量子力學(xué)考試題

1、量子力學(xué)考試題(共五題，每題20分)1、扼要說明：束縛定態(tài)的主要性質(zhì)。單價原子自發(fā)能級躍遷過程的選擇定則及其理論根據(jù)。2、設(shè)力學(xué)量算符(厄米算符)F，G不對易，令K = i( F G-G F ), 試證明：K的本征值是實(shí)數(shù)。對于F的任何本征態(tài)k；, K的平均值為0。在任何態(tài)中云+薩NK3、自旋力/2的定域電子(不考慮“軌道”運(yùn)動)受到磁場作用，已 知其能量算符為H =3 SH =七 + v Sx(，v 0，v)求能級的精確值。視v Sx項(xiàng)為微擾，用微擾論公式求能級。4、質(zhì)量為m的粒子在無限深勢阱(0 xa)中運(yùn)動，處于基態(tài)。寫 出能級和波函數(shù)，并計算平均值X，p，瓦5、某物理體系由兩個粒子組成

2、，粒子間相互作用微弱，可以忽略。已知單粒子“軌道”態(tài)只有3種：k a仔)，W，(了 )，K仔)，試分別就 以下兩種情況，求體系的可能(獨(dú)立)狀態(tài)數(shù)目。無自旋全同粒子。自旋力/2的全同粒子(例如電子)。量子力學(xué)考試評分標(biāo)準(zhǔn)1、(a)， (b)各 10 分能量有確定值。力學(xué)量(不顯含。的可能測值及概率不隨時 間改變。(n l m ms)(n 1 m m)選擇定則：A/ = +1, Am =0,土 1,、ms =0根據(jù)：電矩m矩陣元-e 了 nig l m ms豐02、(a) 6 分(b) 7 分(c) 7 分K是厄米算符，所以其本征值必為實(shí)數(shù)。胃=人川，頊F =人VK =：留 K = i VF G

3、-G F 您=i人Vg：-：w|gI中；=0(F +iG)(F-iG) = F2+ G2-K斗I (F +iG)(F-iG) = I (F-iG) I I 2NO.N0，即F2 + g 2 N K3、(a)，(b)各10分方1 0方0 1方 v(a)H = 3 七 + V Sx = 2 3 L 0 1 _ + 2 vL 1 0 _ = 2 L v 3 _a方H =E , = b ,令= 2 人，則一人 v a一人 vv 一人b =0，| v 一人 | =人 2g 2-v 2 =0 方方Ij1I人= 寸2 +v2，E = - 2 寸2 +v2，E2= 2 J2 +v2 TOC o 1-5 h z

4、 v 2v 2v 2當(dāng)V，板2 +v 2 =(1+ 2 ) 1/2 Q (1+ 2rn 2 )= + 2rn方 v 2方v 2r . T- Ir. T- -1E Q - 2L + 2o，E2= 2L + 2o _|(b) H =七 + v Sx = Ho+ H ，Ho=七， H，= v Sx 1斗1斗1斗 力3力3力3H0本征值為 2 ，取 E (0) =-2，E2 (0) = 201相當(dāng)本征函數(shù)(Sz表象)為1(0)=1 ， 2(0)= 0 則H，之矩陣元(Sz表象)為/zvH =0, H =0, H =H = 211221221H21E =E（o）+H，+ E（o） H21E =E（o）+

5、H，+ E（o） E（o）111112-/CD=-2方 2V 2 4+。_ 方 CD1 +1 方V 2一力 CD=-2-4 cd_方Q）E =E（o）+H + E（。）一 E（o）= 2+ 4 CD2222212 .兀 x加; Qxa4、E = 2ma2 , w =。 xa1 1f ,2 f . Tlx r aJ w 2 xdx J x sin 2 dx 1a ci2f d2f l.兀 x一 J V f dx= ti i d（ sm2 一）= 0 p =_i p, 1 dx 1 _i a 2 aX n 00f d ,2 f . 7lx7ix JV x一V dx = - in J xsm一d（s

6、m xp =-if. 1 dx 1a aaX n 00十 1. TlX a S . nx-ih x sm2 一 J sin2 一 ax= a a 0- a0ih f 7 ihJ v 2dx =0+ 2 o2四項(xiàng)各5分5、（i）, （ii）各 10 分（i） s=0,為玻色子，體系波函數(shù)應(yīng)交換對稱。V （r,r）有：V （r ） V （尸），v （，） W （尸）v （r ） V （尸）,12a 1 a 2b 1 b 2cl c 2（r）V （Ew （r）V （7）j2 a 1 b 1 b 1 a 2accabccb共6種。1(ii) s= 2 ?單粒子態(tài)共6種:V1V0V1V0V1V0a0a1

7、b0b1c0c，1任取兩個，可構(gòu)成體系(交換)反對稱態(tài)，如-W b (r)2J2X-、-、=-W b (r)2J2X-、-、=2 W (r )W (r )-WV a 1 b 2體系態(tài)共有c： =15種6Wa， Wb，Wc三種軌道態(tài)任取兩個b (商1100a11或：V-2 W可構(gòu)成一種軌道對稱態(tài)一種反對稱態(tài)(W (-W OpW (，前者應(yīng)與自旋單態(tài)X相乘，而構(gòu)成體 1 b 2 b 1 a 200系反對稱態(tài)，共3種。后者應(yīng)與自旋三重態(tài)X，x10，x1_1相乘而構(gòu)成體系反對稱態(tài)，共3x 3 = 9種。但軌道對稱態(tài)還有W (r ) W (型，共3種型，各與自旋單態(tài)配合， a1 a2共3種體系態(tài)，故體系

8、態(tài)共3+3+9=15種。量子力學(xué)習(xí)題第一章緒論1.1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長xm 與溫度T成反比，即如T=b(常量)；并近似計算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。1.2在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。1.3氦原子的動能是E=3kT/2 (k為玻耳茲曼常數(shù))，求T=1K時，氦原子的 德布羅意波長。1.4利用玻爾一索末菲的量子化條件，求：一維諧振子的能量；在均勻磁場中作圓周運(yùn)動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場H=10特斯拉，玻爾磁子MB=9 X 10-24焦耳/特斯拉，試計算動能 的量子化間隔AE，并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動能量相比較。

9、1.5兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對。如果兩光子的能量相 等，問要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？第二章 波函數(shù)和薛定諤方程2.1由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度：(1) W=eikr/r,(2) W2=e-ikr/r.從所得結(jié)果說明v1表示向外傳播的球面波，W2表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球 面波。2.2 一粒子在一維勢場8,X 0U ( x) = o,0 x a中運(yùn)動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。2.3求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。2.4 一粒子在一維勢阱|x| |x| a|x| a中運(yùn)動，U =0,中運(yùn)動，求束縛態(tài)(0EU)的能級所滿足的方程。2.5對于一維無限

10、深勢阱(0 xa)中的定態(tài)Wn(x)，求X、x2和Ax，并與經(jīng)典 力學(xué)結(jié)果比較。2.6粒子在勢場8,X 0V ( x) = 一 V ,0 x a0,a X中運(yùn)動，求存在束縛態(tài)(E0)的條件(力，m，a，V0關(guān)系)以及能級方程。12.7求二維各向同性諧振子V=2k(x2+y2)的能級，并討論各能級的簡并度。2.8粒子束以動能E=如k5從左方入射，遇勢壘V (V (X)=0,M,求反射系數(shù)、透射系數(shù)。EV0情形分別討論。TT 力 2 d 2H = 一2.9質(zhì)量為m的粒子只能沿圓環(huán)(半徑R)運(yùn)動，能量算符2 mR 2伽2，中為旋轉(zhuǎn)角。求能級(En)及歸一化本征波函數(shù)Wn(。，討論各能級的簡并度。第三

11、章基本原理 a02x2 iW (x)=：e - 2 - 21求：3.1 一維諧振子處在基態(tài)兀求：3.1 一維諧振子處在基態(tài)U =呻 2 x 2勢能的平均值 2；T =已動能的平均值 即；動量的幾率分布函數(shù)。3.2設(shè)t=0時，粒子的狀態(tài)為1W(x)=Asin2x+ 2 cosx，求此時粒子的平均動量和平均動能。3.3在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，勢阱的寬度為s如果粒子的狀態(tài)由 波函數(shù)W(x)=Ax(a-x)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。3.4證明：如歸一化的波函數(shù)W(x)是實(shí)函數(shù)，則。px=i方/2；如w=W(,)(與_0,中無關(guān))，則,汾=-3/2。3.5計算對易式

12、x,Ly，pz,Lx，并寫出類似的下標(biāo)輪換式(xy,耘z z-x)。3.6證明算符關(guān)系 r x L + L x r = 2ihrp x L + L x p = 2i 方p3.7設(shè)F為非厄米算符(F+尹F)，證明F可以表示成A+iB的形式，A、B為厄 米算符。求A、B與F、F+之關(guān)系。13.8 維諧振子(V1=2如)處于基態(tài)。設(shè)勢場突然變成V2=如，即彈性力增 大一倍。求粒子在V2場中的能級以及此粒子在新勢場的基態(tài)中出現(xiàn)的幾率。3.9有線性算符L、M、K，L, M=1，K=LM。K的本征函數(shù)、本征值記為 Wn、人(n=1, 2,)。證明：如函數(shù)Mwn及Lwn存在，則它們也是K的本征函數(shù)， 本征值

13、為(人1)。3.10證明：如H= p2/2m+V( r )，則對于任何束縛態(tài) p =0。3.11粒子在均勻電場中運(yùn)動，已知H= p2/2m-qex。設(shè)t=0時x =0，px =p0， 求 x (t)，膈)。3.12粒子在均勻磁場B =(0,0, B)中運(yùn)動，已知H= P2/2m Lz，=qB/2mc。設(shè) t=0 時=(p0, 0, 0)，求 t0 時。3.13粒子在勢場7()中運(yùn)動，V與粒子質(zhì)量m無關(guān)。證明：如m增大，則 束縛態(tài)能級下降。第四章中心力場4.1證明氫原子中電子運(yùn)動所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是Jer=JeO=0,ehm h 2 j = _ yer sin Ol nim 。

14、，e中。4.2由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。求一圓周電流的磁矩。(2)證明氫原子磁矩為(SI)(SI)(CGS)2 ymeh2yc原子磁矩與角動量之比為 TOC o 1-5 h z M = I 2y(SI)盤 CGS)這個比值，稱為回轉(zhuǎn)磁比率。4.3設(shè)氫原子處于狀態(tài)13h(r,O,甲)=-R (r)K (O,平)?R (r)Y (O,甲), 2 21102 211-1求氫原子能量、角動量平方及角動量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和 這些力學(xué)量的平均值。4.4利用測不準(zhǔn)關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能量。4.5對于類氫離子的基態(tài)h100，求概然半徑(最可幾半徑)及r,克。

15、4.6對于類氫離子的hm態(tài)，證明1= _ 2= En。4.7對于類氫離子的基態(tài)W100，計算Ax, 玖，驗(yàn)證不確定關(guān)系A(chǔ)x - Ap 方 j24.8單價原子中價電子（最外層電子）所受原子實(shí)（原子核及內(nèi)層電子）的 庫侖作用勢可以近似表示成V （r）=竺一o,0 X 1試求價電子能級。與氫原子能級比較，列出主量子數(shù)n的修正數(shù)公式。提示：將V（r）中第二項(xiàng)與離心勢合并，記成I（I +】）五2/2Hr2，計算（l）之值，.。第五章表象理論一 5.1設(shè)|Wn，|%是厄米算符H的本征態(tài)矢，相應(yīng)于不同的本征值。算符F與H對易。證明wkFWn=0。5.2質(zhì)量為H的粒子在勢場V（x）中作一維運(yùn)動，設(shè)能級是離散的

16、。證明能量 表象中求和規(guī)則方加2H（人為實(shí)數(shù)）。5.3Ap。方加2H（人為實(shí)數(shù)）。5.3Ap。5.4*設(shè)J為角動量*n為常矢量，證明對于一維諧振子的能量本征態(tài)|n，利用升、降算符計算T、5.4*設(shè)J為角動量*n為常矢量，證明 對于角動量 對于角動量J的g態(tài)32, Jz共同本征態(tài)），計算Jx、Jy、Jx2、J2等平5.5均值，以及AJx、AJy。5.6設(shè)n （單位矢量）與z軸的夾角為0,對于角動量的jm態(tài)，計算Jn*（即n - J的平均值）。5.7以 叫表示L2，Lz共同本征態(tài)矢。在1=1子空間中，取基矢為 11, 10, 1 1）,建立L2，Lz表象。試寫出Lx及Ly的矩陣表示（3階），并 求

17、其本征值及本征態(tài)矢（取力=1）。*5.8對于諧振子相干態(tài)優(yōu)(1履=以度，以為實(shí)數(shù))，計算n, s E, AE, x, Ax, p, Ap第六章微擾理論6.1如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為,電荷均勻分布的小球， 計算這種效應(yīng)對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。6.2轉(zhuǎn)動慣量為/、電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子在均勻電場8中，如果電場較 小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級修正。 一 . 一 一 6.3設(shè)一體系未受微擾作用時只有兩個能級E01及E02，現(xiàn)在受到微擾H的 作用。微擾矩陣元為H12=H21=a, H=H=b; a, b都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能 量至二級修正值。6.4 一電荷為e的線性諧振子受恒定

18、弱電場8作用，設(shè)電場沿正x方向：用微擾法求能量至二級修正；求能量的準(zhǔn)確值，并和(1)所得結(jié)果比較。6.5設(shè)在t=0時，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設(shè) 單色光的電場可以近似地表示為8sint, 8及均為常量；電離后電子的波函數(shù) 近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻t躍遷到電離態(tài)的幾率。6.6基態(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降， 即80， t 0(T 0)求經(jīng)過長時間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。6.7計算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。6.8求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。6.9粒子(質(zhì)量四)在無限深勢阱0 x0)中作一維運(yùn)動。試用變

19、分法求基態(tài)能量近似值。建議取試探波函數(shù)wQ, r)=Aexp(-X2r2)o6.12某量子力學(xué)體系處于基態(tài)3)。t0后受到微擾作用，H(x,t)=F(x)e-g 試證明：長時間后(tc)該體系處于激發(fā)態(tài)Wn(x)的幾率為F 112 /(E - E)2 + 加 /T 2第七章自旋7.17.2求在自旋態(tài)*：*)中，7.2求在自旋態(tài)*：*)中，S7.3 求 x(as偵)=?力仰-i)7.4求自旋角動量在(cos以，cos。，cos7.4求自旋角動量在(cos以，cos。，cosy)方向的投影=S cosa + S cos。+ S cosyXyz的本征值和所屬的本征函數(shù)。A .在這些本征態(tài)中，測量SZ有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出