高等數(shù)學課件：3-2微分中值定理

1、第二節(jié)二、羅爾(Rolle)定理微分中值定理三 、拉格朗日(Lagrange)中值定理四 、柯西(Cauchy)中值定理 第三章 一、問題的提出一、問題的提出兩個現(xiàn)象：(1) 曲線弧 AB 上至少有一點處的切線是水平的，即(2) 變速直線運動在折返點處的瞬時速度為0, 即 不同背景的兩個現(xiàn)象，從數(shù)學的觀點看，有一個共同點:那么，在什么條件下此結(jié)論一定成立?結(jié)論：二、羅爾中值定理滿足： (1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)； (2) 在開區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導； (3) f ( a ) = f ( b )，使得在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點定理3.1（羅爾中值定理）若證明分析：觀察此

2、圖，曲線AB（上有哪些點的切線可能與x軸平行？（AB易看出，上有兩點：最高點C從函數(shù)的觀點看，就是和最底點D.這個結(jié)論是否具有一般性？費馬（Fermat）引理則證且在（或)的某鄰域內(nèi)有如果函數(shù)在點處可導，以為例證之.有則導數(shù)為零的點稱為駐點極限的保號性證由于 f (x) 在閉區(qū)間 a, b 連續(xù)，故在 a, b 上取得最大值 M 和最小值 m . (1) 若 M = m ，因此則在閉區(qū)間 a, b 上 (2) 若 M m , 則至少存在一點不妨設 使得則由費馬引理得 時，同理可證. 1 定理條件不全具備， 結(jié)論不一定成立.注2 定理條件只是充分的，并非必要條件.條件不滿足，結(jié)論不成立的例子：x

3、yO1xyO1xyO1xyO-1134羅爾定理未指明有且僅有三個實根，并指出它們證例1在 1, 1 上連續(xù),可導，且 f ( 1 ) = f ( 1 )，顯然在 (1, 1)內(nèi)因此由羅爾定理知，至少存在一點使得方程所在的區(qū)間.同理，至少存在一點使得證明由于是三次函數(shù)，方程是的三次代數(shù)方程，所以它最多有三個實根.綜上，方程恰有三個實根，分別在內(nèi).區(qū)間同理，至少存在一點使得至少存在一點使得的實數(shù)，證明方程：分析?例2 由題設條件無法確定，轉(zhuǎn)換思路：？若f (x)在0,1 上滿足羅爾定理的條件, 則使得故對F(x)不能用零點定理.由羅爾定理，可知且使得證三、拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定

4、理） (1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)； (2) 在開區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導；使得在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點滿足：若注A(a, f(a)，B (b, f(b)1與羅爾定理相比，去掉了條件(3):2結(jié)論(1.2)亦可寫成：3結(jié)論(1.2)的幾何意義證明分析弦AB方程為:曲線 y = f (x)與弦AB在兩個端點 A, B 處重合. 故在 A, B 兩端點處，它們的縱坐標之差為零(相等).作輔助函數(shù):作輔助函數(shù)證 =0注 1特例23Oxab(1.2)的其他形式：RL拉格朗日中值定理的有限增量形式:令增量y 的精確表達式對比：拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)

5、間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關系. 推論注證明等式由推論可知令 x = 0 , 得證 設故例3則 f (x)在-1, 1 上連續(xù)，在(-1, 1)內(nèi)可導，且證明不等式因為故即證 設中值定理條件,因此應有例4例5分析拉氏中值定理的條件,因此應有證即定理3.3（柯西中值定理）至少存在一點使得(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導；(3) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi) 四、柯西中值定理及滿足 :若幾何解釋:（在曲線弧 AB上至少有一點C(F(x ), f (x ) ), 在該點處的切線平行于弦AB（證分析作輔助函數(shù):命題得證.注特例特例RLC證分析結(jié)論可變形

6、為:例6內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理費馬引理2. 微分中值定理的應用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(4) 證明有關中值問題的結(jié)論(3) 確定方程根的存在性關鍵: 利用逆向思維構(gòu)造輔助函數(shù)兩個 不一定相同！定理來證明?或者說: 柯西定理的下述證法對嗎?及均滿足拉格朗日定理的條件,因為所以有因此思考題 錯!柯西定理是否可通過兩次應用拉格朗日例1-1證明方程有且僅有一個小于1的正實根 .證(1) 存在性設且則在 0, 1 連續(xù),由零點定理知, 存在使得即方程有小于 1 的正根 .假設：另有(2) 唯一性但當矛盾,故假設不真!時，綜上所述，方程

7、有且僅有一個小于1的正實根 .例1-2證證例2-1且作輔助函數(shù)易知由連續(xù)函數(shù)介值定理知，使得又證例2-2作輔助函數(shù)即亦即證例3-1 例4-1證例4-2證分析例5-1證證例5-2使得上，分析例6-1使得制造改變量的商猜 右端=結(jié)論證使得例6-2證費馬(1601 1665)法國數(shù)學家,他是一位律師,數(shù)學只是他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學上有許多重大貢獻. 他特別愛好數(shù)論, 他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學的先驅(qū) ,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的.拉格朗日(1736 1813)法國數(shù)學家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來, 數(shù)學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.柯西(1789 1857)法國數(shù)學家, 他對數(shù)學的貢獻主要集中在微積分學,柯西 全集共有 27 卷.其中最重要的是為巴黎綜合學校編