BS期權定價模型課件詳解精講

1、BS期權定價模型課件詳解精講BS期權定價模型課件詳解精講第一節(jié)證券價格的變化過程 一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 1965年，法瑪Fama提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反響是迅速而準確的，證券價格能完全反響全部信息；市場競爭使證券價格從一個平衡程度過渡到另一個平衡程度，而與新信息相應的價格變動是互相獨立的。第一節(jié)證券價格的變化過程 一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。 弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程Markov Stochastic Process來表述。隨機過程是指某

2、變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程?？煞譃殡x散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。 假如證券價格遵循馬爾可夫過程，那么其將來價格的概率分布只取決于該證券如今的價格。效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。 二、布朗運動 一標準布朗運動設 代表一個小的時間間隔長度， 代表變量z在時間 內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的 具有兩種特征：特征1： 和 的關系滿足： 其中， 代表從標準正態(tài)分布即均值為0、標準差為的正態(tài)分布中取的一個隨機值。這是一個按正態(tài)規(guī)律集中在起始點的一個隨機運動。二、布朗運動 一標準布朗運動這是一個按正態(tài)規(guī)律集中在起始標準布朗運動(2)特征2：對于任何兩個

3、不同時間間隔， 和 的值互相獨立。 考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們可得： 當0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動： 標準布朗運動(2)特征2：對于任何兩個不同時間間隔， 和 二普通布朗運動 我們先引入兩個概念：漂移率和方差率。標準布朗運動的漂移率為0，方差率為。 我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運動： b是標準差 其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。普通的布朗運動隨時間間隔的增加，需要加上一個漂移項，表示分開起始位置的程度常數(shù)比率，而其運動是正態(tài)規(guī)律運動。總體是一個疊加運動。二普通布朗運動 我們先引入兩個概念：漂移率和方差率。三

4、、伊藤過程 普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，假設把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式得到伊藤過程Ito Process： 其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 漂移非常數(shù)，正態(tài)規(guī)律項非常數(shù)，都是與時間和其目前位置有關，更加復雜的隨機過程三、伊藤過程 普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，假設把變四、證券價格的變化過程證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 的伊藤過程來表示：兩邊同除以S得： 表示將來時間間隔后的證券價格增量變化是符合漂移和方差率只和目前價格有關系線性關系的伊藤隨機過程即普通布朗運動的晉

5、級版。表示將來價格變化率符合普通布朗運動，描繪運動偏離標注布朗運動的漂移率和方差率項已變?yōu)槌?shù)而非與時間和目前值有關系的函數(shù)四、證券價格的變化過程證券價格的變化過程可以用漂移率為S、從可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：可見， 也具有正態(tài)分布特征 (6.7) 前三個是常數(shù)或者函數(shù)值，最后一個是個標準正態(tài)隨機變量，整個式子是某種正態(tài)隨機變量。只不過這里符合的正態(tài)分布的均值和方差是與時間間隔由關系的值而已。從可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為： 例設一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18%，預期收益率以連續(xù)復利計為每年20%，其目前的市價為100元，求一周后該股票價格變化

6、值的概率分布。 例設一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18%，五、伊藤引理假設變量x遵循伊藤過程，那么變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： 由于 根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應遵循如下過程： (6.10)五、伊藤引理假設變量x遵循伊藤過程，那么變量x和t的函數(shù)G將六、證券價格自然對數(shù)變化過程 令 ，由于代入式: 證券價格對數(shù)G遵循普通布朗運動,且： 這里的絕妙的對數(shù)變換是布萊克斯科爾斯微分方程的偏微分項全部消除變?yōu)楹唵蔚姆恼龖B(tài)分布的方程。同時也說明之前的假設是要成立的：證券價格的對數(shù)服從正態(tài)分布或證券價格服從對數(shù)分布。證券價格的對數(shù)變化量服從正態(tài)分布，從而知曉st的分布函數(shù)六、

7、證券價格自然對數(shù)變化過程 令 ，例設A股票價格的當前值為50元,預期收益率為每年18%,波動率為每年20%,該股票價格遵循幾何布朗運動,且該股票在6個月內(nèi)不付紅利，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。例請問在例中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標準差等多少？ 例第二節(jié) 布萊克舒爾斯期權定價模型 一、布萊克舒爾斯微分方程 一布萊克舒爾斯微分方程的推導 我們假設證券價格S遵循幾何布朗運動：那么： 第二節(jié) 布萊克舒爾斯期權定價模型 一、布萊克舒爾斯微假設f是依賴于S的衍生證券的價格，那么： 為了消除 ，我們可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值

8、，那么： (6.15) 由于股價將來波動隨機過程與基于其的衍生品價格的隨機波動過程是一致的，因此可以通過構建股價與其衍生品的對沖組合消除這個隨機過程。假設f是依賴于S的衍生證券的價格，那么：由于股價將來波動隨機在 時間后： 將式和代入式，可得： 在沒有套利時機的條件下：把式和代入上式得： 無風險套利情形：1、可以復制的兩個投資組合將來損益一樣，但本錢不同；2、一個投資組合在任何條件下?lián)p益不低于另一個投資組合，即隨即占優(yōu)；3、投資組合構建本錢為零，但任何條件下?lián)p益不為零。表示這樣的對沖組合獲得的價值不應該比無風險利率下的時間價值大或者小。應該與存放銀行獲得的收益是一致的，必須至少獲得無風險利率。

9、既然已經(jīng)不包含隨機過程，那么結果是無風險確定的，應該不存在瞬時無風險套利。這里表達了期權定價思想就是通過能消除隨機過程的對沖組合去獲得確定的報酬，且這個報酬至少與無風險利率收益是一樣好的，即無套利。通過這樣的思想得出期權定價。根據(jù)有效市場理論，無風險組合只能獲得無風險利率。在 時間后：無風險套利情形：1、可以復制的兩個投資組合將來布萊克舒爾斯微分分程化簡為： (6.18) 這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。 方程的衍生品價格的解為fs，t,表示滿足此方程的任何解都是滿足某種衍生品的不會導致套利時機的價格；假設不滿足此方程的衍生品價格fs，

10、t也是一種價格，但這樣的價格會導致無風險套利時機。假設解這個已經(jīng)不含隨機項的偏微分方程可直接得到后面的模型解，但后面用了概率論推導方法。布萊克舒爾斯微分分程化簡為：方程的衍生品價格的解為fsB-S公式小結證券變化量滿足伊藤隨機過程基于該證券的衍生品價格滿足伊藤引理，建立起衍生品價格的隨機微分方程構建該證券與其衍生品的適當組合消除隨機過程，且該組合要滿足瞬時無套利，得到滿足任何衍生品價格f關于其證券價格s和時間t的偏微分方程。B-S公式小結證券變化量滿足伊藤隨機過程基于該證券的衍生二風險中性定價原理 B-s微分方程中不包含股票收益率，說明衍生工具自身的市場價值并不隨人們主觀的風險偏好有關，因此可

11、在任何風險偏好下求解該方程，但只有風險中性條件下才會有任何證券的期望收益率與無風險利率一致，不過多也不過低奢求，其他偏好過多或者過保守。盡管風險中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者風險的所有情況。二風險中性定價原理 B-s微分方程中不包含股票收益率，說例子假設一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。如今我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為元的該股票歐式看漲期權的價值。該看漲期權的價值應為元 例子二、布萊克舒爾斯期權定價公式在風險中性的條件下，歐式看漲期

12、權到期時T時刻的期望值為：其現(xiàn)值為 對數(shù)股票價格的分布為： 對式求解： 看漲期權價用c，看跌用p表示，根據(jù)邊界條件帶入公式。用條件概率公式求本質(zhì)是對期權在將來的某一段時間內(nèi)變?yōu)閷嵵档目赡苄赃M展定價二、布萊克舒爾斯期權定價公式在風險中性的條件下，歐式看漲風險中性下的期權價格1、邊界條件表示遠期獲利最大值也就是到期市價執(zhí)行價2、那么如今的衍生品價值應該等于最大值的期望值因為并不確定將來怎樣，只能看期望值按無風險利率貼現(xiàn)因為是風險中性偏好。3、遠期證券市價st的期望值按風險中性者要求就是如今的市價s按無風險利率給予的到期本利就可以了。4、最終的式子同樣表示：衍生品如今的價格就等于證券如今的市價到期執(zhí)

13、行價的貼現(xiàn)值。在如今的時間點去比較。5、這只是期權在如今看來其內(nèi)在價值的表達。并沒有包含時間價值，時間價值是表達在隨機性質(zhì)里的。Bs定價模型的推導和最終結果就包含了隨機過程是包含時間價值的。風險中性下的期權價格1、邊界條件表示遠期獲利最大值也就是到期Bs模型的概率論推導方法Bs模型的概率論推導方法Bs模型的概率論推導方法關于推導過程：1、這里用的是概率論法，直接解偏微分方程也可以得到結果。期權的價格是到期日行權后價值的期望值，因為如今并不知道st是多少。并且認為將來這段時間st的對數(shù)呈正態(tài)分布，也即雖然將來是個隨機過程，但是我們認為是能用概率分布描繪的隨機過程。這樣便可以用密度函數(shù)求解這個期望

14、值了。2、如今定的期權價格上限是標的資產(chǎn)價格s，下限是s-exp-T-tX。而bs模型的最終結果是雖然s和x的折現(xiàn)值都被乘以一個小于1的數(shù)值，但是可以數(shù)學證明這個c值是大于下限值的。3、c值大于下限值是因為該模型包含了期望價值的兩個分量，即內(nèi)在價值s-exp-T-tX和時間價值，時間價值是因為將來的時間間隔里標的資產(chǎn)會產(chǎn)生隨機波動，而bs模型已經(jīng)考慮在內(nèi)了。4、這里的波動率是指標的資產(chǎn)將來的波動率，而這個顯然是不知道的，只能通過預估得到。Bs模型的概率論推導方法關于推導過程：1、這里用的是概率論法其中， 我們可以從三個角度來理解這個公式的金融含義：首先，N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的

15、概率，或者說式歐式看漲期權被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。 補充：C期權初始合理價格，是指不存在無風險套利的歐式期權價格。X期權執(zhí)行價格S所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價如今的時刻t的市價，如股票現(xiàn)價 T期權有效期：期權有效天數(shù)與365的比值。r連續(xù)復利計無風險利率股票連續(xù)復利對數(shù)回報率的年度波動率標準差N(d1)，N(d2正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，即這個變量小于d1或d2的概率其中， 其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)量，SNd1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)那么

16、是復制交易策略中負債的價值。 最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權可以分拆成資產(chǎn)或無價值看漲期權Asset-or-noting call option多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權cash-or-nothing option空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權的價值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價值看漲期權空頭的價值。其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)量，SNd1)就在標的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權的價值。根據(jù)歐式看漲期權和看跌期權之間存在平價關系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權的定價公式 ： 由于美式看跌期權與看漲期權之間不存在嚴密的

17、平價關系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。 在標的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式也給出了無收益三、有收益資產(chǎn)的期權定價公式一有收益資產(chǎn)歐式期權的定價公式當標的證券收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用SI代替式和中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權的價格。 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q單位為年時，我們只要將代替式和中的S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權的價格。 三、有收益資產(chǎn)的期權定價公式一有收益資產(chǎn)歐式期權的定價公對于歐式期貨期權，其定價公式為： 其中：對于歐式期貨期權，其定價公式為：例假設當前英鎊的即期匯率為，

18、美國的無風險連續(xù)復利年利率為7%，英國的無風險連續(xù)復利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為的英鎊歐式看漲期權價格。 美分 。例假設當前英鎊的即期匯率為，美國的無風險連續(xù)復利年利率為7%二有收益資產(chǎn)美式期權的定價1美式看漲期權 當標的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權就有提早執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理的方法。該方法是先確定提早執(zhí)行美式看漲期權是否合理。假設不合理，那么按歐式期權處理；假設在tn提早執(zhí)行有可能是合理的，那么要分別計算在T時刻和tn時刻到期的歐式看漲期權的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權的價格。二有收益資產(chǎn)美式期權的定價1美式看漲期權 例 假設一種1年期的美式股票看漲期權，標的股票在5個月和11個月后各有一個除權日，每個除權日的紅利期望值為元，標的股票當前的市價為50元，期權協(xié)