2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(江蘇卷)

1、2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試綜合能力測試數(shù)學試題(江蘇卷)一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1.(2014江蘇,1)已知集合A=-2,-1,3,4,B=-1,2,3,則AB=.答案:-1,3解析:由題意,得AB=-1,3.2.(2014江蘇,2)已知復數(shù)z=(5+2i)2(i為虛數(shù)單位),則z的實部為.答案:21解析:由題意,得z=(5+2i)2=25+20i-4=21+20i,其實部為21.3.(2014江蘇,3)下圖是一個算法流程圖,則輸出的n的值是.答案:5解析:本題實質上是求不等式2n20的最小整數(shù)解,2n20的整數(shù)解為n5

2、,因此輸出的n=5.4.(2014江蘇,4)從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù),則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是.答案:1解析:從1,2,3,6這4個數(shù)中隨機地取2個數(shù),不同的取法為1,2,1,3,1,6,2,3,2,6,3,6共6個基本事件,其中乘積為6的有1,6,2,3兩個基本事件,因此所求事件的概率為P=265.(2014江蘇,5)已知函數(shù)y=cos x與y=sin(2x+)(0),它們的圖象有一個橫坐標為3的交點,則的值是答案:解析:由題意cos3=sin23+,即sin23+=12,23+因為0,所以=66.(2014江蘇,6)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機抽測了其中60

3、株樹木的底部周長(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間80,130上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測的60株樹木中,有株樹木的底部周長小于100 cm.答案:24解析:由題意,在抽測的60株樹木中,底部周長小于100 cm的株數(shù)為(0.015+0.025)1060=24.7.(2014江蘇,7)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是.答案:4解析:設公比為q,則由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4.8.(2014江蘇,8)設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1,S2,體

4、積分別為V1,V2,若它們的側面積相等,且S1S2=94答案:3解析:設甲、乙兩個圓柱底面半徑和高分別為r1,h1,r2,h2,則2r1h1=2r2h2,h1h2=r2r1.又S19.(2014江蘇,9)在平面直角坐標系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長為.答案:2解析:圓(x-2)2+(y+1)2=4的圓心為C(2,-1),半徑r=2,圓心C到直線x+2y-3=0的距離為d=|2+2所求弦長l=2r2-d210.(2014江蘇,10)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,則實數(shù)m的取值范圍是.答案:-解析:根據(jù)題

5、意,得f解得-22mb0)的左、右焦點,頂點B的坐標為(0,b),連結BF2并延長交橢圓于點A,過點A作(1)若點C的坐標為43,13,且BF2=(2)若F1CAB,求橢圓離心率e的值.分析:(1)利用橢圓的幾何性質可得BF2=a=2,再把點C的坐標代入即可求出橢圓方程;(2)寫出B,F2的坐標,用b,c表示直線AB的方程,聯(lián)立橢圓方程表示出點A的坐標,利用點A與點C的對稱性,表示出點C的坐標,利用直線F1C的斜率及kF1CkAB=-1建立a,b,c的關系解:設橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F2(c,0).(1)因為B(0,b),所以BF2=b2又BF2=2,故a=2.因為點C43,所

6、以169a2+19b2=故所求橢圓的方程為x22+y2=(2)因為B(0,b),F2(c,0)在直線AB上,所以直線AB的方程為xc+y解方程組x所以點A的坐標為2a又AC垂直于x軸,由橢圓的對稱性,可得點C的坐標為2a因為直線F1C的斜率為b(a2-c2)且F1CAB,所以b(a2-c又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=15因此e=5518.(本小題滿分16分)(2014江蘇,18)如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于

7、80 m.經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60 m處,點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸),tanBCO=43(1)求新橋BC的長;(2)當OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大?分析:法一:(1)運用坐標法求BC的長,由已知建立以O為坐標原點,OC所在直線為x軸的直角坐標系.設出點B坐標,利用A,C坐標分別表示出kAB,kBC,建立方程組求出點B坐標,利用兩點間的距離公式求解即可;(2)求圓形保護區(qū)的最大面積,即求圓的最大半徑.由條件知,可轉化為求點M到直線BC距離的最大值.由(1)可先求出直線BC的方程,設點M的坐標為(0,d),則半徑r可用d表示,利用已知和r,d的關系求出d的范圍,就可

8、求出r的最大值,即可求圓形保護區(qū)面積的最大值.法二:(1)延長CB,OA交于點F,在OCF中,利用條件求OF,CF.利用AF=OF-OA求AF的長,再借助AFB+OCF=90的關系,在ABF中,求出BF的長,進而利用CB=CF-BF求值;(2)設MD=r m(半徑),OM=d m,在MDF中,利用sinCFO建立r,d的關系,利用已知和r,d的關系求出d的范圍,就可求出r的最大值,即可求圓形保護區(qū)面積的最大值.解:解法一:(1)如圖,以O為坐標原點,OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系xOy.由條件知A(0,60),C(170,0),直線BC的斜率kBC=-tanBCO=-43又因為ABBC

9、,所以直線AB的斜率kAB=34設點B的坐標為(a,b),則kBC=b-0a-170=-43解得a=80,b=120.所以BC=(170-80因此新橋BC的長是150 m.(2)設保護區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m(0d60).由條件知,直線BC的方程為y=-43(x-170),即4x+3y-680=0由于圓M與直線BC相切,故點M(0,d)到直線BC的距離是r,即r=|3因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m,所以r即680解得10d35.故當d=10時,r=680-3d5所以當OM=10 m時,圓形保護區(qū)的面積最大.解法二:(1)如圖,延長OA,CB交于點F.因為tan

10、FCO=43所以sinFCO=45,cosFCO=3因為OA=60,OC=170,所以OF=OCtanFCO=6803,CF=OCcosFCO=因為OAOC,所以cosAFB=sinFCO=45又因為ABBC,所以BF=AFcosAFB=4003,從而BC=CF-BF=150因此新橋BC的長是150 m.(2)設保護區(qū)的邊界圓M與BC的切點為D,連接MD,則MDBC,且MD是圓M的半徑,并設MD=r m,OM=d m(0d60).因為OAOC,所以sinCFO=cosFCO.故由(1)知sinCFO=MDMF=MDOF-因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m,所以r即680解得10d

11、35.故當d=10時,r=680-3d5所以當OM=10 m時,圓形保護區(qū)的面積最大.19.(本小題滿分16分)(2014江蘇,19)已知函數(shù)f(x)=ex+e-x,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);(2)若關于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;(3)已知正數(shù)a滿足:存在x01,+),使得f(x0)1,換元后利用基本不等式求最小值;(3)由條件構造函數(shù)g(x)=f(x)-a(-x3+3x),利用導數(shù)求出g(x)的最小值,利用g(x)min0),則t1,所以m-t-1t2-t+1=-因為t-1+1t-1+12(t-所以-1t-1

12、+1當且僅當t=2,即x=ln 2時等號成立.因此實數(shù)m的取值范圍是-(3)解:令函數(shù)g(x)=ex+1ex-a(-x3+3x),則g(x)=ex-1ex+3a(x2當x1時,ex-1ex0,x2-1又a0,故g(x)0.所以g(x)是1,+)上的單調增函數(shù),因此g(x)在1,+)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.由于存在x01,+),使ex0+e-x0-a(-x03+3x0)0成立故e+e-1-2ae+e令函數(shù)h(x)=x-(e-1)ln x-1,則h(x)=1-e-令h(x)=0,得x=e-1.當x(0,e-1)時,h(x)0,故h(x)是(e-1,+)上的單調增函數(shù).所以h(x)在

13、(0,+)上的最小值是h(e-1).注意到h(1)=h(e)=0,所以當x(1,e-1)(0,e-1)時,h(e-1)h(x)h(1)=0;當x(e-1,e)(e-1,+)時,h(x)h(e)=0.所以h(x)0對任意的x(1,e)成立.當ae+e-12,e(1,e)時,h(a)0,即a-1h(e)=0,即a-1(e-1)ln a,故ea-1ae-1.綜上所述,當ae+e-12,e時,ea-1ae-1;當a=e時,ea-1=ae-1;當a(e,+)時,ea-20.(本小題滿分16分)(2014江蘇,20)設數(shù)列an的前n項和為Sn.若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱an是

14、“H數(shù)列”.(1)若數(shù)列an的前n項和Sn=2n(nN*),證明:an是“H數(shù)列”;(2)設an是等差數(shù)列,其首項a1=1,公差d0.若an是“H數(shù)列”,求d的值;(3)證明:對任意的等差數(shù)列an,總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*)成立.分析:在第(1)問中,先利用an與Sn的關系求出an,再根據(jù)“H數(shù)列”的定義即可證明結論;在第(2)問中,可采用由特殊到一般的方法,先取n=2,結合“H數(shù)列”的定義求出d的值,然后可求出an與Sn,再根據(jù)“H數(shù)列”的定義驗證結論對任意的n成立;在第(3)問中,an=a1+(n-1)d,考慮到非零常數(shù)列不是“H數(shù)列”,因而應考慮將an

15、分解改寫為兩個等差數(shù)列和的形式an=na1+(n-1)(d-a1),然后再分別按“H數(shù)列”的定義證明na1和(n-1)(d-a1)為“H數(shù)列”,即可證得結論.(1)證明:由已知,當n1時,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H數(shù)列”.(2)解:由已知,得S2=2a1+d=2+d.因為an是“H數(shù)列”,所以存在正整數(shù)m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因為d0,所以m-20,y0,證明:(1+x+y2)(1+x2+y)9xy.分析:可利用算術幾何平均不等式:a+b+c33

16、abc(a,b,c0),將左邊因式中的和化為積,實現(xiàn)不等式的證明證明:因為x0,y0,所以1+x+y233xy21+x2+y33x2y故(1+x+y2)(1+x2+y)33xy233【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.(本小題滿分10分)(2014江蘇,22)盒中共有9個球,其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球,這些球除顏色外完全相同.(1)從盒中一次隨機取出2個球,求取出的2個球顏色相同的概率P;(2)從盒中一次隨機取出4個球,其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為x1,x2,x3,隨機變量X表示x1,x2

17、,x3中的最大數(shù).求X的概率分布和數(shù)學期望E(X).分析:在第(1)問中,考慮到“2個球顏色相同”可分為3種情況:“同為紅球”“同為黃球”“同為綠球”,故可用互斥事件的概率公式,結合排列組合及古典概型求得結果;在第(2)問中,先分析4個球中各類球的個數(shù)情況,確定X的所有可能的取值,然后利用超幾何分布求出各個概率值,列出表格即得X的概率分布,最后根據(jù)數(shù)學期望的定義計算求得結果.解:(1)取到的2個顏色相同的球可能是2個紅球、2個黃球或2個綠球,所以P=C4(2)隨機變量X所有可能的取值為2,3,4.X=4表示的隨機事件是“取到的4個球是4個紅球”,故P(X=4)=C4X=3表示的隨機事件是“取到

18、的4個球是3個紅球和1個其他顏色的球,或3個黃球和1個其他顏色的球”,故P(X=3)=C4于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1363所以隨機變量X的概率分布如下表:X234P11131因此隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=21114+31363+423.(本小題滿分10分)(2014江蘇,23)已知函數(shù)f0(x)=sinxx(x0),設fn(x)為fn-1(x)的導數(shù),nN(1)求2f12+2f(2)證明:對任意的nN*,等式nfn分析:在第(1)問中,先由已知條件通過求導數(shù)得到f1(x)和f2(x)的解析式,然后代入自變量的值即可求得結果;在第(2)問中,先將f0(x)=sinxx改寫為xf0(x)=sin x,然