2022屆高中數(shù)學微專題07分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用練習含解析

1、PAGE 11 -微專題07 分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用 分段函數(shù)是函數(shù)中比較復雜的一種函數(shù)，其要點在于自變量取不同范圍的值時所使用的解析式不同，所以在解決分段函數(shù)的問題時要時刻盯著自變量的范圍是否在發(fā)生變化。即“分段函數(shù)分段看”一、基礎(chǔ)知識：1、分段函數(shù)的定義域與值域各段的并集2、分段函數(shù)單調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起。3、分段函數(shù)對稱性的判斷：如果能夠?qū)⒚慷蔚膱D像作出，則優(yōu)先采用圖像法，通過觀察圖像判斷分段函數(shù)奇偶

2、性。如果不便作出，則只能通過代數(shù)方法比較的關(guān)系，要注意的范圍以代入到正確的解析式。4、分段函數(shù)分析要注意的幾個問題（1）分段函數(shù)在圖像上分為兩類，連續(xù)型與斷開型，判斷的方法為將邊界值代入每一段函數(shù)（其中一段是函數(shù)值，另外一段是臨界值），若兩個值相等，那么分段函數(shù)是連續(xù)的。否則是斷開的。例如：，將代入兩段解析式，計算結(jié)果相同，那么此分段函數(shù)圖像即為一條連續(xù)的曲線，其性質(zhì)便于分析。再比如 中，兩段解析式結(jié)果不同，進而分段函數(shù)的圖像是斷開的兩段。（2）每一個含絕對值的函數(shù)，都可以通過絕對值內(nèi)部的符號討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)。例如：，可轉(zhuǎn)化為：5、遇到分段函數(shù)要時刻盯住變量的范圍，并根據(jù)變量的范圍選擇

3、合適的解析式代入，若變量的范圍并不完全在某一段中，要注意進行分類討論6、如果分段函數(shù)每一段的解析式便于作圖，則在解題時建議將分段函數(shù)的圖像作出，以便必要時進行數(shù)形結(jié)合。二、典型例題例1：已知函數(shù)，若，則實數(shù)_思路：從里向外一層層求值， 所以答案： 例2：設(shè)函數(shù)，則的值為_思路：由解析式可知，只有，才能得到具體的數(shù)值，時只能依靠向 正數(shù)進行靠攏。由此可得：，而 答案： 小煉有話說：含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里首先要明確目標，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）比如在本題中：可以立即為間隔為1的自變量，函數(shù)值差1，其作用在于自變量取負數(shù)時，

4、可以不斷直至取到正數(shù)。理解到這兩點，問題自然迎刃而解。例3：函數(shù)，則不等式的解集是( )A. B. C. D. 思路：首先要把轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式，由于是分段函數(shù)，所以要對的范圍分類討論以代入不同的解析式：當時，可解得：或。所以或；當時，解得，所以，綜上所述： 答案：B例4：已知函數(shù)，則不等式的解集是_思路：要想解不等式，首先要把轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的表達式，觀察已知分段函數(shù)， ，占據(jù)整個括號的位置，說明對于函數(shù)而言，括號里的式子小于0時，代入上段解析式，當括號里的式子大于0時，代入下段解析式。故要對的符號進行分類討論。（1）當時，不等式變?yōu)椋海?）當時，不等式變?yōu)椋?答案：例5：已知函數(shù)，則不等式的解集

5、為_思路：本題如果通過分類討論將不等式變?yōu)榫唧w不等式求解，則難點有二：一是要顧及的范圍，則需要分的情況太多；二是具體的不等式可能是多項式與指數(shù)式混在一起的不等式，不易進行求解。所以考慮先擱置代數(shù)方法，去分析的圖像性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)的兩段解析式均可作圖，所以考慮作出的圖像，從而發(fā)現(xiàn)是增函數(shù)，從而無論在哪個范圍，從而解得：或 答案： 小煉有話說：含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解(比如例3，例4）。另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點解不等式（比如例5）。例6：已知函數(shù).若，則的取值范圍是A B C D 思路：

6、本題可以對進行分類討論，以將變成具體不等式求解，但也可從的特點出發(fā)，考慮判斷的奇偶性，通過作圖可發(fā)現(xiàn)為偶函數(shù)，所以，所解不等式變?yōu)?，再由圖像可得只需，即 答案：C小煉有話說：（1）本題判斷函數(shù)的奇偶性可以簡化運算，而想到這一點是源于抓住所解不等式中的特點。由此可見，有些題目的思路源于式子中的一些暗示（2）由于兩段圖像均易作出，所以在判斷奇偶性時用的是圖像法。對于某些不易作圖的分段函數(shù)，在判斷奇偶性時就需要用定義法了，下面以本題為例說說定義法如何判斷：整體思想依然是找到 ，只是在代入過程中要注意的范圍：設(shè)，則，所以，即為偶函數(shù)例7：已知函數(shù)，若，則的值域是_解析：是一個分段函數(shù)，其分段標準以的大

7、小為界，所以第一步先確定好的取值，解不等式：，解得：，故 ，分別求出每段最值，再取并集即可答案： 例8：已知函數(shù)，若在單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是_思路：若在單調(diào)增，則在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情況，所以可得要想在上單調(diào)增，起碼每一段的解析式也應(yīng)當是單調(diào)遞增的，由此可得： ，但僅僅滿足這個條件是不夠的。還有一種取值可能為不在同一段取值，若也滿足，均有，通過作圖可發(fā)現(xiàn)需要左邊函數(shù)的最大值不大于右邊函數(shù)的最小值。代入，有左段右端，即綜上所述可得： 答案：例9：已知，則下列選項錯誤的是（ ）A. 是的圖像 B. 是的圖像C. 是的圖像 D. 是的圖像思路：考慮先作出的圖像（如右圖

8、所示），再按照選項進行驗證即可：A. 為向右平移一個單位，正確；B. 為關(guān)于軸對稱的圖像，正確；C. 為正半軸圖像不變，負半軸作與正半軸關(guān)于軸對稱的圖像，正確；D. 的圖像為在軸上方的圖像不變，下方圖像沿軸對稱翻折。而圖像均在軸上方，所以應(yīng)與圖像相同。錯誤答案：D例10：函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 函數(shù)在上為增函數(shù) B. 函數(shù)的最小正周期為4C. 函數(shù)是奇函數(shù) D. 函數(shù)無最小值思路：可觀察到的圖像易于作出，所以考慮先作圖，再看由圖像能否判斷各個選項，如圖所示可得：BC選項錯誤，D選項存在最小值，所以D錯誤，A選項是正確的答案：A小煉有話說：（1）本題利用數(shù)形結(jié)合是最為簡便的方法，一

9、方面是因為本身便于作圖，另一方面四個選項在圖上也有具體的含義。（2）分段函數(shù)作圖過程中，尤其在函數(shù)圖象斷開時，一定要注意端點處屬于哪個解析式。本題中就屬于部分，所以才存在最小值。三、近年模擬題題目精選1、已知函數(shù)若，則_2、已知，若，則_.3、（2016，湖州中學期中）函數(shù),若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A B C D4、已知，則的解集為_5、（2015，北京）設(shè)函數(shù) 若，則的最小值為_若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是_6、（2015，福建）若函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是_7、（2015，新課標II）設(shè)函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 8、（2015，山東）設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是

10、（ ）A. B. C. D. 9、已知函數(shù)，則的值域是（ ）A. B. C. D. 10、已知函數(shù)，無論為何值，函數(shù)在上總是不單調(diào)，則的取值范圍是_11、已知，且，則使不等式成立的還應(yīng)滿足的條件為（ ）A. B. C. D. 習題答案：1、答案：解析：，所以2、答案：或解析：若，則，無解；若，則，由解析式可得：或3、答案：C解析：當，即時；，故，故不成立；當，即時；，又在上顯然成立即故，故選C4、答案：解析：時，可得，當時，綜上可得：5、答案： 或 解析： 時，當時，當時，綜上所述可得： 當時，為單調(diào)增函數(shù)，且，當時，解析式可能的零點為，因為恰有2個零點，所以的區(qū)域中至少有一個零點。當時，可知在各有一個零點，符合題意。當時，在已有兩個零點，所以在不能有零點，故，綜上所述：或6、答案： 解析：從常系數(shù)函數(shù)入手，時，可得：，所以當時，的值域應(yīng)為的子集，從而可知，所以，則，所以7、答案：C解析：由分段函數(shù)可得：，因為，所以，則8、答案：C解析：可將視為一個整體：，則有，根據(jù)分段函數(shù)特點可推斷出，即，所以有或，解得： 9、答案：C解析：，由