福建省北京師范大學(xué)泉州附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期中仿真測試題一含解析

1、PAGE PAGE 29福建省北京師范大學(xué)泉州附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期中考試仿真測試題一（含解析）1設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，若，且，則球O的體積為（ ）A48BC12D【答案】B【分析】由題知球?yàn)橐?為棱長的正方體的外接球.【詳解】，且球可看作以2為棱長的正方體的外接球，設(shè)半徑為,，即，球O的體積.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查外接球體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求出半徑，屬于基礎(chǔ)題.2在中，點(diǎn)滿足，則的值為AB6CD8【答案】A【詳解】解：中，點(diǎn)滿足，故為的中點(diǎn)，故選：A.3已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（ ）A BCD3【答案】A【分析】利用是純虛

2、數(shù)，實(shí)部為，即可得的值.【詳解】，若是純虛數(shù)，則，解得：.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.4已知，且與的夾角為，則ABCD【答案】A【分析】解：，且與的夾角為，故，故選：A5.ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的分別為a，b，c，且(a+b)(sinAsinB)=(cA. 1B. 3C. 2D. 2【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題由已知利用正弦定理可得a2=b2+c2bc，由余弦定理可得cosA=12，結(jié)合范圍A(0,)，可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可

3、求bc4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，取等號(hào)，利用三角形的面積公式即可求解【解答】解：由正弦定理以及(a+b)(sinAsinB)=(cb)sinC得：a+bab=cbc，整理得b2+c2a2=bc，則cosA=1ABCD【答案】A【分析】通過平移將問題變?yōu)榕c所成角；根據(jù)等腰三角形三線合一可知，從而得到所成角為.【詳解】原題如下圖所示： 異面直線與所成角即為與所成角連接，且為中點(diǎn) 異面直線與所成角為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解，關(guān)鍵是通過平移利用相交直線所成角來求解，屬于基礎(chǔ)題.7在中，角，的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為ABCD【答案】C【詳解】解：，由正弦定理及余弦定理得：，可得：，又，當(dāng)

4、且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為故選：8.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn).由以下論斷：CC1與B1A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解清楚題設(shè)條件，根據(jù)所學(xué)的定理，定義對(duì)所面對(duì)的問題進(jìn)行證明得出結(jié)論，考查空間想象能力以及推理誰的能力，屬于中檔題由題意，此幾何體是一個(gè)直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中點(diǎn)，由這些條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷得出正確選項(xiàng)【解答】解：不正確，因?yàn)镃C1與B1E在同一個(gè)側(cè)面BCC1B1中，故不是異面直線；不正確，由題意知

5、，上底面ABC是一個(gè)正三角形，所以CAB=60，故不可能存在AC平面ABB1A1；正確，因?yàn)锳E，B1C1為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線；又AEBC，BC/B1C1，所以AEB19設(shè)，為復(fù)數(shù)，下列命題中正確的是A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】BC【詳解】解：由復(fù)數(shù)的形式可知，選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有，又，所以，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，則，所以，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，則，可得，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：BC10.已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱和底面垂直，且所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，側(cè)面BCC1A. 若的中點(diǎn)為E，則/平面B. 若三棱柱的體積為，則到平面的距離為3C. 若是邊長為2

6、的等邊三角形，則與平面所成的角為D. 若AB=AC=BC，則球O體積的最小值為【答案】AD【解析】【分析】本題考查直線與平面的平行，直線與平面所成的角，點(diǎn)到平面的距離，錐體的體積公式，球體的體積公式，多面體的外接球等知識(shí)點(diǎn).屬于中檔題A中取BC的中點(diǎn)F，連接AF，C1F，BE，A1B，A1E，EF.先利用三棱柱的結(jié)構(gòu)特征和平面與平面平行的判定定理證得平面A1BE/平面AC1F，在運(yùn)用平面與平面平行的性質(zhì)定理即可證得AC1/平面A1BEB中根據(jù)割補(bǔ)思想四棱錐A1BCC1B1的體積占三棱柱ABCA1B1C1體積的23，結(jié)合題設(shè)側(cè)面BCC1B1的面積為43即可求得A1到平面BCC1B1的距離C中根據(jù)

7、是邊長為2的等邊三角形結(jié)合題設(shè)可得三棱柱ABCA1B1C1為正三棱柱.取A1B1的中點(diǎn)N，連結(jié)AN,C1N，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可證得，從而有C1AN為直線C1A與平面AA1B1B所成的角，通過計(jì)算即可確定AC1與平面AA1B1B所成的角D中由AB=AC=BC，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱和底面垂直可得三棱柱ABCA1B1C1為正三棱柱，設(shè)M，N分別是ABC，A1B1C1的中心，連接MN，則球心O為MN的中點(diǎn).設(shè)三棱柱底面邊長為a，高為h，則a=43，通過計(jì)算可得外接球的半徑R2從而確定球O體積的最小值【解答】解：A，取BC的中點(diǎn)F，連接AF，C1F，BE，A1B，A1E，EF三棱柱

8、ABCA1B1C1C1E/BF且C1E=BF，四邊形C1EBF為平行四邊形，故BE/C1F，同理AF/A1E又BEC1F，AFA1E.平面A1BE/平面AC1F，AC1平面AC1F，AC1/平面A1BE，故A正確;B，若三棱柱ABCA1B1C1的體積為43，如圖二示四棱錐A1BCC1B1的體積為833三棱柱ABCA1B111中，為邊上的一點(diǎn)，且滿足，若為邊上的一點(diǎn)，且滿足，則下列結(jié)論正確的是AB的最大值為C的最小值為D的最小值為【答案】BD【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?、三點(diǎn)共線，所以，故錯(cuò)誤；則，則，即最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故錯(cuò)誤；

9、，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故正確故選：BD12.如圖，點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1A. 三棱錐AD1PC的體積不變B. A1P/平面ACD1C. 【答案】ABD【分析】本題主要考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解【解答】解：對(duì)于A，由題意知AD1/BC1，又AD1平面AD1C，BC1平面AD1C，從而BC1/平面AD1C，故BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面AD1C為底面，則三棱錐AD1PC的體積不變，故A正確；對(duì)于B，連接A

10、1B，A1C1，易知A1C1/AC，又A1C1平面AD1C，AC平面AD1C，故A1C1/平面AD1C，由A選項(xiàng)證明過程可知：BC1/平面AD1C，又A1C1BC1=C1，且A1C1、BC1平面BA1C1，所以平面BA1C1/平面ACD1，又A1P平面BA1C1，故A1P/平面ACD1，故B正確；對(duì)于C，由于DC平面BCC1B1，又BC13是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)【答案】解：復(fù)數(shù)，故答案為：14已如向量，滿足，若，則的最大值為_；【答案】4【詳解】設(shè)，則，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，即：所以所以的最大值為.故答案為：4.15在中，則的值為【答案】【詳解】解：在中，故，由余弦定理可知：，即，由正弦定理可知

11、：，由題知，故答案為：16如圖，在邊長為的正方形中，分別是邊，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則的最大值是_【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后根據(jù)得，再設(shè)，根據(jù)，表示出，進(jìn)而表示出，換元之后利用基本不等式求解最值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由可得，所以可設(shè)，因?yàn)?，由可得，所以設(shè)，則，即當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為故答案為：.17已知，分別是內(nèi)角，所對(duì)的邊，且滿足，若為邊上靠近的三等分點(diǎn)，求：（1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理化簡得到，再利用余弦定理求解；（2）根據(jù)，兩邊平方整理得到，再利用基本不等式求解

12、.【詳解】（1）因?yàn)椋?由正弦定理得，即，所以由余弦定理得得.（2）由題意得，兩邊平方得，整理得，即，而，于是，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以求的最大值是18的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知為銳角，（1）求；（2）若，且邊上的高為，求的面積【答案】（1）/6 (2)【解析】解：（1）因?yàn)?，所以，由余弦定理得，所以，即，由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，由為銳角，（2）由題意得，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，解得，所?9在三角形中，D是線段上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)（1）若，求的值；（2）求的取值范圍；【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理，由題中條件，得到，從而可求出的值，進(jìn)而可求

13、得的值；（2）根據(jù)題意先求出，設(shè)，再由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，即可求得結(jié)果【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，?）因?yàn)樵谌切沃?，所以，所以，由題意得，所以，因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?0已知函數(shù)的最大值為2，且的最小正周期為（）若，求的最小值和最大值；（）設(shè)的內(nèi)角、的對(duì)應(yīng)邊分別為、，為的中點(diǎn)，若，求的面積【答案】（1） 2；- （2）解：，由題意得，即，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故函?shù)的最大值2，最小值由得，由，得，由為三角形內(nèi)角得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，解得或（舍，故的面積21.某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示，AB為地面，CD，CE為

14、路燈燈桿，CDAB，DCE=23，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角MEN=3.已知(1)當(dāng)M，D重合時(shí)，求路燈在路面的照明寬度MN；(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，考查了正弦定理，余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題(1)直接利用余弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用求出結(jié)果；(2)利用余弦定理和正弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果【答案】(1)路燈在路面的照明寬度為732m；(2)照明寬度MN【解析】解：(1)當(dāng)M,D重合時(shí)，由余弦定理知，ME=DE=CD2+CE22CDCEcosDCE=27，所以cosCDE=CD2+DE2CE22CDDE=5714，因?yàn)镃DE+EMN=2，所以sinEMN=cosCDE=5714，因?yàn)閏osEMN0，所以cosEMN=1sin2EMN=2114，因?yàn)镸EN=3，所以sinENM=（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)，過點(diǎn)作，使，連接，過作，且使，先證明四邊形為為平行四邊形，通過勾股定理得，進(jìn)而得結(jié)果；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)錐體體積公式以及二次函數(shù)性質(zhì)得，分別是棱，的中點(diǎn)時(shí)合乎題意，通過向