上海市青浦區(qū)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

1、PAGE PAGE 18上海市青浦區(qū)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、填空題（共12小題）.1已知復(fù)數(shù)z，其中i為虛數(shù)單位，則|z| 2拋物線x2y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 3雙曲線1的漸近線方程是 4在（2x+）6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 5如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為2的正方形，PA底面ABCD，且，則該四棱錐PABCD的體積為 6已知兩條直線l1：ax2y30，l2：4x+6y30，若l1的一個(gè)法向量恰為l2的一個(gè)方向向量，則a 7已知拋物線y28x的焦點(diǎn)（a0）的右焦點(diǎn)重合，則a 8現(xiàn)有詩經(jīng)、尚書、禮記、周易、春秋各一本，分給甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)，

2、每人一本，若甲乙都沒有拿到詩經(jīng)，且乙也沒拿到春秋，則所有可能的分配方案有 種9甲乙兩人分別擲兩顆骰子與一顆骰子，設(shè)甲的兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)分別為a與b，乙的骰子點(diǎn)數(shù)為c則擲出的點(diǎn)數(shù)滿足abc的概率為 .（用最簡分?jǐn)?shù)表示）10我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”日“置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑”意思是：球的體積V乘以16，除以9，再開立方，即為球的直徑d，由此我們可以推測當(dāng)時(shí)圓周率的近似值大小為 11設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，給出下列四個(gè)命題：若|z1|z2|，則z1z2；若z1z3z2z3，則z1z2；若，則|z1z3|z2z3|；若，則z1z3其中真命題的序號是 12已

3、知點(diǎn)P（0，2），圓O：x2+y216上兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）滿足，則|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值為 二、選擇題13若（3+i）（2+xi）y，其中x，yR，則復(fù)數(shù)x+yi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限14將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）ABCD15已知直線l1：xsin+y0與直線l2：3x+y+c0，則下列結(jié)論中正確的是（）A直線l1與直線l2可能重合B直線l1與直線l2可能垂直C直線l1與直線l2可能平行D存在直線l1上一點(diǎn)P，直線l1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后可與直線l2重合16如圖，正方體AB

4、CDA1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D1，E，F(xiàn)的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為V1，V2，記V1V2，則V1：V2（）ABCD三、解答題17已知z1，z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，且z1，z2滿足方程2z1+（1i）z23+5i（1）求z1和z2；（2）寫出一個(gè)以z1和z2為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程18如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧的中點(diǎn)，E為劣弧的中點(diǎn)，且AB2PO2（1）求異面直線PC與OE所成的角的大小；（2）求二面角PACE的大小19如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個(gè)景點(diǎn)A，B，它們距離城市中心O的距離均為，C

5、是正北方向主干道邊上的一個(gè)景點(diǎn)，且距離城市中心O的距離為4km，為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路MNP如圖所示，道路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16km，其中道路起點(diǎn)M到東西方向主干道的距離為6km，線路NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等，以O(shè)為原點(diǎn)、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy（1）求道路MNP的曲線方程；（2）現(xiàn)要在MN_P上建一站點(diǎn)Q，使得Q到景點(diǎn)C的距離最近，問如何設(shè)置站點(diǎn)Q的位置（即確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)）？20已知拋物線C：y22px（p0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1）若直線x2被拋物線C截得的弦長為4，求拋物線C的方程；（2）設(shè)E為點(diǎn)F關(guān)于

6、原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍：（3）過焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，滿足，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足記為A，準(zhǔn)線交x軸于C點(diǎn)，若，求p的值21如圖，已知橢圓：的長軸長為4，焦距為，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，C、D在橢圓上，點(diǎn)D在第一象限，CB的延長線交橢圓于點(diǎn)E，直線AE與橢圓、y軸分別交于點(diǎn)F、G，直線CG交橢圓于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)FH（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線AB、CG的斜率分別為k1，k2，求證：為定值；（3）求直線FH的斜率k的最小值參考答案一、填空題1已知復(fù)數(shù)z，其中i為虛數(shù)單位，則|z|解：z，|z|故答案為：2拋物線x2y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 解

7、：拋物線的焦點(diǎn)為（0，），準(zhǔn)線方程為y，所以拋物線x2y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（），故答案為：3雙曲線1的漸近線方程是yx解：雙曲線方程為1的，則漸近線方程為線0，即y，故答案為y4在（2x+）6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 60解：（2x+）6的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+126r，令60，求得r4，可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為2260，故答案為：605如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為2的正方形，PA底面ABCD，且，則該四棱錐PABCD的體積為 解：因?yàn)镻A底面ABCD，且，所以四棱錐PABCD的體積為：V四棱錐PABCDS正方形ABCDPA222故答案為：6已知兩條直線l1：ax2y30，l2：4

8、x+6y30，若l1的一個(gè)法向量恰為l2的一個(gè)方向向量，則a3解：兩條直線l1：ax2y30，l2：4x+6y30，l1的一個(gè)法向量恰為l2的一個(gè)方向向量，l1l2，a4260，解得a3故答案為：37已知拋物線y28x的焦點(diǎn)（a0）的右焦點(diǎn)重合，則a解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），因?yàn)閽佄锞€y28x的焦點(diǎn)（a0）的右焦點(diǎn)重合，所以c2，所以a2b2+c21+45，所以a，故答案為：8現(xiàn)有詩經(jīng)、尚書、禮記、周易、春秋各一本，分給甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)，每人一本，若甲乙都沒有拿到詩經(jīng)，且乙也沒拿到春秋，則所有可能的分配方案有 54種解：根據(jù)題意，分2種情況討論：，甲選擇了春秋，乙有3種選法，

9、將剩下的三本書全排列，對應(yīng)丙、丁、戊3人，有A336種情況，則此時(shí)有3618種分法；，甲沒有選擇春秋，則甲的選法有3種，乙的選法有2種，將剩下的三本書全排列，對應(yīng)丙、丁、戊3人，有A336種情況，則此時(shí)有32636種分法；則一共有18+3654種選法；故答案為：549甲乙兩人分別擲兩顆骰子與一顆骰子，設(shè)甲的兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)分別為a與b，乙的骰子點(diǎn)數(shù)為c則擲出的點(diǎn)數(shù)滿足abc的概率為.（用最簡分?jǐn)?shù)表示）解：甲乙兩人分別擲兩顆骰子與一顆骰子，基本事件的個(gè)數(shù)為666216，滿足abc的基本事件有：111，122，133，144，155，166，212，313，414，515，616，224，236，3

10、26，共有14個(gè)，所以擲出的點(diǎn)數(shù)滿足abc的概率為故答案為：10我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”日“置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑”意思是：球的體積V乘以16，除以9，再開立方，即為球的直徑d，由此我們可以推測當(dāng)時(shí)圓周率的近似值大小為 解：根據(jù)題意：d，V，由于球的體積公式V，故答案為：11設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，給出下列四個(gè)命題：若|z1|z2|，則z1z2；若z1z3z2z3，則z1z2；若，則|z1z3|z2z3|；若，則z1z3其中真命題的序號是 解：當(dāng)z11，z2i 時(shí)，|z1|z2|1，但z1z2，故錯(cuò)誤，當(dāng)z30 時(shí)，z1z3z2z3，但z1并不一

11、定等于z2，故錯(cuò)誤，設(shè)z1a+bi，z2abi，|z1|z3|z2|z3|，即|z1z3|z2z3|，故正確，當(dāng)z1i，z3i 時(shí)，1，但z1z3，故錯(cuò)誤故答案為：12已知點(diǎn)P（0，2），圓O：x2+y216上兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）滿足，則|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值為 48解：，P，M，N共線，又圓O：x2+y216過兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），M，N是過點(diǎn)P（0，2）的直線與圓x2+y216的兩交點(diǎn)，設(shè)M，N的中點(diǎn)為（x0，y0），2x0 x1+x2，2y0y1+y2，則 的幾何含義為M，N兩點(diǎn)到直線3x+4y+250的距離和，則，

12、又M，N是過點(diǎn)P（0，2）的直線與圓x2+y216的兩交點(diǎn)，兩式作差可得，又由兩點(diǎn)之間的斜率公式可得，化簡可得，則MN的中點(diǎn)軌跡為以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓，則（x0，y0） 到直線3x+4y+250 的距離的最小值為，|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|548故答案為：48二、選擇題13若（3+i）（2+xi）y，其中x，yR，則復(fù)數(shù)x+yi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解：因?yàn)椋?+i）（2+xi）y，所以6x+（3x+2）iy，故，解得，所以復(fù)數(shù)x+yi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限故選：B14將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則

13、2個(gè)0不相鄰的概率為（）ABCD解：4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，共有種，2個(gè)0不相鄰，先將4個(gè)1全排列，再用插空法將2個(gè)0放入共有種，故2個(gè)0不相鄰的概率為故選：C15已知直線l1：xsin+y0與直線l2：3x+y+c0，則下列結(jié)論中正確的是（）A直線l1與直線l2可能重合B直線l1與直線l2可能垂直C直線l1與直線l2可能平行D存在直線l1上一點(diǎn)P，直線l1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后可與直線l2重合解：直線l1：xsin+y0的斜率為k1sin，直線l2：3x+y+c0的斜率k23，1sin1，k1，k2不可能相等，直線l1與直線l2不可能重合，也不可能平行，故A，C，D均錯(cuò)誤；當(dāng)sin時(shí)，k1k21，

14、l1l2，直線l1與直線l2可能垂直，故B正確故選：B16如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D1，E，F(xiàn)的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為V1，V2，記V1V2，則V1：V2（）ABCD解：延長EF，交DC的延長線與點(diǎn)P，連接D1P，交CC1于點(diǎn)G，連接FG；延長FE，交DA的延長線與點(diǎn)O，連接D1O，交AA1于點(diǎn)H，連接HE；所以過點(diǎn)D，E，F(xiàn)的截面為D1HEFG，如圖所示：設(shè)正方體的棱長為2a，則過點(diǎn)D1、E、F的截面下方幾何體的體積為：V1OD2SAEHOA3a2a3a2aaa3，所以另一部分幾何體的體積為V28a3a3a3，

15、所以V1：V2，故選：C三、解答題17已知z1，z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，且z1，z2滿足方程2z1+（1i）z23+5i（1）求z1和z2；（2）寫出一個(gè)以z1和z2為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程解：（1）根據(jù)題意，設(shè)z1a+bi，z2abi，代入2z1+（1i）z23+5i中，得2a+2bi+（1i）（abi）3+5i，整理得3ab+（ba）i3+5i，解得，z14+9i，z249i；（2）z1+z24+9i+49i8；z1z2（4+9i）（49i）97，以z1和z2為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程為x28x+97018如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧的中點(diǎn)，E為劣弧的中點(diǎn)，

16、且AB2PO2（1）求異面直線PC與OE所成的角的大??；（2）求二面角PACE的大小解：（1）證明：方法（1）PO是圓錐的高，PO底面圓O，根據(jù)中點(diǎn)條件可以證明OEAC，得PCA或其補(bǔ)角是異面直線PC與OE所成的角；所以（1分）異面直線PC與OE所成的角是（1分）（1）方法（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，E（1，1，0），設(shè)與夾角，異面直線PC與OE所成的角（2）、方法（1）、設(shè)平面APC的法向量，平面ACE的法向量，（1分）設(shè)兩平面的夾角，則，所以二面角PACE的大小是arccos方法（2）、取AC中點(diǎn)為D，連接PD，OD，又圓錐母線PAAC，PDAC，底面圓O上OAOCODAC，又E為劣弧

17、CB的中點(diǎn)，即有E底面圓O，二面角PACE的平面角即為PDO，C為半圓弧AB的中點(diǎn)，AOC90又直徑，PO底面圓O且OD底面圓O，POOD，又RtPDO中，所以二面角PACE的大小是arccos19如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個(gè)景點(diǎn)A，B，它們距離城市中心O的距離均為，C是正北方向主干道邊上的一個(gè)景點(diǎn)，且距離城市中心O的距離為4km，為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路MNP如圖所示，道路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16km，其中道路起點(diǎn)M到東西方向主干道的距離為6km，線路NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等，以O(shè)為原點(diǎn)、線段AB所在直線為x軸建立平面

18、直角坐標(biāo)系xOy（1）求道路MNP的曲線方程；（2）現(xiàn)要在MN_P上建一站點(diǎn)Q，使得Q到景點(diǎn)C的距離最近，問如何設(shè)置站點(diǎn)Q的位置（即確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)）？【解答】（1）根據(jù)題意，線路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16km，則線路MN所在的曲線是以定點(diǎn)A，B 為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右上支上，其方程為x2y264（8x10，0y6），又由線路NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等，則線路NP所在的曲線為以O(shè)為圓心，ON為半徑的圓，其方程為x2+y264，（8x10），故道路 MNP 的曲線方程為 MN 段：x2y264，（8x10，0y6）；NP 段，x2+y264，（8x10）（2）

19、當(dāng)Q在線路 MN 上，設(shè)Q（x0，y0），又由C（0，4），則，由（1）可得：x2y264，則，分析可得，當(dāng)y02時(shí)，|CQ|有最小值，且，當(dāng)Q在線路NP上時(shí)，設(shè)Q（x0，y0），又由C（0，4），則，又由（1）：x2+y264，（8x10），此時(shí)，當(dāng)y00時(shí)，|CQ|有最小值，且，又由，即|CQ|的最小值為，此時(shí)y02，則；則Q的坐標(biāo)為，此時(shí)Q到C的距離最小20已知拋物線C：y22px（p0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1）若直線x2被拋物線C截得的弦長為4，求拋物線C的方程；（2）設(shè)E為點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍：（3）過焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，滿足，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足記為A，準(zhǔn)線交x軸于C點(diǎn)，若，求p的值解：（1）聯(lián)立x2與y22px，解得y2，所以弦長為2（2）44，解得p1，所以拋物線的方程為y22x（2）由于點(diǎn)E是點(diǎn)F（，0）關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，則點(diǎn)E（，0），設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則y022px0，所以1，當(dāng)x00時(shí)，1