北師大版高中數(shù)學必修4同步學案第2章 平面向量基本定理

1、3.2平面向量基本定理學 習 目 標1.了解平面向量基本定理及其意(重 點2.能應用平面向量基本定理解決些實 際問題(難點)核 心 素 養(yǎng)1.通過學習平面向量基本定理提數(shù)學 抽象素養(yǎng)2.通過平面向量基本定理解決實問, 培養(yǎng)直觀想象素.平面向量基本定理如果 e ,e (如圖所)是同一平面內(nèi)的兩個不共線向,么對于這一平面內(nèi)的任一向量 a,存唯一 一對實數(shù) , ,使 a e e (如圖所),中不共線的向量 e ,e 叫表示這一平面內(nèi)有向量 的一組基底思考：若存在 , R, , R, e ,a e e ,那么 , , , 有關 系？提示 由知得 e e e 即 )e ( . e 與 e 不共, 0,

2、0, , . 1設 ,e 是一平面內(nèi)兩個不線的向以下各組向量中不能作為基底的( ) A ,e C 5e Be e 3e 3e D ,e e 答案 B 2設 為行四邊形 的稱中,AB4e ,BC6e 則 2e 3e 等( ) A.OAC.OCB.OBD.OD 1 1 B 如圖OB DB (ABBC)2e 3e .2 23已知向量 a 與 b 是組基底實數(shù) 滿足3x4y)a(2x3y)b6a3b,則 xy，3 由原式可，解得所以 xy3. 4已知向量 a 與 b 不線且Ba4b,BC3ab,則共線的三點為_ 1A,B,D BD BCCDa9b3ab 2a 8b,為 B a4b,所以AB 所以 A,

3、B,D 三點共2線對向量基底的理解【例 1】 設 O 是行四邊形 ABCD 對角線的交點給下列向量組： AD與B；DA與BC；與C；ODOB,其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的( )ACBD B AD與B不共線；DABC,則A與C共線；CADC不共線；ODOB,則OD與B共線由平面向量基底的概念知,只有共線的兩個向量才能構(gòu)成一組基,故滿足題意考查兩個向量是否能構(gòu)成基底,要看兩向量是否非零且不共.此外一個平面的基底一旦確, 么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出.1e ,e 是平內(nèi)一組基向, ae 2e e e 則向量 e e 可以表示為另一組基向量 ,b 的線性組合即 e

4、 e _a_b. 2 1 由題意設 e e manb.3 3因為 ae 2e ,be e , 2 3 1 3 2 3 1 3 所以 e e m(e 2e )n(e e (mn)e (2mn)e . 由平面向量基本定理得mn，2mn1， ，所以 用基底表示向量 1 1 【例 2】 設 MP 是 三上的它們BM BC,CN CA,AP3 3 a,ACb,試用 將N、NP、PM表示出來 解 如圖,CM1 AB,若B 31 2 AC CB3 31 2 AC (ABAC)3 31 2 1 2 AC AB b a.3 3 3 3 1 2同理可NP a b.3 3 1 1PMMPNP) a b.3 3平面內(nèi)

5、任何一個向量都可以用兩個基底進行表轉(zhuǎn)化時一定要看清轉(zhuǎn)化的目,要充分利用向量 法、減法的三角形法則和平行四邊形法,時結(jié)合實數(shù)與向量積的定,牢記轉(zhuǎn)化方向把未知量逐步 往基底方向進行組合或分. 2.如圖所示,梯形 ABCD 中ABCD, AB2CD,M,N 分是 DC 和 AB 的點若Ba,ADb,試用 a,b 表示C,BC,MN.解 如圖所,連接 CN,則四形 是平行四邊形 1 1則CAN AB ；2 2 1 1BCNCNBAD ABb a；2 2 1MNCNCM CD2 1 1AD ab.2 2 4平面向量基本定理應用探究問題1如果 e ,e 是個不共線的非零向則與 e ,e 在同一平面內(nèi)的任一

6、向量 a,能否用 e ,e 表示依 據(jù)是什么？提示 能依據(jù)是平面向量基本定理2如果 ,e 是線向量那向量 能否 ,e 表？為什么？ 提示 不定當 a 與 e ,e 中一個非零向量共線時可以表,否則不能表示 3基底給定時向量分解形式唯嗎？提示 向分解形式唯一【例 3】 如,在 中點 M BC 的,點 在 AC 上,且 與 BN 相于點 P,求 AP PM 與 BP 思路探究 以M與N為基底利平面向量基本定理求,解題時注意條件 A、P、M 和 B、N 分別 共線的應用 解 設 ,CNe 4 5 3 5 4 5 3 5 則MACCM e ,BNBCCN2e e . A,P,M 和 B,P,N 分共,

7、 存在實數(shù) , 使得PAMe 3e BPBN e . 故ABPPAAP(2 (3)e 而ABCCA2e 3e 由面量基本定理 得 ，解得 4 3AP AM,BP BN,5 5APPM41,BPPN3 1變設問在例條件,若CMa,CNb,用 a,b 表CP.解 由本例解析知 BPPN2, 2則P NB,5 2 2 CPCNNPCN NBb (CBCN)5 54 2 3 4b a b b a.5 5 5 52變條件若例中的點 N 為 AC 的,其它條件不,求 APPM 與 BP 解 如圖,設Me ,CNe , 則MACCM e ,BNBCCN2e e , A,P,M 和 B,P,N 分共, 存在實

8、數(shù) , 使得PAMe 2e 2 3 2 3 2 3 2 3 BPBNe e . 故ABPPABPAP()e (2)e 而ABCCA2e 2e ,由面量基本定理 得 ，解得 2 2AP AM,BP BN,3 3APPMPN用向量解決平面幾何問題的一般步驟的兩個平面向量作基.量用基底向量表,將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問. 識進行向量運,出向量問題的.題的解轉(zhuǎn)化為平面何問題的.1對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：一組基底是兩個不共線向量；基底的選擇是不唯一的平面內(nèi)兩量不 共線是這兩個向量可以作為這個平面內(nèi)表示所有向量的一組基底的條件(2)零向量與任意向量共,故基中的向量不是零向量2準確理解

9、平面向量基本定理(1)平向量基本定理的實質(zhì)是向量的分解 ,即平內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩 個向量和的形式且分解是唯一的(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)與化歸的數(shù)學思想 ,用量解決幾何問題時,我們可以選擇適當一 組基底將題中涉及的向量向基底化使問題得以解.1判斷正的打“”,錯誤打“”) (1)任意兩個向量都可以作為基( ) (2)平面向量的基底不是唯一的( )(3)零向量不可作為基底中的向( )答案 (1) (2) (3)2下列關于基底的說法正確的( )平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；基底中的向量可以是零向量；平面內(nèi)的基底一旦確定,該平內(nèi)的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的ACBDC 零向量與任意向量共線,故向量不能作為基底中的向故錯正確3已向量 e ,e 不線 , 實數(shù) x,y 滿足 ( 3y)e (3x 4y)e ,則 x_,y _.15 12 向量 e 不共, ， ，解得x15，y12.1 14.如圖所示,平行四邊形