2022屆安徽省銅陵市重點高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，則( )ABCD2半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側面積的最大值為（ ）ABCD3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD4如圖是一個算法流程圖，則輸出的結果是（）ABCD5定義在R上的函數(shù)，若在

2、區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（ ）ABCD6已知集合，則的子集共有（ ）A個B個C個D個7已知底面為正方形的四棱錐，其一條側棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（ ）ABCD8設全集，集合，.則集合等于（ ）ABCD9過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（ ）ABCD10我國古代數(shù)學家秦九韶在數(shù)書九章中記述了“三斜求積術”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（ ）ABCD11若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（ ）A

3、B2CD112正項等比數(shù)列中，且與的等差中項為4，則的公比是 ( )A1B2CD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中， ，則_.14在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若 ，的面積為，則_ ，_15四面體中，底面，則四面體的外接球的表面積為_16將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓：的兩個焦點是，在橢圓上，且，為坐標原點，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點.連接、與軸交于點，.（1

4、）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.18（12分）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！?)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕?；()以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),求的分布列及19（12分）設的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.20（12分）在

5、一次電視節(jié)目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“A”和“B”兩種結果，其中某選手選擇正確的概率為p，選擇錯誤的概率為q，若選擇正確則加1分，選擇錯誤則減1分，現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.（1）當時，記，求的分布列及數(shù)學期望；（2）當，時，求且的概率.21（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為3，其中（1）求的值；（2）若，求證：22（10分）在平面直角坐標系中，已知向量，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】求得集合中函數(shù)的值域，由此求得，進而求得.【

6、詳解】由，得，所以，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補集、交集的概念和運算，屬于基礎題.2B【解析】設正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長與高分別為，利用，可得，進一步得到側面積，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長與高分別為，則，在中，化為，當且僅當時取等號，此時.故選：B.【點睛】本題考查正三棱柱與球的切接問題，涉及到基本不等式求最值，考查學生的計算能力，是一道中檔題.3A【解析】利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：故選：【點睛】本題考

7、查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵4A【解析】執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解，得到答案【詳解】由題意，執(zhí)行上述的程序框圖：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出計算結果，故選A【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的結果的計算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題5D【解析】根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對選項逐個判斷即可【詳解】由條件可得函數(shù)關于直線對稱；在，上單調(diào)遞增，且在時使得；又，所以選項成

8、立；，比離對稱軸遠，可得，選項成立；，可知比離對稱軸遠，選項成立；，符號不定，無法比較大小，不一定成立故選：【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6B【解析】根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計算，可得結果.【詳解】由題可知：，當時，當時，當時，當時，所以集合則所以的子集共有故選：B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算，當集合中有元素時，集合子集的個數(shù)為，真子集個數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎題.7C【解析】試題分析：通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知，只有選項C是符合要求

9、的.考點：三視圖8A【解析】先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以，又因為.所以.故選：A.【點睛】本題考查集合間的基本運算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.9D【解析】求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關于、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關鍵就是要得出、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.10A【

10、解析】根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因為，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.11C【解析】根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，解得，所以焦點坐標為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.12D【解析】設

11、等比數(shù)列的公比為q，運用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，以及等差數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得公比q【詳解】由題意，正項等比數(shù)列中，可得，即，與的等差中項為4，即，設公比為q，則，則負的舍去，故選D【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項公式，合理利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了方程思想和運算能力，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先由題意得：，再利用向量數(shù)量積的幾何意義得，可得結果.【詳解】由知：，則在方向的投影為，由向量數(shù)量積的幾何意義得：，故答案為【點睛】本題考查了投影的應用，考查了數(shù)量積的幾何意義

12、及向量的模的運算，屬于基礎題.14 【解析】由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得，從而求得，結合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案15【解析】由題意畫出圖形，補形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，可得，補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1，1，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外

13、接球的半徑為1其表面積為故答案為：【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補形是關鍵，屬于中檔題16【解析】先求出總的基本事件數(shù)，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型求解【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數(shù)有：個，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過

14、程或演算步驟。17（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標，表示出，根據(jù)韋達定理即可求證為定值.【詳解】（1）因為，由橢圓的定義得，點在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設，直線的斜率為，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.18 (). ()見解析.【解析】()人中很幸福的有

15、人，可以先計算其逆事件，即人都認為不很幸福的概率，再用減去人都認為不很幸福的概率即可；()根據(jù)題意,隨機變量，列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可【詳解】()設事件抽出的人至少有人是“很幸?！钡?，則表示人都認為不很幸福()根據(jù)題意，隨機變量，的可能的取值為；所以隨機變量的分布列為：所以的期望【點睛】本題考查了離散型隨機變量的概率分布列，數(shù)學期望的求解，概率分布中的二項分布問題，屬于常規(guī)題型19（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，由此求得的值，進而求得的大小.（2）利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達式，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題設知，即，所以，即，又所以.（2）由

16、題設知，即，又為銳角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范圍，求邊的比值的取值范圍，屬于中檔題.20（1）見解析，0（2）【解析】（1）即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對,答對2道答錯1道,答對1道答錯2道,3道題都答錯,進而求解即可；（2）當時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題,又,則第一題答對,第二題第三題至少有一道答對,進而求解.【詳解】解:（1）的取值可能為,1,3,又因為,故,所以的分布列為：13所以（2）當時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題,又已知,第一題答對,若第二題回答正確,則其余6題可任意答對3題；若第二題回答錯誤,第三題回答正確,則后5題可任意答對題， 此時的概率為（或）.【點睛】本題考查二項分布的分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理能力,考查分類討論思想.21（1）（2）見解析【解析】（1）分三種情況去絕對值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab1，再構造函數(shù)利用導數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證【詳解】（1），. 當時，取得最大值. . （2）由（），得，. ，當且僅當