象向下、向左平移 2 個(gè)單位 .可以先畫圖,總結(jié)規(guī)律 .選 B. 2 25.將拋物 y x 1 向左平移 1 個(gè)單位后,得到的拋物線的解析式是 y x 8.

13、直線與拋物線的交點(diǎn)（1） y 軸與拋物線yax2bxxc得交點(diǎn)為 0, c . ax2bxc有 且 只 有 一 個(gè) 交 點(diǎn)（ 2 ） 與 y 軸 平 行 的 直 線h與 拋 物 線y h ,ah2bhc. （3）拋物線與 x 軸的交點(diǎn)方程二次函數(shù)yax2bxc的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x 、1x ,是對(duì)應(yīng)一元二次 2ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情形可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn) 0有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在拋物線與 x 軸相交；x 軸上）0 拋物線與 x 軸相切；沒有交點(diǎn)0拋物線與 x 軸相離 . （4）平行于 x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（3）一

14、樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為 k ,就橫坐標(biāo)是 ax 2 bx c k 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . （5）一次函數(shù) y kx n k 0 的圖像 l 與二次函數(shù) y ax 2 bx c a 0 的圖像 G 的交y kx n點(diǎn),由方程組 2 的解的數(shù)目來確定： 方程組有兩組不同的解時(shí) l 與 G 有y ax bx c兩個(gè)交點(diǎn) ; 方程組只有一組解時(shí) l 與 G 只有一個(gè)交點(diǎn)； 方程組無解時(shí) l 與 G 沒有交點(diǎn) . （6）如拋物線yax2bx4c與 x 軸兩交點(diǎn)為Ax 1,Bx2,由于x 、1x 是方程 2ax2bxc0的兩個(gè)根,

15、故x1x2b,x 1x2caaxm 2m在 x0時(shí),y 取最大值,且拋物線與直線yx2 相例 1：已知二次函數(shù) y2 m交,試寫出二次函數(shù)的解析式,并求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；例 2：拋物線過（ -1 ,-1 ）點(diǎn),它的對(duì)稱軸是直線 x20,且在 x 軸上截取長度為 2 2 的線段,求解析式；例 3:已知拋物線yax2bxc a0的頂點(diǎn)是C01, ,直線l:yax3與這條拋物線交于P,Q兩點(diǎn),與 x 軸, y 軸分別交于點(diǎn) M 和 N （1）設(shè)點(diǎn) P 到 x 軸的距離為2,試求直線 l 的函數(shù)關(guān)系式；（2）如線段 MP 與 PN 的長度之比為 3:1 ,試求拋物線的函數(shù)關(guān)系式解：（1）拋物線

16、的頂點(diǎn)是C01, ,b0,c1,yax21yMx如圖 1,a0,直線 l 過點(diǎn)N0 3, ,QCNPM 點(diǎn)在 x 軸正半軸上點(diǎn) P 到 x 軸的距離為 2 ,即點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 2 把y2代入yax3得,x1,aP 點(diǎn)坐標(biāo)為1 2, a1P AOA（圖 1）直線與拋物線交于點(diǎn)P ,點(diǎn) P 在yax21上,2a121,ax 軸于 A ,a1直線 l 的函數(shù)關(guān)系式為yx3（ 2）如圖 2,如點(diǎn) P 在 y 軸的右邊,記為1P 過點(diǎn)1P 作1PMANMO,RtMP ARtMNO,P AMP 1MNMxONMP 13,MP 13PN,MNMP 1PN4PN,PN1MP 13,即P A3,MN4ON4

17、上,ON3,P A9,即點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)為944把y9代入yax3,得x3,44a點(diǎn)P 的坐標(biāo)為3,944 a又點(diǎn)P 是直線 l 與拋物線的交點(diǎn),點(diǎn)1P 在拋物線yax219a321,44 aya920拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y9x2120如圖 2,如點(diǎn) P 在 y 軸的左邊,記為P 作2P Bx 軸于 B ,2P MBNMO,RtMP BRtMNO,CN1P2PP BMP 2MP 23,MP 23P N,ONMNP N1MNMP 2P N2P N,MP 23,即P B3BOAMN2ON2（圖 2）ON3,P B9,即點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)為922由2P 在直線l上可求得P 23,92,2a又2P在拋物線上

18、,9a321,a922 a14拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y9x2114作業(yè)題選擇題1. 以下關(guān)系式中,屬于二次函數(shù)的是x 為自變量 D.A.B.C.2. 函數(shù) y=x2-2x+3 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 A. 1 ,-4 B.-1 ,2 C. 1 ,2 D.0 ,3 3. 拋物線 y=2x-32的頂點(diǎn)在 D. y 軸上A. 第一象限 B. 其次象限 C. x軸上4. 拋物線的對(duì)稱軸是 是 A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 結(jié)論中,正確的5. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象如以下圖,就以下 A. ab0 ,c0 B. ab0 ,c0 C. ab0 D. ab0 ,c4,那

19、么 AB的長是 A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 如一次函數(shù) y=ax+b 的圖象經(jīng)過其次、 三、四象限,就二次 函 數(shù)y=ax 2+bx 的圖象只可能是 9. 已知拋物線和直線 在同始終角坐標(biāo)系中的圖象如以下圖,拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=-1,P1x 1,y1 ,P2x 2,y2 是拋物線上的點(diǎn), P3x 3,y3 是直線上的點(diǎn),且-1x1x2,x3-1,就 y1,y2,y3的大小關(guān)系是 A. C. 向 上 平 移 3y1y2y3B. y2y3y1y3y1y2 D. y2y14,所以 AB=2AD=2m-4=2m-8,答案選 C. 8. 考點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合,由函數(shù)圖象

20、確定函數(shù)解析式各項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)符號(hào),由函數(shù)解析式各項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)符號(hào)畫出函數(shù)圖象的大致形狀 . 解析：由于一次函數(shù) y=ax+b 的圖象經(jīng)過其次、三、四象限,所以二次函數(shù) y=ax 2+bx 的圖象開口方向向下, 對(duì)稱軸在 y 軸左側(cè), 交坐標(biāo)軸于0 ,0 點(diǎn). 答案選 C. 9. 考點(diǎn)：一次函數(shù)、二次函數(shù)概念圖象及性質(zhì) . 解析：由于拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,且 -1x 1-1 時(shí),由圖象知, y 隨 x的增大而減小,所以y2y1；又由于x3-1,此時(shí)點(diǎn) P3x3,y3 在二次函數(shù)圖象上方,所以y2y1y3. 答案選 D. 10. 考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象的變化 . 拋物線的圖象向左平移 2個(gè)單位

21、得到,再向上平移 3 個(gè)單位得到. 答案選 C. 二、填空題 11. 考點(diǎn)：二次函數(shù)性質(zhì) . 解析：二次函數(shù) y=x2-2x+1 ,所以對(duì)稱軸所在直線方程. 答案 x=1. 12. 考點(diǎn)：利用配方法變形二次函數(shù)解析式. 2+2. 解析： y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=x-12+2. 答案 y=x-113. 考點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系. x2-2x-3=0 的兩解析：二次函數(shù) y=x2-2x-3 與 x 軸交點(diǎn) A、B的橫坐標(biāo)為一元二次方程個(gè)根,求得 x1=-1,x2=3,就 AB=|x2-x 1|=4. 答案為 4. 14. 考點(diǎn)：求二次函數(shù)解析式 . 解析：由于拋物線經(jīng)過 A-1 ,0 ,B3,0 兩點(diǎn),解得 b=-2,c=-3 ,答案為 y=x 2-2x-3. 15. 考點(diǎn)：此題是一道開放題,求解中意條件的二次函數(shù)解析式,答案不唯獨(dú) . 解析：需中意拋物線與 x 軸交于兩點(diǎn),與 y 軸有交點(diǎn),及ABC是直角三角形,但沒有確定哪個(gè)角為直角,答案不唯獨(dú),如：y=x 2-1. 16. 考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),求最大值 . 解析：直接代入公式,答案：7. 17. 考點(diǎn)：此題是一道開放題,求解中意條件的二次函數(shù)解析式,答案不唯獨(dú). 解析：如： y=x2-4x+3. 18. 考點(diǎn)：二次函數(shù)的概念性質(zhì),