大學(xué)物理學(xué)：Chap11-1-Oscillation中文版2013

1、Chapter 11 振動(dòng)（ Oscillations）簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)相位矢量（phasor）表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量擺動(dòng) 阻尼振動(dòng)；驅(qū)動(dòng)的阻尼振動(dòng)與共振振動(dòng)的疊加振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)形態(tài)往復(fù)運(yùn)動(dòng)若振動(dòng)的位移的時(shí)間函數(shù)關(guān)系可以表示正弦或者余弦的函數(shù)關(guān)系的形式，我們稱這種振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。11-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)（Simple Harmonic Oscillations )主要考慮一維運(yùn)動(dòng)一. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理模型運(yùn)動(dòng)物體: 滑塊-彈簧系統(tǒng);原點(diǎn): 彈簧的平衡位置彈簧的小幅振動(dòng)遵循的力學(xué)規(guī)律:胡克定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律:無摩擦的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)此微分方程的解為: 簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程振動(dòng)的性質(zhì):動(dòng)力學(xué): 設(shè)二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)基本量描述 由系

2、統(tǒng)的性質(zhì)所決定；振幅 xm (或A),初相角 則由振動(dòng)的初始狀態(tài)所決定。ii. 周期(Period) T,頻率( Frequency) f and角頻率或圓頻率( Angular Frequency) :i. 振幅( Amplitude) xm or A (A 0):初始條件質(zhì)點(diǎn)作周期運(yùn)動(dòng)的快照（snapshots）頻率單位： 1 hertz = 1 Hz = 1 s-1T 和 f 稱作系統(tǒng)的 本征周期和本征頻率 (固有周期和固有頻率.)iii. 位相和初位相對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，一旦振動(dòng)的初始條件給定，整個(gè)振動(dòng)的性質(zhì)就已經(jīng)給定。那么振動(dòng)的狀態(tài) ( x & v) 就由 位相(t +o) phase

3、確定。 (o 是 t = 0時(shí)的位相 初位相) （a）兩振動(dòng)振幅不同（b）兩振動(dòng)周期不同（c）兩振動(dòng)初位相不同toT2Tx2x1xtoT2Tx2x1x任意時(shí)刻它們的位相差為: = 2k, (k=0,1, 2, 3), 兩振動(dòng)是同相的 (in phase); = (2k+1), (k=0,1, 2),振動(dòng)是反相的 (out of phase );若有兩個(gè)諧振動(dòng)iv. 位相差(Phase difference)表明:振動(dòng)2 超前于振動(dòng)1否則振動(dòng)2 滯后于振動(dòng)1對(duì)兩同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，相位差等于初相差.通常，超前與滯后以 的位相角(或 0 (沿正 x 方向)。試求: (1) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式; (2)

4、 t = T/4, x =? v =? and a=? (3)何時(shí)物體第一次通過平衡位置?解:例:(3) 第一次通過平衡位置的條件是 (1)即(2)勢(shì)能:動(dòng)能:or11-4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量彈簧振子為例,振動(dòng)過程中機(jī)械能守恒. 這一結(jié)論對(duì)于任何簡(jiǎn)諧系統(tǒng)都成立。討論: 振動(dòng)系統(tǒng)能量為常量由 E 給出A的另一方法:+A-A例：一質(zhì)點(diǎn)從h高處落下掉在一可不計(jì)重量的盤秤上，盤秤彈簧的彈性系數(shù)為k。求盤秤系統(tǒng)振動(dòng)的振幅。解:質(zhì)點(diǎn)與盤秤是完全非彈性碰撞。在碰撞那一刻，質(zhì)點(diǎn)的速度是h盤秤初位置x = 0 x盤秤新平衡位置x0AAx此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為此能量轉(zhuǎn)換為彈簧的彈性勢(shì)能和質(zhì)點(diǎn)新位置的重力勢(shì)能：x此式解得不難

5、理解盤秤新平衡點(diǎn)的位置為所以，振動(dòng)的振幅為h盤秤初位置x = 0 x盤秤新平衡位置xAAx11-5 擺單擺（質(zhì)點(diǎn)m，擺長(zhǎng)L，小角度的擺動(dòng)）恢復(fù)力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定理：小角度情況下,懸點(diǎn)單擺的圓頻率單擺的周期：二. 物理擺 (復(fù)擺)物理擺的恢復(fù)力矩若討論： 單擺和物理擺都可以用于簡(jiǎn)單測(cè)量重力加速度g。 單擺和物理擺在小角度運(yùn)動(dòng)時(shí)，與簡(jiǎn)諧振動(dòng)具有相同的運(yùn)動(dòng)方程。因此也可以看做是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的形式。 從方程可以看出，對(duì)于物理擺，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I = mhL 時(shí)，物理擺與擺長(zhǎng)為 L的單擺具有相同的周期等特性。11-6 有阻尼的諧振動(dòng)一. 有阻尼的諧振動(dòng)“-”: 與運(yùn)動(dòng)方向相反阻尼力 通常與速度成比例b: 阻尼因子（da

6、mping constant ）其解可以證明為A ：弱阻尼情況：B：臨界阻尼情況:C： 過阻尼情況:粒子的運(yùn)動(dòng)形態(tài)與參量有關(guān)非振動(dòng)的臨界阻尼過阻尼弱阻尼無阻尼二. 振動(dòng)的能量與品質(zhì)因數(shù)式子乘以dx/dt，可以改寫為機(jī)械能 E功率第二項(xiàng)表明，功率永遠(yuǎn)是衰減的。為了描述這種能量的衰減，可以定義一個(gè)新的量品質(zhì)因數(shù)（quality factor）即，一個(gè)周期內(nèi)的平均能量與能量損耗的比值在弱阻尼，g 很小的情況下，上面積分近似等于其中用到（阻尼振蕩頻率）不難證明，這表明阻尼小，Q 值大，系統(tǒng)可以經(jīng)歷更長(zhǎng)時(shí)間。11-7 受迫 振動(dòng)與共振假定有周期驅(qū)動(dòng)力:有阻尼的諧振動(dòng)方程變?yōu)榈谝豁?xiàng)在長(zhǎng)時(shí)間后趨于零，故穩(wěn)定

7、解為后一項(xiàng)解的形式為（齊次方程的通解與非齊次方程的特解）：振動(dòng)的振幅與驅(qū)動(dòng)頻率有關(guān) d ，當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率趨近于系統(tǒng)的本征頻率時(shí)，振動(dòng)的振幅會(huì)變得很大實(shí)際上，對(duì)振幅求導(dǎo)，可得極值條件：(近共振)并不是嚴(yán)格的共振頻率，嚴(yán)格的共振頻率略小于系統(tǒng)的本征頻率。例：對(duì)驅(qū)動(dòng)阻尼諧振子的穩(wěn)態(tài)，求其動(dòng)能K、勢(shì)能P和總機(jī)械能 E 的平均值。解： 穩(wěn)定解的形式為總機(jī)械能的平均值由前面討論已知所以，討論： 可以看出機(jī)械能并不守恒，因?yàn)樽枘嵴駝?dòng)有能量損失。 平均動(dòng)能的最大值的條件是由此可以給出即，當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率等于自然頻率時(shí)，平均動(dòng)能的值最大。這一點(diǎn)與共振條件不同！共振頻率為在弱阻尼情況下，若驅(qū)動(dòng)頻率 ，則對(duì)驅(qū)動(dòng)頻率的這種依賴

8、關(guān)系的函數(shù)稱為L(zhǎng)orentz 線型（Lorentz line shape）。若定義變?yōu)長(zhǎng)orentz 線型函數(shù)的形式為半最大全寬度：是 的共振曲線的全寬度：若g 減?。ㄔ黾樱﹦t共振曲線變窄（展寬）。對(duì)窄帶頻率做出響應(yīng)的振子（ ?。⒊掷m(xù)較長(zhǎng)時(shí)間即此時(shí)，驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)的振子較長(zhǎng)時(shí)間后達(dá)到穩(wěn)定平衡態(tài)。xtoT2T合振動(dòng)分振動(dòng)1分振動(dòng)2簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種最簡(jiǎn)單最基本的振動(dòng),一切復(fù)雜的振動(dòng)都可以看作是若干簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成的結(jié)果。11-8 振動(dòng)的疊加1. 同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2)合成振動(dòng)仍然是以 為頻率的振動(dòng).x = x1+ x2 x =A cos(

9、 t+ )即,其中f1f2f合振動(dòng)的振幅決定于相位差 f2-f1： 若兩種特殊情況:A=A1+A2兩分振動(dòng)同相, 疊加后相互增強(qiáng)。合振動(dòng)振幅直接相加。f1f2fxtoT2T合成振動(dòng) 若A=|A1-A2|兩分振動(dòng)反相,合振動(dòng)相減弱。合振動(dòng)的振幅為兩振動(dòng)振幅之差的絕對(duì)值。 一般情況,toT2T合成振動(dòng)若A1=A2, 則 A=0 !但若 將變化，合振動(dòng)甚至不是諧振動(dòng)。2. 同方向不同頻率兩諧振動(dòng)合成，和拍現(xiàn)象假定 A1 = A2 = A, 則12若特殊情況: 2 1, & 2- 1 2+ 1 隨時(shí)間 t 慢變合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)快變部分 振幅調(diào)制因子拍 現(xiàn)象 （Beat phenomeno

10、n）:合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻f = fbeat 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)。3. 兩相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成消去參量 t, 可得橢圓方程. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡依賴于位相差 f2 - f1:(1) f2 - f1=0: yx(2) f2 - f1=p(3) f2 - f1=p/2If xm= ym= A,負(fù)斜率正斜率Lissajous Figures http:/chinesehtm/Lissajous.htm耦合振動(dòng) 、振動(dòng)鏈、振動(dòng)膜 試研究之Assignments: P11T1， T2，T3，T4，T5. T6Reference:葛國(guó)勤主編大學(xué)物理探究式學(xué)習(xí)教程，上海交通大學(xué)出版社Walter Greiner Classical Mechanics Springer；H. J. Pain THE PHYSICS OF VIB