2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(山東卷)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試山東文科數(shù)學(xué)本試卷分第卷和第卷兩部分,共4頁.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng):1.答題前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上.2.第卷每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答案寫在試卷上無效.3.第卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,不能寫在試卷上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按

2、以上要求作答的答案無效.4.填空題請直接填寫答案,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第卷(共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015山東,文1)已知集合A=x|2x4,B=x|(x-1)(x-3)0,則AB=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:C解析:B=x|(x-1)(x-3)0=x|1x3,A=x|2x4,結(jié)合數(shù)軸可得,AB=x|2x3.2.(2015山東,文2)若復(fù)數(shù)z滿足z1-i=i,其中i為虛數(shù)單位,則z=(A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案:A解

3、析:z1-i=i,z=i(1-i)=i-i2=1+i.z=1-i3.(2015山東,文3)設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.abcB.acbC.bacD.bc0.60.60.61.5.而函數(shù)y=1.5x為單調(diào)遞增函數(shù),1.50.61.501,ba0,則方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題是()A.若方程x2+x-m=0有實(shí)根,則m0B.若方程x2+x-m=0有實(shí)根,則m0C.若方程x2+x-m=0沒有實(shí)根,則m0D.若方程x2+x-m=0沒有實(shí)根,則m0答案:D解析:原命題的逆否命題是將條件和結(jié)論分別否定,作為新命題的結(jié)論和條件,所以其逆

4、否命題為“若方程x2+x-m=0沒有實(shí)根,則m0”.6.(2015山東,文6)為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫狀況,隨機(jī)選取該月中的5天,將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位:)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論:甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差;甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為()A.B.C.D.答案:B解析:由莖葉圖可知,x甲=26+28+29+31+31x乙=28+29+30+31+325=

5、30,所以x甲3A.(-,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+)答案:C解析:f(x)為奇函數(shù),f(-x)=-f(x).即2-x+12-x-a=-2x+12x-a,也就是2x+11-a2x=-2x+12x-a,1-a2x=a-2x,即(1-a)2x=a-1,1-a=0,解得a=1.f(x)=2x+12x-1.則2x+12x-13,即9.(2015山東,文9)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.223C.22D.42答案:B解析:由題意可知所得幾何體為兩個(gè)底面重合的圓錐,如圖所示.圓錐的底面半徑r=2,高h(yuǎn)

6、=2.所以體積為V=213(2)2210.(2015山東,文10)設(shè)函數(shù)f(x)=3x-b,x1,2x,xA.1B.78C.34D答案:D解析:f56=356-b=5ff56=f當(dāng)52-b32時(shí),f52-b=352-b-b=4當(dāng)52-b1時(shí),即b32時(shí),f52即52-b=2,b=1綜上,b=12第卷(共100分)二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2015山東,文11)執(zhí)行下邊的程序框圖,若輸入的x的值為1,則輸出的y的值是.答案:13解析:輸入x=1,12,x=1+1=2.x=2不滿足“x0,y0時(shí),xy+(2y)答案:2解析:xy=x2-y2xy,xy+(2y其中x0

7、,y0,當(dāng)且僅當(dāng)x2=2y2,即x=2y時(shí)等號(hào)成立.15.(2015山東,文15)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線,交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2答案:2+3解析:不妨設(shè)過右焦點(diǎn)與漸近線平行的直線為y=ba(x-c),與C交于P(x0,y0).x0=2a,y0=ba(2a-c又P(x0,y0)在雙曲線C上,(2a)2整理得a2-4ac+c2=0,設(shè)雙曲線C的離心率為e,故1-4e+e2=0.e1=2-3(舍去),e2=2+3.即雙曲線C的離心率為2+3.三、解答題:本大題共6小題,共75分.16.(本小題滿分12分)(2015山東,文16)某中

8、學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率;(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.解:(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人,故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15人.所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P=1545(2)

9、從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A4,B1,A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3,共15個(gè).根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2個(gè).因此A1被選中且B1未被選中的概率為P=21517.(本小題滿分12分)(2015山東,文17)ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知cos B=33,sin(A+B)=69,ac=23,求sin

10、 A和c解:在ABC中,由cos B=33,得sin B=6因?yàn)锳+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=69因?yàn)閟in Csin B,所以CB,可知C為銳角,所以cos C=53因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=63由asinA=csinC,可得a=又ac=23,所以c=1.18.(本小題滿分12分)(2015山東,文18)如圖,三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).(1)求證:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求證:平面BCD平面EGH.(1)證法一:連接DG,CD,設(shè)CDGF=M.連接MH.在三棱臺(tái)

11、DEF-ABC中,AB=2DE,G為AC的中點(diǎn),可得DFGC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形.則M為CD的中點(diǎn).又H為BC的中點(diǎn),所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.證法二:在三棱臺(tái)DEF-ABC中,由BC=2EF,H為BC的中點(diǎn),可得BHEF,BH=EF,所以四邊形HBEF為平行四邊形,可得BEHF.在ABC中,G為AC的中點(diǎn),H為BC的中點(diǎn),所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因?yàn)锽D平面ABED,所以BD平面FGH.(2)證明:連接HE.因?yàn)镚,H分別為AC,BC的中點(diǎn),所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H為BC的中

12、點(diǎn),所以EFHC,EF=HC,因此四邊形EFCH是平行四邊形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.19.(本小題滿分12分)(2015山東,文19)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列1anan(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(an+1)2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T解:(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d.令n=1,得1a1a2=13,所以令n=2,得1a所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=(an+1)2an=2n22n-1=n4所以T

13、n=141+242+n4n,所以4Tn=142+243+n4n+1,兩式相減,得-3Tn=41+42+4n-n4n+1=4(1-4n)1-4-n4n+1=1-3n3所以Tn=3n-194n+120.(本小題滿分13分)(2015山東,文20)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x2ex.已知曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與直線2x-y=(1)求a的值.(2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請說明理由.(3)設(shè)函數(shù)m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的較小值),求m(x)的最大

14、值.解:(1)由題意知,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜率為2,所以f(1)=2.又f(x)=ln x+ax+1,所以a=1(2)k=1時(shí),方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根.設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x2當(dāng)x(0,1時(shí),h(x)1-所以存在x0(1,2),使得h(x0)=0.因?yàn)閔(x)=ln x+1x+1+x所以當(dāng)x(1,2)時(shí),h(x)1-1e0當(dāng)x(2,+)時(shí),h(x)0,所以當(dāng)x(1,+)時(shí),h(x)單調(diào)遞增.所以k=1時(shí),方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在

15、唯一的根x0,且x(0,x0)時(shí),f(x)g(x),所以m(x)=(當(dāng)x(0,x0)時(shí),若x(0,1,m(x)0;若x(1,x0),由m(x)=ln x+1x+10可知00,m(x)單調(diào)遞增;x(2,+)時(shí),m(x)0,m(x)單調(diào)遞減;可知m(x)m(2)=4e2,且m(x0)b0)的離心率為(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓E:x24a2+y24b2=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于A,求|OQ|求ABQ面積的最大值.解:(1)由題意知3a2+又a2-b2a=32,解得a2所以橢圓C的方程為x24+y2=(2)由(1)知橢圓E的方程為x216+設(shè)P(x0,y0),|OQ|由題意知Q(-x0,-y0).因?yàn)閤024又(-x0)216+(-所以=2,即|OQ|設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將y=kx+m代入橢圓E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m24