量子力學小結(jié)

1、量子力學小結(jié)第1頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三第一章 緒論（小結(jié)） 1、經(jīng)典物理的困難 黑體輻射，光電效應，原子光譜線系2、舊量子論普朗克能量子論愛因斯坦對光電效應的解釋；光的波粒二象性；光電效應的規(guī)律；愛因斯坦公式： 光子能量動量關系：第2頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三玻爾的原子理論量子化條件 ：定態(tài)的假設、頻率條件 ：3、微觀粒子的波粒二象性,德布羅意關系戴維孫,革末等人的電子衍射實驗驗證了德布羅意關系。4、量子力學的建立物質(zhì)波薛定諤方程非相對論量子力學 相對論量子力學量子場論 第3頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，

2、星期三第二章 波函數(shù)和薛定諤方程（小結(jié)）1量子力學中用波函數(shù)描寫微觀體系的狀態(tài)。2波函數(shù)統(tǒng)計解釋：若粒子的狀態(tài)用 描寫， 表示在t時刻，空間 處 體積元內(nèi)找到粒子的幾率（設 是歸一化的）。3態(tài)疊加原理：設 是體系的可能狀態(tài)，那么，這些態(tài)的線性疊加：也是體系的一個可能狀態(tài)。第4頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三若體系處于 態(tài)，我們講體系部分處于 態(tài)。4波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律由薛定諤方程給出：當勢場 不顯含 時 ，其解是定態(tài)解： 滿足定態(tài)薛定諤方程 ：其中定態(tài)薛定諤方程即能量算符的本征方程。第5頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三5波函數(shù)的歸一化條件：

3、 相對幾率分布： 波函數(shù)存在常數(shù)因子不定性；相位因子不定性。6波函數(shù)標準條件：波函數(shù)一般應滿足三個基本條件：連續(xù)性，有限性，單值性。7幾率流密度 與幾率密度 滿足連續(xù)性方程：第6頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三8一維無限深方勢阱 本征值 本征函數(shù) 若 則本征值 第7頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三本征函數(shù) 9三維無限深方勢阱 可以用分離變量法求解得到本征值 本征函數(shù)第8頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三10一維諧振子 本征值 本征函數(shù) 11、可以用分離變量法求解得到（在笛卡爾坐標中）三維各向同性諧振子的能級和波函數(shù)。第

4、9頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三12、勢壘貫穿隧道效應： 粒子在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應。第10頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三第三章 量子力學中的力學量（小結(jié)）1量子力學中的力學量用線性厄米算符表示，并且要求該算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。2.厄米算符A的定義： 厄米算符的本征值是實數(shù)。厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)一定正交。力學量算符的本征函數(shù)系滿足正交、歸一、完備等條件。第11頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三3力學量的測量值：在力學量F的本征態(tài)中測量F，有確定值，即它的本征值；在非

5、的本征態(tài) 中測量F，可能值是F的本征值。將 用算符F的正交歸一的本征函數(shù) 展開： 則在 態(tài)中測量力學量F得到結(jié)果為 的幾率為 ，得到結(jié)果在 范圍內(nèi)的幾率為: 。第12頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三力學量的平均值是: 或第13頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三4 連續(xù)譜的本征函數(shù)可以歸一化為 函數(shù)。5簡并：屬于算符的某一個本征值的線性無關的本征函數(shù)有若干個，這種現(xiàn)象稱為簡并。簡并度： 算符的屬于本征值 的線性無關的本征函數(shù)有f個，我們稱 的第n個本征值 是f度簡并的。6 動量算符的本征函數(shù)(即自由粒子波函數(shù)) 正交歸一性 第14頁，共48頁，2

6、022年，5月20日，21點35分，星期三7 角動量 分量 本征函數(shù) 的本征值 8 平面轉(zhuǎn)子（設繞 軸旋轉(zhuǎn)）哈密頓量 能量本征態(tài) 能量本征值 第15頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三9 有共同的本征函數(shù)球諧函數(shù)： 中心力場中，勢場 ，角動量 為守恒量。1第16頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三10中心力場中，定態(tài)薛定諤方程 選 為體系的守恒量完全集，其共同的本征函數(shù)為 11氫原子第17頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三類氫離子 12 守恒力學量的定義：若 （即力學量的平均值不隨時間變化），則稱 為守恒量。力學量 的平均值隨

7、時間的變化滿足因而力學量 為守恒量的條件為： 且 第18頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三13宇稱算符宇稱算符的定義： ，本征值，本征函數(shù)。14 對易式定義：15 對易式滿足的基本恒等式： （Jacobi恒等式）第19頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三16 一些重要的對易關系：第20頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三17若算符 對易，即 ，則 和 有共同的本征函數(shù)系。在 和 的共同的本征函數(shù)表示的態(tài)中測量 ，都有確定值。若算符 不對易，即 ，則必有簡記為 特別地， 第21頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，

8、星期三第四章 態(tài)和力學量的表象小結(jié)1 表象是以 的本征函數(shù)系 為基底的表象，在這個表象中，有第22頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三算符F對應一個矩陣（方陣），矩陣元是:選定表象后，算符和量子態(tài)都用矩陣表示。平均值公式是： 歸一化條件是： 本征值方程是： 2 在量子力學中，兩個表象之間的變換是幺正變換，滿足 ；態(tài)的變換是；算符的變換是。幺正變換不改變算符的本征值。3 量子態(tài)可用狄拉克符號右矢或左矢表示。狄拉克符號的最大好處是它可以不依賴于表象來闡述量子力學理論，而且運算簡潔。第23頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三基矢的封閉性： 坐標表象 狄拉克

9、符號第24頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三4粒子占有數(shù)表象以線性諧振子的粒子數(shù)算符N或者哈密頓的本征態(tài)為基矢的表象。粒子數(shù)算符：湮滅算符：產(chǎn)生算符：第25頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三第五章 微擾理論小結(jié)1定態(tài)微擾理論適用范圍：求分立能級及所屬波函數(shù)的修正。適用條件是：一方面要求的本征值和本征函數(shù)已知或較易計算，另一方面又要求把的主要部分盡可能包括進去，使剩下的微擾比較小，以保證微擾計算收斂較快，即（1）非簡并情況：第26頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三其中，能量的一級修正等于態(tài)中的平均值。（2）簡并情況 能級的一

10、級修正由久期方程即給出。有個實根，記為第27頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三分別把每一個根代入方程 ，即可求得相應的解，記為，于是得出新的零級波函數(shù)2變分法選擇嘗試波函數(shù)，計算的平均值，它是變分參量的函數(shù)，由極值條件定出，求出，它表示基態(tài)能量的上限。相應能量為第28頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三3.與時間有關的微擾理論（1）由的躍遷幾率是（在一級近似下）此公式適用的條件是對于（2）能量和時間的測不準關系：（3）偶極躍遷中角量子數(shù)與磁量子數(shù)的選擇定則第29頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三例題1、設在H0表象中， 的矩

11、陣為：試用微擾論求能量的二級修正。解：本題的意義在于：并不知道無微擾算符 ，微擾 和總的（一級近似）哈氏算符 的形式，也不知道零階近似波函數(shù) 的形式，知道的是在 表象中 的矩陣。但僅僅根據(jù)這矩陣的具體形式，按習慣用代表字母的涵義，可以知道幾點：第30頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三（1）能量本征值是分立的（因為用分立矩陣表示，若是連續(xù)能量本征值，不能用此表示法），無微擾能量本征值有三個 ，本征函數(shù) 。因 （2）微擾算符的的矩陣是 根據(jù)無簡并微擾論，一級能量修正量是：從（2）中看出，對角位置的矩陣元全是零，因此一級修正量：第31頁，共48頁，2022年，5月20日，21

12、點35分，星期三又二級能量公式是：所需的矩陣元已經(jīng)直接由式（2）表示出，毋需再加計算，因而有：第32頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三例2、設在H0表象中用微擾論求能量修正量（到二級近似），嚴格求解與微擾論計算值比較。解：直接判斷法：題給矩陣進行分解，有第33頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三從矩陣（3）知道一級修正量（用對角矩陣元）和二級修正量（用非對角矩陣元）仿前一題，直接寫出兩個能級（正確到二級修正量）嚴格求解法：這就是根據(jù)表象理論，分立表象中，本征方程可以書寫成矩陣方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用單列矩陣表示）。我們設算符H（1）

13、具有本征矢 ，本征值是 ，列矩陣方程式：第34頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三展開后成兩式 又假設本征矢是歸一化的：（5）式有 非平凡解的條件是：第35頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三（7）后一式可展開（8）第36頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三（7）是正確本征值解，共有二個，以符號 來區(qū)別。（8）的級數(shù)展開式可分寫為中斷在第三項的時侯便是二階近似值，這由對比便能知道兩個能級近似值的絕對誤差是有下述上限的。第37頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三第七章 自旋與全同粒子1電子自旋電子自旋假設的兩

14、個要點：（1） （2）內(nèi)稟磁矩的值即玻爾磁子的值： 斯特恩蓋拉赫實驗證明了原子具有磁矩和電子自旋。2.自旋算符和自旋波函數(shù)（1）自旋算符與Pauli矩陣 ：第38頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三對易關系：（單位算符） 第39頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三（2）自旋波函數(shù)（200-203頁） 考慮電子的自旋后，電子的波函數(shù)是二行一列矩陣：當電子的自旋與軌道相互作用可以忽略時，電子的波函數(shù)可以寫為： 第40頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三的本征函數(shù)：（3）兩電子體系的自旋波函數(shù)：第41頁，共48頁，2022年，5月20

15、日，21點35分，星期三算符3、 兩個角動量的耦合若 是兩個獨立的角動量，則 也是角動量。 C-G系數(shù)的性質(zhì)： ，j的取值 第42頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三4、全同粒子（1）量子力學中，把內(nèi)稟屬性（靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等）相同的粒子稱為全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可區(qū)分性，使得全同粒子所組成的體系中，二全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。 全同性原理或表述為交換對稱性：任何可觀測量，特別是Hamilton量，對于任何兩個粒子交換是不變的。這就給描述全同粒子系的波函數(shù)帶來很強的限制，即要求全同粒子體系的波函數(shù)具有交換對稱性 或者交換反對

16、稱性。 第43頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三（3） 全同粒子系的波函數(shù)的交換對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。玻色子：自旋為整數(shù)倍（ ）的粒子，波函數(shù)對于兩個粒子交換總是對稱的，例如介子（ ），光子（ ）。它們遵守Bose統(tǒng)計，稱為Bose子。費米子：自旋為 半奇數(shù)倍（ ）的粒子，波函數(shù)對于兩個粒子交換總是反對稱的，例如電子，質(zhì)子，中子等。它們遵守Fermi 統(tǒng)計，稱為Fermi子。 由“基本粒子”組成的復雜粒子，例如粒子（氦核）或其它原子核，如在討論的問題或過程中內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié)，則全同性概念仍然適用，也可以當成一類全同粒子來處理。如果它們是由Bose 子組成，則仍為Bose子。如它們由奇數(shù)個Fermi 子組成，則仍為Fermi子；但如由偶數(shù)個Fermi子組成，則構(gòu)成Bose子。 第44頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三（4）Pauli不相容原理：不容許有兩個或兩個以上的全同F(xiàn)ermi子處于同一個單粒子態(tài)。第45頁，共48頁，2022年，5月20日，21點35分，星期三例題1.設自由粒子的動能為，粒子的速度遠小于光速，求其德布羅意波長。例題2. 如果把坐標原點取在一維無限深勢阱的中心，即：求阱中粒子的波函數(shù)和能級的表達式。例題3