高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)學(xué)案9．7《雙曲線》(含詳解)

1、PAGE PAGE 1097雙曲線1雙曲線的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的_等于常數(shù)2a(2a_|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的_，兩焦點間的距離叫做雙曲線的_(2)另一種定義方式(見人教A版教材選修21 P59例5)：平面內(nèi)動點M到定點F的距離和它到定直線l的距離之比等于常數(shù)e(e1)的軌跡叫做雙曲線定點F叫做雙曲線的一個焦點，定直線l叫做雙曲線的一條準(zhǔn)線，常數(shù)e叫做雙曲線的_(3)實軸和虛軸相等的雙曲線叫做_“離心率eeq r(2)”是“雙曲線為等軸雙曲線”的_條件，且等軸雙曲線兩條漸近線互相_一般可設(shè)其方程為x2y2(0)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

2、及幾何性質(zhì)焦點在x軸上焦點在y軸上(1)圖形(2)標(biāo)準(zhǔn)方程eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)(3)范圍xa或xaya或ya(4)中心原點O(0，0)(5)頂點A1(a，0)，A2(a，0)(6)對稱軸x軸，y軸(7)焦點F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)(8)焦距2c2eq r(a2b2)(9)離心率(10)漸近線方程yeq f(a,b)x自查自糾：1(1)絕對值焦點焦距(2)離心率(3)等軸雙曲線充要垂直2(2)eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)(5)A1(0，a)，A2(0，a) (7)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)(9)eeq f(c,a)

3、(e1)(10)yeq f(b,a)x 與橢圓eq f(x2,4)y21共焦點且過點P(2，1)的雙曲線方程是 ()Aeq f(x2,4)y21 Beq f(x2,2)y21Ceq f(x2,3)eq f(y2,3)1 Dx2eq f(y2,2)1解：橢圓eq f(x2,4)y21的焦點坐標(biāo)是(eq r(3)，0)設(shè)雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，因為雙曲線過點P(2，1)，所以eq f(4,a2)eq f(1,b2)1，又a2b23，解得a22，b21，所以所求雙曲線方程是eq f(x2,2)y21故選B 若雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2

4、,b2)1 (a0，b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為()Aeq r(5) B5 Ceq r(2) D2解：由題意得b2a，又a2b2c2，所以 5a2c2所以e2eq f(c2,a2)5，所以eeq r(5)故選A (eq avs4al(2016全國卷)已知方程eq f(x2,m2n)eq f(y2,3m2n)1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為 4，則n的取值范圍是 ()A(1，3) B(1，eq r(3) C(0，3) D(0，eq r(3)解：因為方程eq f(x2,m2n)eq f(y2,3m2n)1表示雙曲線，所以(m2n)(3m2n)0，解得m2n3

5、m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，所以焦距2c22|m|4，解得|m|1，所以1n3故選A (eq avs4al(2016江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq f(x2,7)eq f(y2,3)1的焦距是_解：易知a27，b23，則c2a2b27 310，即ceq r(10)，則焦距2c2eq r(10)故填2eq r(10) (eq avs4al(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦點F(c，0)到一條漸近線的距離為eq f(r(3),2)c，則其離心率的值是_解：因為

6、雙曲線的焦點F(c，0)到漸近線y eq f(b,a)x即bxay0的距離為eq f(|bc0|,r(a2b2)eq f(bc,c)b，所以 beq f(r(3),2)c，因此a2c2b2c2eq f(3,4)c2eq f(1,4)c2，aeq f(1,2)c，e2故填2類型一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(1)過雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A若以C的右焦點F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(O為坐標(biāo)原點)，則雙曲線C的方程為 ()Aeq f(x2,4)eq f(y2,12)1 Beq f(x2,7)eq f(y

7、2,9)1Ceq f(x2,8)eq f(y2,8)1 Deq f(x2,12)eq f(y2,4)1解：因為漸近線yeq f(b,a)x與直線xa交于點A(a，b)，c4且eq r(（4a）2b2)4，解得a2，b212，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,4)eq f(y2,12)1故選A(2)已知圓C：(x3)2y24，定點A(3，0)，則過定點A且和圓C外切的動圓圓心M的軌跡方程為_解：設(shè)動圓M的半徑為r，則|MC|2r，|MA|r，所以|MC|MA|2，由雙曲線的定義知，M點的軌跡是以A，C為焦點的雙曲線的左支，且a1，c3，所以b28，所以動圓圓心M的軌跡方程為x2eq f(y2

8、,8)1(x1)故填x2eq f(y2,8)1(x1)(3)已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_解：如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B根據(jù)兩圓外切的條件，有|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以點M到兩定點C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支，其中a1，c3，則b28故點M的軌跡方程為x2eq f(y2,8)1(x1)故填x2eq f(y2,8)1(x1)點 撥：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法； 當(dāng)雙曲線焦點的位置不確定時，為了避

9、免討論焦點的位置，常設(shè)雙曲線方程為Ax2By21(AB0)，這樣可以簡化運算(1)已知雙曲線的漸近線方程為2x 3y0，且雙曲線經(jīng)過點P(eq r(6)，2)，則雙曲線的方程為_解：由雙曲線的漸近線方程為yeq f(2,3)x，可設(shè)雙曲線方程為eq f(x2,9)eq f(y2,4)(0)因為雙曲線過點P(eq r(6)，2)，所以eq f(6,9)eq f(4,4)，eq f(1,3)，故所求雙曲線的方程為eq f(3,4)y2eq f(1,3)x21故填eq f(3,4)y2eq f(1,3)x21(2)(eq avs4al(2016天津)已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b

10、2)1(a0， b0)的焦距為2eq r(5)，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為 ()Aeq f(x2,4)y21 Bx2eq f(y2,4)1Ceq f(3x2,20)eq f(3y2,5)1 Deq f(3x2,5)eq f(3y2,20)1解：由題意得ceq r(5)，eq f(b,a)eq f(1,2)，則a2，b1，所以雙曲線的方程為eq f(x2,4)y21故選A(3)(eq avs4al(2016河南模擬)已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦點為F1，左、右頂點分別為A1，A2，P為雙曲線上任意一點，則分別以線段PF

11、1，A1A2為直徑的兩個圓的位置關(guān)系為 ()A相交 B相切C相離 D以上情況都有可能解：令雙曲線的右焦點為F2，設(shè)以線段PF1，A1A2為直徑的兩個圓的半徑分別為r1，r2，兩個圓的圓心分別為O1，O2若P在雙曲線左支上，則|O2O1|eq f(1,2)|PF2|eq f(1,2)(|PF1|2a)eq f(1,2)|PF1|ar1r2，即圓心距為半徑之和，兩圓外切若P在雙曲線右支上，同理求得|O2O1|r1r2，故此時，兩圓內(nèi)切綜上，兩圓相切故選B類型二雙曲線的離心率(1)(eq avs4al(2017全國卷)已知雙曲線C： eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右頂

12、點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點若MAN60，則C的離心率為_解：雙曲線的右頂點為A(a，0)，一條漸近線的方程為yeq f(b,a)x，即bxay0，圓心A到此漸近線的距離deq f(|baa0|,r(b2a2)eq f(ab,c)，因為MAN60，圓的半徑為b，所以bsin60eq f(ab,c)，即eq f(r(3)b,2)eq f(ab,c)，所以eeq f(2,r(3)eq f(2r(3),3)故填eq f(2r(3),3)(2)已知點F是雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過

13、F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 ()A(1，) B(1，2) C(2，1eq r(2) D(1，1eq r(2)解：若ABE是銳角三角形，只需AEF 45，在RtAFE中，|AF|eq f(b2,a)，|FE|ac，則 eq f(b2,a)ac，即b20，則e2e20，解得1e1，則1e0，b0)的離心率為eq f(r(5),2)，則C的漸近線方程為()Ayeq f(1,4)x B yeq f(1,3)xC yeq f(1,2)x D yx解：根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知eeq f(c,a)eq f(r(5),2)，c2 a2b2，聯(lián)

14、立可得b2eq f(a2,4)，即eq f(b,a)eq f(1,2)，故C的漸近線方程為yeq f(1,2)x故選C(2)(eq avs4al(2016蚌埠二模)已知雙曲線C的漸近線方程為yeq r(2)x，則雙曲線C的離心率為 ()Aeq r(3) Beq r(6) Ceq f(r(6),2)或eq r(6) Deq r(3)或eq f(r(6),2)解：由已知得：當(dāng)焦點在x軸上時，eq f(b,a)eq r(2)，即beq r(2)a，則eeq f(c,a)eq f(r(a2b2),a)eq r(3)；當(dāng)焦點在y軸上時，eq f(a,b)eq r(2)，即beq f(r(2),2)a，則

15、 eeq f(c,a)eq f(r(a2b2),a)eq f(r(6),2)故選D點 撥：本例考查雙曲線中a，b，c的關(guān)系，以及雙曲線的漸近線等知識漸近線方程可以看作是把雙曲線方程中的“1”用“0”替換而得到的兩條直線方程(1)已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率eeq r(2)，2，則其中一條漸近線與實軸夾角的取值范圍是_解：因為eeq r(2)，2，所以eq r(2)eq f(c,a)2，2eq f(c2,a2)4，2eq f(a2b2,a2)4，1eq f(b2,a2)3，1eq f(b,a)eq r(3)，得其中一條漸近線的傾斜角的取值范圍為e

16、q f(,4)，eq f(,3)，即它與實軸夾角的取值范圍是eq f(,4)，eq f(,3)故填eq f(,4)，eq f(,3)(2)(eq avs4al(2016洛陽二模)設(shè)雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩條漸近線與直線xeq f(a2,c)分別交于A，B兩點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點若60AFB 90，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 ()A(1，eq r(2) B(eq r(2)，2)C(1，2) D(eq r(2)，)解：雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的漸近線方程為yeq f(b,a)x，由eq blc(avs4a

17、lco1(yf(b,a)x，,xf(a2,c)得eq blc(avs4alco1(xf(a2,c)，,yf(ab,c)，)不妨令A(yù)(eq f(a2,c)，eq f(ab,c)，B(eq f(a2,c)，eq f(ab,c)由60AFB90，得1kFAeq f(r(3),3)，所以eq f(r(3),3)eq f(f(ab,c),cf(a2,c)1，即eq f(r(3),3)eq f(ab,c2a2)1因為b2c2a2，所以eq f(r(3),3)eq f(a,b)1，即eq f(1,3)eq f(a2,b2)1，所以1eq f(c2a2,a2)3，即1e213，解得eq r(2)e2，故選B類

18、型四直線與雙曲線(1)(eq avs4al(2018河南新鄉(xiāng)二模)已知雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若eq o(BA,sup6()2eq o(AF,sup6()，且|eq o(BF,sup6()|4，則雙曲線C的方程為()Aeq f(x2,6)eq f(y2,5)1 Beq f(x2,8)eq f(y2,12)1Ceq f(x2,8)eq f(y2,4)1 Deq f(x2,4)eq f(y2,6)1解：不妨設(shè)B(0，b)，由eq o(BA,sup6()2eq o(AF,sup6()，

19、F(c，0)，可得A(eq f(2c,3)，eq f(b,3)，代入雙曲線C的方程可得eq f(4,9) eq f(c2,a2)eq f(1,9)1，即eq f(4,9)eq f(a2b2,a2)eq f(10,9)，所以eq f(b2,a2)eq f(3,2)，又|eq o(BF,sup6()|eq r(b2c2)4，c2a2b2，所以a22b216，由可得a24，b26，所以雙曲線C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,6)1故選D(2)已知直線l與雙曲線C：x2y22的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若AB的中點在該雙曲線上，O為坐標(biāo)原點，則AOB的面積為 ()Aeq f(1,2)

20、B1 C2 D4解：由題意得，雙曲線的兩條漸近線方程為yx，設(shè)A(x1，x1)，B(x2，x2)，則OAOB，AB的中點為(eq f(x1x2,2)，eq f(x1x2,2)，又因為AB的中點在雙曲線上，所以(eq f(x1x2,2)2(eq f(x1x2,2)22，化簡得x1x22，所以SAOBeq f(1,2)|OA|OB|eq f(1,2)|eq r(2)x1|eq r(2)x2|x1x2|2故選C點撥：考綱中雙曲線的要求層級為“了解”，高考中小題居多，熟練掌握雙曲線的定義、幾何性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵，必要時，聯(lián)立直線與雙曲線的方程(1)設(shè)P為直線yeq f(b,3a)x與雙曲線eq

21、f(x2,a2) eq f(y2,b2)1(a0，b0)左支的交點，F(xiàn)1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e_解：因為直線yeq f(b,3a)x與雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1相交，由eq blc(avs4alco1(yf(b,3a)x，,f(x2,a2)f(y2,b2)1)消去y得xeq f(3r(2)a,4)，因為 PF1x軸，且P在雙曲線左支，所以eq f(3r(2),4)ac，所以eq f(c,a)eq f(3r(2),4)故填eq f(3r(2),4)(2)若以F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)為焦點的雙曲線與直線yx1有公共點，則該雙曲線的離心率的取值

22、范圍為 ()A(eq f(3r(5),5)，eq r(2)(eq r(2)，) Beq f(3r(5),5)，)C(eq f(3r(5),5)，) Deq f(3r(5),5)，eq r(2)(eq r(2)，)解：依題意，設(shè)雙曲線方程是eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，則有a2b29，b29a2由eq blc(avs4alco1(yx1，,f(x2,a2)f(y2,b2)1)消去y，得eq f(x2,a2)eq f(（x1）2,b2)1，即(b2a2)x22a2x a2(1b2)0(*)有實數(shù)解當(dāng)b2a20時，方程(*)有實數(shù)解，此時雙曲線的離心率eeq r(2)

23、；當(dāng)b2 a20時，4a44a2(b2a2)(1b2)0，即a2b21，a2(9a2)1，解得0a25，又a2b2，即a29a2，故a2eq f(9,2)，此時eeq f(3,a)eq f(3,r(5)eq f(3r(5),5)且eeq r(2)綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍為eq f(3r(5),5)，)故選B1對雙曲線的學(xué)習(xí)可類比橢圓進行，應(yīng)著重注意兩者的異同點2在雙曲線的定義中，當(dāng)eq blc|rc|(avs4alco1(MF1)eq blc|rc|(avs4alco1(MF2)時，動點M的軌跡是雙曲線的一支，當(dāng)eq blc|rc|(avs4alco1(MF1)eq blc|rc|

24、(avs4alco1(MF2)時，軌跡為雙曲線的另一支，而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中強調(diào)“差的絕對值”3定義中|F1F2|2a這個條件不可忽視，若|F1F2|2a，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線，若|F1F2|2a，則軌跡不存在4在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，焦點對應(yīng)“大分母”，即標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2，y2誰的分母較大，則焦點就在哪個軸上；而在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，焦點的位置對應(yīng)“正系數(shù)”，即標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2，y2誰的系數(shù)為正(右邊的常數(shù)總為正)，則焦點就在哪個軸上5在橢圓中，a，b，c滿足a2b2c2，即a最大；在雙曲線中，a，b，c滿足c2a2b2，即c最大6在雙曲線的幾何性質(zhì)中，

25、漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容對漸近線：掌握方程；掌握其傾斜角、斜率的求法；會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù)7已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中右邊的“1”為“0”就可得到漸近線方程，即方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)0就是雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩條漸近線方程8求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為Ax2By21的形式，當(dāng)A0，B0，AB時為橢圓，當(dāng)AB0時為雙曲線9直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，如當(dāng)直線與雙曲線的漸近

26、線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點10與雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)有共同漸近線的雙曲線系方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)(0)1(eq avs4al(2017鄭州模擬)設(shè)雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為2eq r(3)，則雙曲線的漸近線方程為 ()Ayeq f(1,2)x Byeq f(r(2),2)xCyeq r(2)x Dy2x解：因為2b2，所以b1，因為2c2eq r(3)，所以ceq r(3)，所以aeq r(c

27、2b2)eq r(2)，所以雙曲線的漸近線方程為yeq f(b,a)xeq f(r(2),2)x故選B2(eq avs4al(2017全國卷)已知雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一條漸近線方程為yeq f(r(5),2)x，且與橢圓eq f(x2,12)eq f(y2,3)1有公共焦點則C的方程為 ()Aeq f(x2,8)eq f(y2,10)1 Beq f(x2,4)eq f(y2,5)1Ceq f(x2,5)eq f(y2,4)1 Deq f(x2,4)eq f(y2,3)1解：因為雙曲線的一條漸近線方程為yeq f(r(5),2)x，則eq f(

28、b,a)eq f(r(5),2)又因為橢圓eq f(x2,12)eq f(y2,3)1與雙曲線有公共焦點，易知c3，則a2b2c29由解得a2，beq r(5)，則雙曲線C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,5)1，故選B3(eq avs4al(2018南昌模擬)若雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一條漸近線的傾斜角為eq f(,6)，則雙曲線C的離心率為 ()A2或eq r(3) Beq f(2r(3),3) C2或eq f(2r(3),3) D2解：由題意eq f(b,a)eq f(r(3),3)，所以eq f(b2,a2)eq f(c2a2,

29、a2)eq f(1,3)，即 eeq f(2r(3),3)故選B4已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2 ()Aeq f(1,4) Beq f(3,5) Ceq f(3,4) Deq f(4,5)解：由x2y22，知abeq r(2)，c2由雙曲線定義，|PF1|PF2|2a2eq r(2)，又|PF1|2|PF2|，所以|PF1|4eq r(2)，|PF2|2eq r(2)，在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cosF1PF2eq f(|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,2|PF1|PF2|)eq f(3,4

30、)故選C5若雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)上存在一點P滿足以|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標(biāo)原點)，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A(1，eq f(r(5),2) B(1，eq f(r(7),2)Ceq f(r(5),2)，) Deq f(r(7),2)，)解：由已知條件，得|OP|22ab，又P為雙曲線上一點，從而|OP|a，所以2aba2，所以2ba，則c2a2b2a2eq f(a2,4)eq f(5,4)a2，所以eeq f(c,a)eq f(r(5),2)故選C6過雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0

31、)的一個焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為點A，與另一條漸近線交于點B，若eq o(FB,sup6()2eq o(FA,sup6()，則此雙曲線的離心率為 ()Aeq r(2) Beq r(3) C2 Deq r(5)解：因為eq o(FB,sup6()2eq o(FA,sup6()，所以A是FB的中點設(shè)F(c，0)，過焦點F與漸近線yeq f(b,a)x垂直的直線為y eq f(a,b)(xc)，故點A的橫坐標(biāo)為eq f(a2,c)，直線yeq f(a,b)(xc)與yeq f(b,a)x的交點B的橫坐標(biāo)為eq f(a2c,2a2c2)由中點坐標(biāo)公式有eq f(a2c,2a2c2)ceq f(

32、2a2,c)，即e45e240，解得e2故選C7雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率為2，焦點到漸近線的距離為eq r(3)，則C的焦距等于_解：由題意得beq r(3)，結(jié)合eq f(c,a)2，c2a2b2得c2，則雙曲線C的焦距為2c4故填48(eq avs4al(2016浙江)設(shè)雙曲線x2eq f(y2,3)1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_解：如圖，由已知可得a1，beq r(3)，c2，從而|F1F2|4，由對稱性不妨設(shè)點P在右支上，設(shè)|PF2|m，則|PF1|m2

33、am2，由于PF1F2為銳角三角形，結(jié)合實際意義需滿足eq blc(avs4alco1(（m2）2m242，,42（m2）2m2，)解得1eq r(7)m3，又|PF1|PF2|2m2，所以2eq r(7)2m28故填(2eq r(7)，8)9(eq avs4al(2017安徽江南十校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq r(2)，且過點P(4，eq r(10)(1)求雙曲線的方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()0解：(1)因為eeq r(2)，依題意，設(shè)雙曲線的方程為x2y2(0)因為雙曲線

34、過點(4，eq r(10)，所以1610，即6所以雙曲線的方程為x2y26(2)證明：由(1)可知，abeq r(6)，所以c2eq r(3)，所以F1(2eq r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq r(3)，0)，eq o(MF1,sup6()(2eq r(3)3，m)，eq o(MF2,sup6()(2eq r(3)3， m)，所eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()(32eq r(3)(32eq r(3)m2 3m2，因為點M(3，m)在雙曲線上，所以9m26，即m230，所以eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()0(或利用kMF1kMF2 1證明)1

35、0已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于eq r(3)，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A，B兩點，F(xiàn)1為左焦點(1)求雙曲線的方程；(2)若F1AB的面積等于6eq r(2)，求直線l的方程解：(1)依題意beq r(3)，eq f(c,a)2a1，c2，所以雙曲線的方程為x2eq f(y2,3)1(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)易驗證當(dāng)直線l斜率不存在時不滿足題意，故可設(shè)直線l：yk(x2)，由eq blc(avs4alco1(yk（x2），,x2f(y2,3)1，)消元得(k23)x24k2x4k230，keq r(3)，則x1x2eq f(4k2,k23)，x1x2eq f(4k