利用均值不等式證明不等式

1、.1,利用均值不等式證明不等式1均值不等式：設(shè)是n個(gè)正實(shí)數(shù),記它們分別稱為n個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù),幾何平均數(shù),算術(shù)平均數(shù),平方平均數(shù)。有如下關(guān)系：.等號(hào)成立的充要條件是。先證證法三：上述不等式在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中應(yīng)用極為廣泛,好的、難的不等式問題往往只需用它們即可解決,而無需過分追求所謂更高級(jí)的不等式,這是應(yīng)該引起我們注意的。例1：求證下列不等式：1,23,其中證明1當(dāng)且僅當(dāng),即取等號(hào)。證明2證明3,同理,三式相加得另一方面,同理,三式相加得說明：1中涉及到與常數(shù)相關(guān)的不等式的證明問題,通過變形使其出現(xiàn)互為倒數(shù)的因式,利用均值不等式證得。3中累加的方法是常用的處理手段。例2：若且,求證：證明：左邊例3：

2、已知是正數(shù),滿足求證：89年聯(lián)賽試題證明：,同理：,將以上式子相乘即得證。例4：,求證：證明：由有顯然上式不可能取等號(hào),故原不等式成立。說明：注意到的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),當(dāng)一些正數(shù)的倒數(shù)和易于化簡(jiǎn)時(shí),應(yīng)考慮含的均值不等式。例5：若,求證：證明：由有,上式不可能取等號(hào)。故原不等式得證。例6：設(shè)是1,2,n的一個(gè)排列,求證：證明：是1,2,n的一個(gè)排列于是=而所以說明：由于不等式的左邊值的估計(jì)較為不便,且右邊由于排列的任意性導(dǎo)致若直接用均值不等式放縮則度太大了,所以本題采用在兩邊均加上的變形處理。例7：設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),求證：證明：注：本題問題中由可以看得出給了均值定理的提示：,構(gòu)造均值定理是本

3、題的關(guān)鍵。例8：,求證:證明左邊=.注:本題多次利用了均值不等式本題也可以由,再處理.例9：已知求證：分析：通過放縮,將異分母化為同分母,從而構(gòu)造成出一些零件不等式,最后,將這些零件不等式相加,即可得出原不等式的證明。證明：同理可得 將、三個(gè)零件不等式相加,得注：本題的技巧在于將三個(gè)異分母的分式放縮成三個(gè)同分母的分式,構(gòu)造出零件不等式、。例10：如圖ABC及其內(nèi)接DEF分原三角形所得AEF、BDF、CDE中,至少有一個(gè)三角形的面積不大于原ABC面積的這里所指ABC的內(nèi)接三角形DEF,是頂點(diǎn)D、E、F分別在ABC三條邊上的三角形證明：如圖,設(shè)ABC三邊BC=a,CA=b,AB=c,且AE=e,A

4、F=f,BD=m,BF=n,DC=p,EC=q,逆用公式,并注意到,于是有,更注意到 若SCDE、SAEF、SBDF皆大于SABC的,*式不可能成立,故所給四個(gè)三角形面積中,至少有一個(gè)不大于類似例子很多,望同學(xué)們?cè)谧鲱}實(shí)踐中,更多予以總結(jié),不斷提高自己的分析,歸納解題能力。例11：已知,求證：證明：令,則,且說明：本題采用變量代換的方式清晰地展現(xiàn)了已知條件與結(jié)論表達(dá)式中變量的關(guān)系。例12;設(shè),求證：,其中都是非負(fù)整數(shù),且分析與解：欲證的不等式涉及到的量較多,為此先考察特殊情形：,即先證明,該不等式關(guān)于輪換對(duì)稱,不妨設(shè),則左右,故式成立進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),式本身無助于原不等式的證明,其證明方法也不能

5、推廣到原不等式,故需重新考慮式的具有啟發(fā)原不等式證明的其它證法?？紤]常用不等式證明的方法發(fā)現(xiàn),式可以利用均值不等式或證,即同理：以上三個(gè)式相加即得式。運(yùn)用此法再考慮原一般問題就簡(jiǎn)單多了,仿上,以上三個(gè)式相加即得待證不等式。例13:設(shè)銳角滿足,求證：分析與解：由已知,立即聯(lián)想到長(zhǎng)方體得對(duì)角線公式：,令,以為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體,則易知：,同理：,上面是從條件中隱含的數(shù)形關(guān)系中探索思考解題的途徑,那么,從結(jié)論不等式中觀察到什么呢？由,即是三個(gè)不等式相乘的結(jié)果,就可以再變化為：,這樣也無需構(gòu)造長(zhǎng)方體模型,而采用下面的證法：由,知都是銳角,同理：,將上面三個(gè)不等式兩邊分別相乘,即得待證不等式通過上例的求解分析

6、過程,我們可以看到問題的本質(zhì).例14： 設(shè),求證：證明 令,則分兩種情形：1時(shí),.EQ A2時(shí),.點(diǎn)評(píng)注意到,故先作代換,使的表達(dá)形式更簡(jiǎn)單,放縮較為大膽,但要注意時(shí)能取到符號(hào),放縮不能過頭,最后回到平均值不等式。例15：設(shè)為正實(shí)數(shù),且滿足1求證：證明：由均值不等式得：從而同理各式相加得又由題設(shè)得代入上式即得。說明：本題充分利用了等號(hào)成立的條件是進(jìn)行代數(shù)式的變形,借助1進(jìn)行消元,使問題得以解決。所以,不等式得證.例16： 設(shè)且1.求證： 證明：由均值不等式得,.將以上三個(gè)不等式相加得因此,所證不等式成立。注：本題待證的不等式為非齊次不等式,先利用條件,將其轉(zhuǎn)化為齊次不等式,再利用均值不等式使問

7、題獲解。例:17： 設(shè)a、b、c、d為正數(shù),且求證：分析：本題屬于非齊次不等式,且次數(shù)較高,處理此題的切入點(diǎn),還是利用已知等式將其齊次化。證明：由均值不等式,故只須證即須證令 于是,式下面證明式.同理,將式,相乘得因此,所證不等式成立。例18：設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),求證：分析 本題的難點(diǎn)是分母較復(fù)雜,可以嘗試用代換的辦法化簡(jiǎn)分母。證 令則由此可得從而不難算出,對(duì)任何正實(shí)數(shù)a,只要就可取到上述的等號(hào)。注 代換法換元法是常用的化簡(jiǎn)分母、去分母、去根號(hào)的一種方法。19：對(duì)任意a,b,cR+,證明：a2+2b2+2c2+29ab+bc+ca.證明原不等式EQ Aa2 b2 c2 +2+4+8 9.由抽

8、屜原理,不妨設(shè)a和b同時(shí)大于等于1,或同時(shí)小于等于1。則c2a2-1b2-10即a2 b2 c2+ c2a2 c2+ b2 c2EQ A由均值不等式,有以及.EQ A2+3+67. EQ A又由EQ A知2+ a2 b2 c2+=2+a2 b2 c2+a2+ b2+ a2c2+ b2c=+ + b2c22a b+2ac+2bcEQ A2+ a2 b2 c2+2a b+2ac+2bc.EQ AEQ A+EQ A得a2 b2 c2 +2+4+8 9.即原不等式成立。評(píng)注 這是一道美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題。這里用抽屜原理構(gòu)造了一個(gè)局部不等式,結(jié)合算術(shù)幾何平均值不等式給出了一個(gè)很精巧的證明,本題也可以利用

9、柯西不等式與算術(shù)幾何平均值來證明。練習(xí)題1,若且,求證：,證明：又,故有所以不等式成立2,若,求證：證明：,故有3設(shè)ABC內(nèi)切圓半徑為r,求證：證明：由于形似,我們聯(lián)想到公式 a2+b2+c2ab+bc+ca, 于是有 繼續(xù)聯(lián)想三角形面積公式及內(nèi)切圓半徑公式：,及,就有 從而證明了本題。4：證明ABC中,有以下關(guān)系成立：證明：注意到余弦定理：,于是即原命題成立5：如圖,P是正ABC內(nèi)一點(diǎn),A、B、C分別是它在對(duì)應(yīng)邊上的射影。求證：證明：設(shè)PA=x,PB=y,PC=z,ABC底邊上的高為h,則x+y+z=h,且 命題成立6：已知,且均為銳角,求證：證明：又,即那么所以故有不等式成立7：若,求證：

10、證明：中任意二數(shù)之和為正,中至多有一個(gè)非正,若有一個(gè)數(shù)非正,結(jié)論顯然成立。若均為正,則同理：三式相乘即得證。說明：應(yīng)用基本不等式和不等式的基本性質(zhì)推證不等式時(shí)應(yīng)注意這些結(jié)論成立的條件。8：已知,求證：1997年第26屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題證明：,又,同理,例1：已知：是三角形的三邊,求證：證明：令,則且,則原不等式等價(jià)于,左邊拆開為六項(xiàng),由均值不等式即證得。9：若為ABC的三邊,求證：證明：令則則所證不等式的左邊為說明：換元法是常用的化簡(jiǎn)分母,去分母,去根號(hào)的一種方法。10：已知,且,求證：證明：令,則,變?yōu)?要證的不等式邊為等價(jià)于注意到以為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成三角形,我們令將其代入即得：由均值不等式得：,上述三式相加即得證不等式。說明：對(duì)于條件,常作代換,從而使非奇次不等式變?yōu)槠娲尾坏仁?另外,三角形三邊常用的代換為：。11：已知,求證IMO,2000證明：令,則原不等式變?yōu)?這樣就變?yōu)槲覀兪煜さ牟坏仁筋}了。12：設(shè)為正數(shù),求證：+第39屆IMO預(yù)選題證明：由均值不等式+同理：+所以+說明：根據(jù)等號(hào)成立的條件,進(jìn)行了上述變形。13：設(shè),求證IMO,2001證法1：先證,由由平均值不等式可知,上式顯然成立,同理可知：把以上三式