量子力學(xué)全同粒子

1、量子力學(xué)全同粒子第1頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（1）全同粒子質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。（2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性 經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個(gè)粒子，是可以區(qū)分的。因?yàn)槎Ｗ釉谶\(yùn)動(dòng)中，有各自確定的軌道，在任意時(shí)刻都有確定的位置和速度?？膳袛嗄膫€(gè)是第一個(gè)粒子哪個(gè)是第二個(gè)粒子。1212（一）全同粒子和全同性原理第2頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（3）微觀粒子的不可區(qū)分性微觀粒子運(yùn)動(dòng)服從量子力學(xué)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū) 粒子是不可區(qū)分的（4）基本假設(shè)5：全同性原理 全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相交換不引起體系

2、物理狀態(tài)的改變。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。第3頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（1）Hamilton 算符的對(duì)稱性 N 個(gè)全同粒子組成的體系，其Hamilton 量為：調(diào)換第 i 和第 j 粒子， 體系 Hamilton 量不變。即：表明，N 個(gè)全同粒子組成的體系的Hamilton 量具有交換對(duì)稱性，交換任意兩個(gè)粒子坐標(biāo)（q i , q j ) 后不變。（二）波函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)第4頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（2）對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù)考慮全同粒子體系的含時(shí) Shrodinger 方程將方程中（q i ,q j ) 調(diào)換，得：由于Ha

3、milton 量對(duì)于（q i , q j ) 調(diào)換 不變表明： （q i , q j ) 調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger 方程的解。根據(jù)全同性原理：描寫同一狀態(tài)。因此，二者相差一常數(shù)因子。第5頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三再做一次（q i , q j ) 調(diào)換對(duì)稱波函數(shù)反對(duì)稱波函數(shù)引入粒子坐標(biāo)交換算符第6頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三 全同粒子體系波函數(shù)的這種對(duì)稱性不隨時(shí)間變化，即初始時(shí)刻是對(duì)稱的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是對(duì)稱的；初始時(shí)刻是反對(duì)稱的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是反對(duì)稱的。證方法 I ：設(shè)全同粒子體系波函數(shù) s 在 t 時(shí)刻是對(duì)稱的，由體

4、系哈密頓量是對(duì)稱的，所以 H s 在t 時(shí)刻也是對(duì)稱的。在 t+dt 時(shí)刻，波函數(shù)變化為對(duì)稱對(duì)稱二對(duì)稱波函數(shù)之和仍是對(duì)稱的依次類推，在以后任何時(shí)刻，波函數(shù)都是對(duì)稱的。同理可證：t 時(shí)刻是反對(duì)稱的波函數(shù)a ，在t 以后任何時(shí)刻都是反對(duì)稱的。（三）波函數(shù)的交換對(duì)稱性不隨時(shí)間變化第7頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三方法 II： 全同粒子體系哈密頓量是對(duì)稱的結(jié)論： 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，其對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上。第8頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期

5、三 實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對(duì)稱性是完全確定的，而且該對(duì)稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。（1）Bose 子 自旋為 整數(shù)倍（s = 0，1，2，) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換 2 個(gè)粒子總是對(duì)稱的，遵從Bose統(tǒng)計(jì)，故稱為 Bose 子。如： 光子 （s =1）； 介子 （s = 0）。（四）Fermi 子和 Bose 子（2）Fermi 子 自旋為 半奇數(shù)倍（s =1/2，3/2，) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換 2 個(gè)粒子總是反對(duì)稱的，遵從Fermi 統(tǒng)計(jì)，故稱為Fermi 子。例如：電子、質(zhì)子、中子（ s =1/2）等粒子。第9頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月

6、20日，21點(diǎn)33分，星期三 （3）由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子 如： 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過(guò)程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類全同粒子來(lái)處理。偶數(shù)個(gè) Fermi 子組成Bose 子組成奇數(shù)個(gè) Fermi子組成奇數(shù)個(gè) Fermi子組成第10頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（一）2 個(gè)全同粒子波函數(shù) （二）N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù) （三）Pauli 原理全同粒子體系波函數(shù)Pauli 原理第11頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（1）對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù)的構(gòu)成I. 2 個(gè)全同粒子體系

7、Hamilton 量II . 單粒子波函數(shù)（一）2 個(gè)全同粒子體系波函數(shù)稱為單粒子波函數(shù)。第12頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三III. 交換簡(jiǎn)并粒子1 在 i 態(tài)，粒子2 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：驗(yàn)證：粒子2 在 i 態(tài)，粒子1 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：第13頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三IV. 滿足對(duì)稱條件波函數(shù)的構(gòu)成 全同粒子體系波函數(shù)要滿足對(duì)稱性條件，而 (q1,q2) 和 (q2,q1) 僅當(dāng) i = j 二態(tài)相同時(shí)，才是一個(gè)對(duì)稱波函數(shù)； 當(dāng) i j 二態(tài)不同時(shí)，既不是對(duì)稱波函數(shù)，也不是反對(duì)稱波函數(shù)。所以 (q

8、1,q2) 和 (q2,q1) 不能用來(lái)描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對(duì)稱性的波函數(shù)：C 為歸一化系數(shù) 顯然 S (q1,q2) 和 A (q1,q2) 都是 H 的本征函數(shù)，本征值皆為 ：第14頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三V. S 和 A 的歸一化 若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的， 則 (q1,q2) 和 (q2 , q1) 也是正交歸一化的。證：同理，而同理，證畢首先證明第15頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三考慮S 和 A 歸一化則歸一化的 S：同理，歸一化的 A： 上述討論是適用于二粒子間無(wú)相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時(shí)，但是下式仍然

9、成立歸一化的 S A 依舊因H 的對(duì)稱性第16頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（1）Shrodinger 方程的解 上述對(duì)2個(gè)全同粒子的討論可以推廣到N個(gè)全同粒子體系，設(shè)粒子間無(wú)互作用，單粒子H0 不顯含時(shí)間，則體系單粒子本征方程：（二）N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù)第17頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（2）Bose 子體系和波函數(shù)對(duì)稱化2 個(gè)Bose 子體系，其對(duì)稱化波函數(shù)是：1，2 粒子在 i，j態(tài)中的排列N 個(gè)Bose 子體系，其對(duì)稱化波函數(shù)可類推是：N 個(gè) 粒子在 i，j k 態(tài)中的排列歸一化系數(shù)對(duì)各種可能排列 p 求和nk 是單粒子態(tài)k

10、 上的粒子數(shù)第18頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三例: N = 3 Bose 子體系,，設(shè)有三個(gè)單粒子態(tài)分別記為 1 、2 、 3 ，求：該體系對(duì)稱化的波函數(shù)。I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0 n3=3，n2=n1=0III。n1=2，n2=1，n3=0。 另外還有 5 種可能的狀態(tài)，分別是：第19頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=1第20頁(yè)，共35頁(yè)，2022

11、年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三附注：關(guān)于重復(fù)組合問(wèn)題從m 個(gè)不同元素中每次取 n 個(gè)元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為： （m 可大于、等于或小于n ）重復(fù)組合與通常組合不同，其計(jì)算公式為：通常組合計(jì)算公式：重復(fù)組合計(jì)算公式表明： 從m個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從（m+n-1）個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的普通組合的種數(shù)。應(yīng)用重復(fù)組合，計(jì)算全同Bose 子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)從 3 個(gè)狀態(tài)中每次取3 個(gè)狀態(tài)的重復(fù)組合問(wèn)題。第21頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（3）

12、Fermi 子體系和波函數(shù)反對(duì)稱化2 個(gè)Fermi 子體系，其反對(duì)稱化波函數(shù)是：行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對(duì)稱化推廣到N 個(gè)Fermi 子體系：兩點(diǎn)討論： I.行列式展開(kāi)后，每一項(xiàng)都是單粒子波函數(shù)乘積形式，因而 A 是 本征方程 H = E 的解. II.交換任意兩個(gè)粒子，等價(jià)于行列式中相應(yīng)兩列對(duì)調(diào)，由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號(hào)，故是反對(duì)稱化波函數(shù)。此行列式稱為 Slater 行列式。第22頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三（1）二 Fermi 子體系其反對(duì)稱化波函數(shù)為：若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于 i 態(tài)，則寫成 Slater 行列式兩行相同，行列式為 0（2）N

13、 Fermi 子體系（三）Pauli 原理第23頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三例題：設(shè)想兩個(gè)無(wú)相互作用，處于無(wú)限深方勢(shì)阱中的電子。如果一個(gè)電子處于n態(tài)，另一個(gè)處于l態(tài)，對(duì)n=l和nl兩種情況構(gòu)造體系的波函數(shù)。解：由于沒(méi)有相互作用，體系的空間波函數(shù)可由單粒子波函數(shù)積構(gòu)成當(dāng)nl時(shí)，可構(gòu)造對(duì)稱和反稱的空間波函數(shù)。對(duì)稱空間波函數(shù)反稱空間波函數(shù)當(dāng)n=l時(shí)，僅能構(gòu)造對(duì)稱的空間波函數(shù)對(duì)稱空間波函數(shù)體系的自旋波函數(shù)可由單電子的自旋波函數(shù)構(gòu)成自旋單態(tài)和自旋三態(tài)反稱自旋單態(tài)第24頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三對(duì)稱三態(tài)電子是費(fèi)米子，體系的完整波函數(shù)應(yīng)該是反對(duì)稱

14、的，所以當(dāng)nl時(shí)，體系的波函數(shù)為單態(tài)三態(tài)當(dāng)n=l時(shí)，體系的波函數(shù)為單態(tài)第25頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三nln=l第26頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三交換力我們來(lái)求兩個(gè)粒子坐標(biāo)差平方的期待值可區(qū)分粒子所以第27頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三2.如果是全同粒子，必須用對(duì)稱或反稱的空間波函數(shù)，這時(shí)有同樣有其中第28頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三顯然對(duì)全同粒子有：同可分辨粒子情況相比較,兩者差別在最后一項(xiàng)這告訴我們什么？和處于相同狀態(tài)的可分辨粒子相比，全同粒子，如果空間波函數(shù)為對(duì)稱的（取

15、上面的+號(hào)項(xiàng)）將更趨向于相互靠近，而空間波函數(shù)為反稱時(shí)（取下面的-號(hào)項(xiàng)）更趨向于相互遠(yuǎn)離。 全同粒子的波函數(shù)將會(huì)出現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象。整個(gè)系統(tǒng)好像受到外力的作用：對(duì)對(duì)稱空間波函數(shù)，這個(gè)力是吸引力，把粒子拉近；對(duì)反稱空間波函數(shù)，這個(gè)力是排斥力，讓粒子相互遠(yuǎn)離。我們把這個(gè)力稱為交換力，雖然事實(shí)上并不存在這樣的一個(gè)力（因?yàn)椴](méi)有任何施力物存在并作用于粒子）；它僅僅是對(duì)稱性要求導(dǎo)致的一個(gè)幾何結(jié)果。它也是一個(gè)嚴(yán)格的量子力學(xué)的現(xiàn)象，在經(jīng)典力學(xué)當(dāng)中并沒(méi)有對(duì)應(yīng)。然而，它卻導(dǎo)致了一些意義深遠(yuǎn)的結(jié)果。 第29頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三1. 共價(jià)鍵：兩個(gè)電子的空間波函數(shù)是對(duì)稱的，自旋波

16、函數(shù)是反稱的（自旋單態(tài)），所以交換力是把兩個(gè)電子互相靠近。自旋單態(tài)是成鍵態(tài)。而自旋三態(tài)，由于空間波函數(shù)必是反稱的，不利于成鍵。2.波色-愛(ài)因斯坦凝聚：波色子不受泡利不相容原理的限制，許多波色子可以處于相同的狀態(tài)上（自旋一樣，僅能構(gòu)成對(duì)稱自旋波函數(shù)）所以空間波函數(shù)也必須是對(duì)稱的，這樣交換力是波色子相互靠近，產(chǎn)生凝聚現(xiàn)象。第30頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三元素周期表 對(duì)于原子質(zhì)量更大的原子，一個(gè)原子中有很多電子。那么這樣原子的基態(tài)是如何？或者說(shuō)原子的基態(tài)電子組態(tài)（電子在個(gè)能級(jí)上是如何分布的，并且這種分布使體系的能量最低同時(shí)要滿足泡利不相容原理）。在多電子體系中，嚴(yán)格的

17、定態(tài)薛定諤方程是很難得到的，但是與類氫原子一樣，仍然存在類似單粒子的原子態(tài)（n, l, m）,我們稱之為軌道，余下的問(wèn)題就是如何把電子一次填充到軌道上。由于電子是費(fèi)米子，因?yàn)槭艿脚堇幌嗳菰淼闹萍s，一個(gè)軌道上只能有兩個(gè)電子（一個(gè)自旋向上，一個(gè)自旋向下或者更精確地說(shuō)，處于自旋單態(tài)）。所以，n=1這個(gè)殼層能容納兩個(gè)電子，n=2殼層能容納8個(gè)，n=3容納18個(gè)，即第n個(gè)殼層可以容納2n2個(gè)電子。定性的看，周期表的每一橫行將相應(yīng)的填滿每一個(gè)殼層（如果事實(shí)就是這樣，周期表各行的長(zhǎng)度將分別為2，8，18，32，50等，而不是2，8，8，18，18等；但馬上我們就會(huì)看到電子間的排斥力作用是如何把多出來(lái)的情

18、況給排除掉的）。第31頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三氦原子的n=1殼層是被填滿的，所以下一個(gè)原子：鋰原子（Z=3）不得不把一個(gè)原子放進(jìn)n=2的殼層。對(duì)于n=2，可以有l(wèi)=0或l=1；那么這第三個(gè)電子到底選擇哪個(gè)l呢？在不考慮電子間相互作用時(shí)，兩個(gè)l將具有相同的能量（因?yàn)樗鼈兊牟柲芰繘Q定于n，而不是l）。但排斥力的存在將傾向于選擇l較小的情況。因?yàn)榻莿?dòng)量趨向于將電子向外拋出，電子越靠外面，它里面的電子對(duì)原子核的屏蔽效應(yīng)就越明顯（粗略而言，最內(nèi)層電子可以感受到核子的有效電荷大小為Ze，而最外面的電子感受到的核子有效電荷很難大于e）。所以，在一個(gè)殼層內(nèi)，能量最低的狀態(tài)（

19、也就是結(jié)合最緊的電子）是l=0的情況，當(dāng)l增大時(shí)，能量也隨之增大。正因?yàn)檫@個(gè)原因，鋰原子的第三個(gè)電子態(tài)為（2，0，0）。再下一個(gè)原子（鈹原子，Z=4），的第四個(gè)電子也將填入這個(gè)能態(tài)（取和第三個(gè)電子相反的自選方向），但對(duì)于接下來(lái)的Z=5的硼原子，它就不得不利用l=1的能態(tài)了。接下來(lái)，當(dāng)進(jìn)行到Z=10的氖原子時(shí)，n=2的殼層將被填滿，下面的將是周期表的第三橫行并開(kāi)始在n=3的殼層安排電子。首先，l=0的元素有兩個(gè)（鈉和鎂），l=1的有六個(gè)（從鋁到氬）。在氬后面本該有10個(gè)n=3，l=2的原子；但是此時(shí)的屏蔽效應(yīng)已經(jīng)強(qiáng)到可以和下一個(gè)殼層發(fā)生了重疊，所以從Z=19的鉀原子到Z=20的鈣原子選擇了n=4，l=0的能態(tài)而不是n=3，l=2。接下來(lái)我們跳回去安排n=3，l=2的幾個(gè)原子（從鈧到鋅），接下來(lái)的是n=4，l=1（從鎵到氪），我們?cè)俅翁崆疤较乱恍校╪=5）l=1，然后之后再回到n=4，l2，3軌道填滿n=4殼層。 第32頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)33分，星期三原子態(tài)命名方法電子組態(tài) 這告訴我們：有