用法向量求二面角的大小

1、用法向量求二面角的大小第一頁，共16頁。兩半平面的法向量與二面角有怎樣的關(guān)系？ 根據(jù)上圖，分小組進行討論-“兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系.”第二頁，共16頁。兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系 =- 互補= 相等第三頁，共16頁。如何判別互補還是相等？第四頁，共16頁。根據(jù)教材109頁例4改編如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點,作EFPB交PB于點F.(1)求證:PA|平面EDB; (2)求證:PB平面EFD;(3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;解:建立如圖空間直角坐標(biāo)系，A(2,0,0), C(0,2,0)B( 2,2,0)

2、 , E(0,1,1)易得平面BDF的法向量設(shè)平面BDE的法向量 根據(jù)觀察，二面角為銳二面角， 故二面角F-BD-E的余弦值為 .第五頁，共16頁。判斷互補還是相等的簡單的方法是：觀察二面角的大小來判定.第六頁，共16頁。練習(xí)題1 如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=4,AB=2,點E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;第七頁，共16頁。練習(xí)題1如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,點E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;解:建立如圖空間直角坐標(biāo)系，D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,

3、0), E(0,2,1),A1(2,0,4)平面BDE的法向量 平面A1DE的法向量根據(jù)觀察，二面角為。 第八頁，共16頁。齊相國老師刊登在數(shù)學(xué)通訊2009年第4期的法向量求二面角時法向量方向的判定方法。李峰老師發(fā)表在數(shù)學(xué)通訊2010年第9期的對“法向量求二面角時法向量方向的判定方法”一文的改進 第九頁，共16頁。 規(guī)定:如圖,分別在半平面，內(nèi)各取一點M,N(不在棱上取),我們稱 (與法向量不共線) 為內(nèi)部向量。內(nèi)部向量MN判定法第十頁，共16頁。異號互補同號相等內(nèi)部向量MN判定法第十一頁，共16頁。練習(xí)題1如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,點E在CC1上，且C1

4、E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;解:建立如圖空間直角坐標(biāo)系，D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0,2,1),A1(2,0,4)求得平面BDE的法向量 ，平面A1DE的法向量取內(nèi)部向量 故二面角A1-DE-B的余弦值為 .第十二頁，共16頁。1、建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)。用法向量求二面角的大小的一般步驟:2、求出兩半平面的法向量，并求出其夾角。3、用觀察法，確定二面角的大小。或取內(nèi)部向量 （同號相等，異號互補），判定二面角的大小。4、下結(jié)論。第十三頁，共16頁。練習(xí)題2 如圖，底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,AD|BC,ABC=900,SA

5、面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值;第十四頁，共16頁。練習(xí)題2 如圖，底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,AD|BC,ABC=900,SA面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值;解:建立如圖空間直角坐標(biāo)系，A(0,0,0), B( 0,2,0),C(2,2,0), D(1,0,0),S(0,0,1)易知平面SAB的法向量 ，求出平面SDC的法向量取內(nèi)部向量 故二面角的余弦值為 .第十五頁，共16頁。課堂小結(jié)1、弄清楚兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系。2、利用內(nèi)部向量判定二面角的大小。5、