2022年秋新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.1任意角和蝗制5.1.1任意角課件新人教A版必修第一冊(cè)

1、第五章 三角函數(shù)51任意角和弧度制51.1任意角明確目標(biāo)發(fā)展素養(yǎng)1.了解角的概念的推廣過程，理解任意角的概念2.掌握終邊相同角的含義及其表示3.掌握軸線角、象限角及區(qū)間角的表示方法.1.通過終邊相同角的計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)2.借助任意角的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)3.借助任意角的終邊位置的確定，提升邏輯推理素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)一任意角的概念(一)教材梳理填空1角的概念：角可以看成平面內(nèi) 繞著它的 旋轉(zhuǎn)所成的圖形2角的表示：如圖所示：(1)始邊：射線的 位置OA.(2)終邊：射線的 位置OB.一條射線端點(diǎn)起始終止(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.(4)記法：圖中的角可記為“角”或“”或“ ”“角”或“”可簡記為“

2、”3角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可分為三類：AOB4角的加法與減法：設(shè)，是任意兩個(gè)角， 為角的相反角(1)：把角的 旋轉(zhuǎn)角.(2)： 終邊()(二)基本知能小試1判斷正誤(1)大于90的角都是鈍角()(2)零角的終邊與始邊重合()(3)一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個(gè)角越大()答案：(1)(2)(3)2將射線OM繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120所得的角為()A120B120C240 D240答案：A知識(shí)點(diǎn)二象限角與終邊相同的角(一)教材梳理填空1象限角：(1)象限角的概念：我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角為了方便，使角的頂點(diǎn)與 重合，角的始邊與 重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是 _ .

3、 如果角的終邊在 上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限坐標(biāo)原點(diǎn)x軸的非負(fù)半軸第幾象限角坐標(biāo)軸(2)象限角的集合表示：微思考“銳角”“第一象限角”“小于90的角”三者有何不同？提示：銳角是第一象限角，也是大于0且小于90的角；而第一象限角可以是銳角，也可以大于360，還可能是負(fù)角；小于90的角可以是銳角，也可以是零角或負(fù)角象限角角的集合表示第一象限角_第二象限角x|90k360 x180k360，kZ第三象限角x|180k360 x270k360，kZ第四象限角_x|k360 x90k360，kZx|270k360 x360k360，kZ2終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成

4、一個(gè)集合S|_，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和k360，kZ3軸線角的集合：角終邊的位置角的集合表示在x軸的非負(fù)半軸上|k360，kZ在x軸的非正半軸上|k360180，kZ在y軸的非負(fù)半軸上|k36090，kZ在y軸的非正半軸上|k360270，kZ在x軸上|k180，kZ在y軸上|k18090，kZ在坐標(biāo)軸上|k90，kZ微思考定義或求象限角、終邊相同的角的前提條件是什么？提示：定義或求象限角、終邊相同的角時(shí)，必須注意前提條件：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合(二)基本知能小試1判斷正誤(1)第二象限角大于第一象限角()(2)第二象限角是鈍角()(3)相

5、等的角終邊一定相同()(4)終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360的整數(shù)倍() 答案：(1)(2)(3) (4)2與45角終邊相同的角是 ()A45 B225C395 D315解析：因?yàn)?5315360，所以與45角終邊相同的角是315.答案：D3與610角終邊相同的角表示為(其中kZ) ()Ak360230 Bk360250Ck36070 Dk180270解析：610360250，610與250角的終邊相同，故選B.答案：B4已知0360，且與800角終邊相同，則_，它是第_象限角解析：因?yàn)?00360280，所以80角與800角的終邊相同，且080360，故80，它是第一象限角答案：80一題

6、型一任意角的概念及應(yīng)用 【學(xué)透用活】1角的概念的推廣(1)角的概念是通過角的終邊的運(yùn)動(dòng)來推廣的，根據(jù)角的終邊的旋轉(zhuǎn)“方向”，得到正角、負(fù)角和零角(2)表示角時(shí)，應(yīng)注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角的正負(fù)2用旋轉(zhuǎn)來描述角時(shí)需要注意的三個(gè)要素(1)旋轉(zhuǎn)中心：射線旋轉(zhuǎn)時(shí)繞的端點(diǎn)(2)旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正、負(fù)數(shù)來表示，那么許多問題就可以解決了(3)旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過360，角度的絕對(duì)值可大于360.于是就會(huì)出現(xiàn)720，540等角度典例1(1)(多選)下列說法正確的是()A銳角都是第一

7、象限角B第一象限角一定不是負(fù)角C小于180的角是鈍角、直角或銳角D在90180范圍內(nèi)的角不一定是鈍角(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角420；855；510.解析(1)銳角是大于0且小于90的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以A正確；350角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以B錯(cuò)誤；0角是小于180的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)樵?0180范圍內(nèi)的角包含90角，所以不一定是鈍角，所以D正確答案： (1) AD(2)作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：420是第一象限角855是第二象限角510是第三象限角方

8、法技巧1理解角的概念的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可2象限角的兩種判定方法(1)在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限(2)第一步，將寫成k360(kZ,0360)的形式；第二步，判斷的終邊所在的象限；第三步，根據(jù)的終邊所在的象限，即可確定的終邊所在的象限提醒理解任意角這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對(duì)值大小”【對(duì)點(diǎn)練清】1給出下列說法：終邊在y軸非負(fù)半軸上的角是直角；始邊相同而終邊不同的角一定不相等；三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；第四象

9、限角一定是負(fù)角；|k180，kZ0，180，360其中正確說法的個(gè)數(shù)是 ()A1B2C3D42射線OA繞端點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80到OB位置，接著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)250到OC位置，然后再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270到OD位置，則AOD_.解析：如圖，AODAOBBOCCOD(80)250(270)100.答案：100題型二終邊相同的角的表示及應(yīng)用 【學(xué)透用活】對(duì)終邊相同的角的說明所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以用式子k360，kZ表示在運(yùn)用時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉(2)是任意角(3)k360與之間用“”號(hào)連接，如k36030應(yīng)看成k360(30)(kZ)(4)終邊

10、相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍典例2在與10 030角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角：(1)最大的負(fù)角；(2)360720范圍內(nèi)的角(2)由36010 030k360720，得10 390k3609 310.又kZ，解得k28，27，26.當(dāng)k28時(shí)，10 0302836050；當(dāng)k27時(shí)，10 03027360310；當(dāng)k26時(shí)，10 03026360670.故所求的角的值為50，310，670.方法技巧1在某個(gè)范圍內(nèi)找與已知角終邊相同的角的方法求在某個(gè)范圍內(nèi)與已知角終邊相同的角時(shí)，首先將這樣的角表示成k360(kZ)的形式，然后由

11、k360(kZ)在限制范圍內(nèi)，建立不等式，通過求解不等式，確定k的值，求出滿足條件的角或者采用賦值法求解，看角是否在限制范圍內(nèi)，從而求出滿足條件的角2終邊相同的角常用的三個(gè)結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360的整數(shù)倍(2)終邊在同一直線上的角之間相差180的整數(shù)倍(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90的整數(shù)倍【對(duì)點(diǎn)練清】1與463終邊相同的角可以表示為()Ak360463(kZ)Bk360103(kZ)Ck360257(kZ) Dk360257(kZ) 解析：因?yàn)?632572360，所以與463終邊相同的角可以表示為k360257(kZ)答案：C2已知1 910.(1)把寫成k360

12、(kZ,0360)的形式，并指出它是第幾象限的角；(2)求，使與的終邊相同，且7200.題型三區(qū)間角的表示 探究發(fā)現(xiàn)(1)若射線OA的位置是k36010，kZ，射線OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90經(jīng)過的區(qū)域?yàn)镈，則終邊落在區(qū)域D(包括邊界)的角的集合應(yīng)如何表示？提示：終邊落在區(qū)域D(包括邊界)的角的集合可表示為|k36010k360100，kZ(2)若角與的終邊關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)，直線yx對(duì)稱，則角與分別具有怎樣的關(guān)系？提示：關(guān)于x軸對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與的關(guān)系是k360，kZ.關(guān)于y軸對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與的關(guān)系是180k360，kZ.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于

13、原點(diǎn)對(duì)稱，則角與的關(guān)系是180k360，kZ.關(guān)于直線yx對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于直線yx對(duì)稱，則角與的關(guān)系是90k360，kZ.【學(xué)透用活】典例3已知如圖所示的圖形(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合解(1)終邊落在OA位置上的角的集合為|9045k360，kZ|135k360，kZ；終邊落在OB位置上的角的集合為|30k360，kZ(2)由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有在30135范圍內(nèi)的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為|30k360135k360，kZ方法技巧1象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定利

14、用圖象實(shí)際操作時(shí)，依據(jù)是終邊相同的角的思想，因?yàn)樵?360范圍內(nèi)的角與直角坐標(biāo)系中的射線可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系(2)將角轉(zhuǎn)化到在0360范圍內(nèi)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，在0360范圍內(nèi)沒有兩個(gè)角終邊是相同的2表示區(qū)間角的三個(gè)步驟(1)先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的在360360范圍內(nèi)的角和，寫出最簡區(qū)間x|x，其中360.(3)起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角，再加上360的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合【對(duì)點(diǎn)練清】1變條件若將本例改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？解：在0360范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為150 225，則所有滿足條件的角為|k360150k360225，kZ2.變條件若將本例改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(實(shí)線包括邊界)的角的集合如何表示？解：在0360范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分的角為60105與240 285，所以所有滿足題意的角為|k36060k360105，kZ|k360240 k360285，kZ|2k18060 2k180105，kZ|(2k1)18060 (2k1)1