齊魯醫(yī)學控制與接口技術-狀態(tài)方程

1、控制與接口技術主講教師：葉春生Tel中科技大學材料學院控制與接口技術第一章 緒論第二章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正第三章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合第四章 STM32處理器及其應用第五章 數(shù)控（CNC）系統(tǒng)及其插補原理第六章 數(shù)控機床的伺服驅動系統(tǒng)第七章 SIMULINK交互式仿真集成環(huán)境內(nèi)容提要狀態(tài)空間分析系統(tǒng)的優(yōu)點建立狀態(tài)方程的方法狀態(tài)函數(shù)采樣系統(tǒng)的可控性和可觀性最優(yōu)控制1、描述系統(tǒng)的方程具有統(tǒng)一的規(guī)范化的表達方式x(t)=Ax(t)+Bu(t)y (t)=Cx(t)+Du(t)2、從本質上講，它是一種時域分析方法(一組一階常微分方程組)，有成熟的解析解和數(shù)值解

2、的方法可供使用。3、不僅揭示了輸入、輸出之間(激勵與響應)的關系，而且還揭示了系統(tǒng)內(nèi)部各物理量(狀態(tài))的變化規(guī)律。4、該方法是一種統(tǒng)一的分析方法，既可以分析、處理離散系統(tǒng)，也可以分析、處理連續(xù)系統(tǒng)。狀態(tài)空間分析系統(tǒng)的優(yōu)點建立狀態(tài)方程的方法如果已知描述系統(tǒng)的微分方程，可以通過變量代換的方法建立狀態(tài)方程。例：已知系統(tǒng)的微分方程令逐次變換消去激勵的導數(shù)項。令：x1= y - b2u y = x1 + b2u 令：x2= dx1/dt (b1 - a1b2)u串聯(lián)形式系統(tǒng)傳遞函數(shù)1/s21/s231/s4x1x2x3uy串聯(lián)形式x11/s4/31/s23x2u1/s4x32/3并聯(lián)形式并聯(lián)形式系統(tǒng)傳遞

3、函數(shù)當其變量是一個向量時x(t)=Ax(t)+Bu(t)當其變量是一個標量時 x(t)=ax(t)+bu(t)若系統(tǒng)的初始條件為x(0)，其解為1/sCBA(1-e-Ts)/sD(z)r(t)e(k)u(k)u(t)x(t)y(t)？x(t)狀態(tài)方程x(t)=Ax(t)+Bu(t)表示被控對象構造函數(shù) eAt x(t)，對其兩端求導：幾個重要的矩陣公式對式 x(t)=Ax(t)+Bu(t) 兩端左乘eAt eAt x(t)= eAt Ax(t)+ eAt Bu(t)eAt x(t) eAt Ax(t)eAt Bu(t)左端恰為 deAt Ax(t)/dteAt Bu(t)對上式兩端積分，有系統(tǒng)

4、的時域解狀態(tài)方程的頻域求解x(t)=Ax(t)+Bu(t) 一組微分方程的矩陣描述！兩端進行拉普拉斯變換，其矩陣描述為：sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)X(s)=(sI-A)-1x(0)+BU(s) =(s)x(0)+BU(s)如果系統(tǒng)初始狀態(tài)為0， |(s)|是各狀態(tài)傳遞函數(shù)的特征多項式。系統(tǒng)的頻域解有 X(s)=(s)x(t0)+(s)BU(s) x(t)=L1(s)x(0)+ L1(s)BU(s)與時域解比較有結論：系統(tǒng)的時域解與頻域解的比較狀態(tài)轉移矩陣eAt= L1(s)= L1 (sI-A)-1若對狀態(tài)函數(shù)進行采樣兩邊乘eAT tkT t(k+1)T 狀態(tài)函數(shù)采樣兩式相減

5、令=(k+1)T-，d=d積分的上下限正好是一個采樣周期。若被控對象前有一零階保持器：u(t)=u(k) kTt a=-1 0；1 0； b=expm(a) matlab語句設T1逆矩陣伴隨陣/矩陣行列式設系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)r(t)，控制變量為u(k)，系統(tǒng)初始條件為：x1(0)=x2(0)=0如果u(0)1/0.368，則一拍達到目的。設調節(jié)器輸出u(0)1/0.368如果希望x2(2)=1，則根據(jù)上式 在控制工程中，有兩個問題經(jīng)常引起設計者的關心。那就是加入適當?shù)目刂谱饔煤螅芊裨谟邢迺r間內(nèi)將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)控制（轉移）到希望的狀態(tài)上，以通過對系統(tǒng)輸出在一段時間內(nèi)的觀測，能否判斷（識

6、別）系統(tǒng)的初始狀態(tài)。這便是控制系統(tǒng)的能控性與能觀性問題?？刂葡到y(tǒng)的能控性及能觀性是現(xiàn)代理論中很重要的兩個概念。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng)中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問題解的存在性問題中最重要的問題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問題的解是不存在的。系統(tǒng)的可控性和可觀性可控性定義：當系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時，給定系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到允許的輸入量，在有限的時間內(nèi)使系統(tǒng)的所有狀態(tài)達到任一終止狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可控的。有狀態(tài)方程x(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解為：如果有限的時間內(nèi)0 t t1內(nèi)通過輸入量u(t)的作用把系統(tǒng)的所有狀態(tài)引向狀態(tài)x(t1)設x(t1)=0 ，則應有：即在給定x

7、(0-)和A、B的條件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。換言之：上述方程有解則系統(tǒng)能控。根據(jù)凱萊哈米爾頓定理， e-At、 eAt可寫成有限級數(shù)：如果方程有解，等式右邊左側矩陣應滿秩=n可觀性定義：當系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時，給定控制后，如果系統(tǒng)的每一個初始狀態(tài)x(0-)都可以在有限的時間內(nèi)通過系統(tǒng)的輸出y(t)唯一確定，則稱系統(tǒng)完全可觀。若只能確定部分初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)部分可觀。有狀態(tài)方程 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t) 其解為：由于在討論能觀性問題時，輸入是給定的，上式右側第二項是確知的，設u(t)=0。y(t)=CeAtx(0-)根據(jù)凱萊哈米爾頓定理， e-A

8、t 、eAt可寫成有限級數(shù)：如果方程有解，等式右側中間側矩陣應滿秩。秩=n(系統(tǒng)的階數(shù))對離散系統(tǒng)xn1(k+1)=Fnnxn1(k)+Gnmum1(k) yp1(k)=Cpnxn1(k)可以推出完全可控和可觀的充分必要條件為：狀態(tài)變量反饋 一個系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)零極點的配置，其時間響應的模態(tài)是由其極點的位置所決定的，如果可以對閉環(huán)控制系統(tǒng)的極點進行預先進行配置，根據(jù)極點的配置設計調節(jié)器，則系統(tǒng)的輸出會按照我們預先的想象實現(xiàn)。 可以證明：如果系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的，則系統(tǒng)的極點可任意配置。有狀態(tài)方程 x(t)=Ax(t)+Bu(t)若使調節(jié)器的輸出為系統(tǒng)所有狀態(tài)的負反饋，有 u(t)=-Kx

9、(t) x(t)=(ABK)x(t)在前面的推導中，有三個條件應滿足：系統(tǒng)完全能控假設給定輸入r(t)=0；所有的系統(tǒng)狀態(tài)x(t)可以得到。于是，方程 x(t)=(ABK)x(t)就成為狀態(tài)的零輸入響應方程，其解為狀態(tài)的零輸入響應。其響應過程取決于系統(tǒng)的極點配置。對其進行拉普拉斯變換：sX(s)-x(0-)=(ABK)X(s)控制器被控對象Cx(t)y(t)r(t)u(t)sX(s)=(ABK)X(s)+x(0-)X(s)=(sI-A+BK)-1x(0-)|(sI-A+BK)|是系統(tǒng)狀態(tài)運動方程的特征函數(shù)，極點可通過K的調整而任意配置。因為(sI-A+BK)-1sI-A+BK*/|(sI-A+

10、BK)|最優(yōu)控制 最優(yōu)控制是控制系統(tǒng)設計的一種方法。它所研究的中心問題是如何選擇控制信號，才能保證控制系統(tǒng)的性能在某種意義下最優(yōu)。本章內(nèi)容為：引言用變分法求解最優(yōu)控制問題極小值原理及其在快速控制中的應用用動態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問題線性狀態(tài)調節(jié)器線性伺服機問題數(shù)字化伺服壓力機控制系統(tǒng)圖1 曲柄連桿壓力機ARM控制系統(tǒng)原理圖數(shù)字化伺服壓力機控制系統(tǒng)模型圖2伺服電機控制系統(tǒng)框圖伺服電機控制系統(tǒng)模型圖2伺服電機控制系統(tǒng)框圖伺服電機控制硬件系統(tǒng)ADCPWMGPIOUART1UART2CANADCMCSPIUART33.3V鍵盤輸入數(shù)字顯示電流反饋電壓反饋轉速反饋FLASH存儲器3.3V電源輸入電機控制連

11、接器RS232通訊RS232通訊LIN總線通訊CAN總線通訊STM32F103圖3伺服電機控制硬件框架圖伺服電機控制軟件構架應用層STM32F103xx標準庫STM32F103xx 外部軟件速度，磁通，轉矩 PID速度反饋電流反饋SVPWMFOC 驅動用戶接口STM32F103xx電機控制庫圖4伺服電機控制軟件框架數(shù)字化伺服壓力機數(shù)學模型PMSM的運動方程為曲柄連桿滑塊機構曲軸上所受的扭矩摩擦阻力矩1 引言什么是最優(yōu)控制？以下通過直流他勵電機的控制問題來說明問題1電動機的運動方程為（1）其中， 為轉矩系數(shù)； 為轉動慣量； 為恒定的負載轉矩；希望：在時間區(qū)間0，tf內(nèi)，電動機從靜止起動，轉過一定

12、角度后停止，使電樞電阻 上的損耗 最小，求因為 是時間的函數(shù)，E 又是 的函數(shù)，E 是函數(shù)的函數(shù)，稱為泛函。（2）采用狀態(tài)方程表示，令于是（3）初始狀態(tài)末值狀態(tài)控制 不受限制性能指標（4）本問題的最優(yōu)控制問題是：在數(shù)學模型（3）的約束下，尋求一個控制 ，使電動機從初始狀態(tài)轉移到末值狀態(tài)，性能指標E 為最小。問題2對于問題1中的直流他勵電動機，如果電動機從初始時刻 的靜止狀態(tài)轉過一個角度 又停下，求控制 （ 是受到限制的），使得所需時間最短。這也是一個最優(yōu)控制問題：系統(tǒng)方程為初始狀態(tài)末值狀態(tài)（5）性能指標（6）最優(yōu)控制問題為：在狀態(tài)方程的約束下，尋求最優(yōu)控制，將 轉移到 ，使J 為極小。最優(yōu)控制

13、問題的一般性提法系統(tǒng)狀態(tài)方程為初始狀態(tài)為其中，x 為n 維狀態(tài)向量； u 為r 維控制向量； f 為n 維向量函數(shù)，它是 x 、u 和t 的連續(xù)函數(shù)，并且對x 、t 連續(xù)可微。最優(yōu)。其中 是 x 、u 和t 的連續(xù)函數(shù) 尋求在 上的最優(yōu)控制 或 ，以將系統(tǒng)狀態(tài)從 轉移到 或 的一個集合，并使性能指標最優(yōu)控制問題就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。補充：泛函與變分法一、泛函與變分1、泛函的基本定義：如果對于某個函數(shù)集合 中的每一個函數(shù) ，變量J 都有一個值與之對應，則稱變量J 為依賴于函數(shù) 的泛函，記作可見，泛函為標量，可以理解為“函數(shù)的函數(shù)”例如：（其中， 為在 上連續(xù)可積函數(shù)）當 時

14、，有 ；當 時，有 。泛函 如果滿足以下條件時，稱為線性泛函：1） ，其中c 為任意常數(shù)；2）對于一個任意小正數(shù) ，總是可以找到 ，當 時，有 就稱泛函 在 處是連續(xù)的。2、泛函的變分所謂泛函 的宗量 的變分是指兩個函數(shù)間的差。定義：設 是線性賦泛空間 上的連續(xù)泛函，其增量可表示為其中， 是關于 的線性連續(xù)泛函， 是關于 的高階無窮小。則 稱為泛函 的變分。3、泛函變分的規(guī)則1）2）3）4）泛函的變分等于定理：設 是在線性賦泛空間 上某個開子集D 中定義的可微泛函，且在 處達到極值，則泛函 在 處必有4、泛函的極值設 是在線性賦泛空間 上某個子集D 中的線性連續(xù)泛函， ，若在 的某領域內(nèi)在 時

15、，均有00或則稱 在 處達到極大值或極小值。歐拉方程：定理：設有如下泛函極值問題：其中， 及 在 上連續(xù)可微， 和 給定，已知 ， ， ，則極值軌線 滿足如下歐拉方程及橫截條件注意：滿足歐拉方程是必要條件，不是充分條件。2 用變分法求解最優(yōu)控制問題2.1 末值時刻固定、末值狀態(tài)自由情況下的最優(yōu)控制非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為（6）初始狀態(tài)（7）其中，x 為n 維狀態(tài)向量； u 為r 維控制向量； f 為n 維向量函數(shù)。要求在控制空間中尋求一個最優(yōu)控制向量 ，使以下性能指標（8）沿最優(yōu)軌線 取極小值。（性能指標如（8）式所示的最優(yōu)控制問題，是變分法中的波爾扎問題）3 極小值原理及其在快速控制中的應用

16、3.1 問題的提出 用變分法求解最優(yōu)控制時，認為控制向量 不受限制。但是實際的系統(tǒng)，控制信號都是受到某種限制的。 因此，應用控制方程來確定最優(yōu)控制，可能出錯。a)圖中所示，H 最小值出現(xiàn)在左側，不滿足控制方程。b)圖中不存在 3.2 極小值原理非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為初始時刻 ，初始狀態(tài) ，末值時刻 ，末端狀態(tài) 自由性能指標為末值型性能指標要求在狀態(tài)方程約束下，尋求最優(yōu)控制 及 使系統(tǒng)從轉移到 ，并使J 取極小值。以下就是用極小值原理解前面的問題： 設 為容許控制， 為對應的狀態(tài)軌線。為了使它們分別成為最優(yōu)控制 和最優(yōu)軌線 ，存在一個向量函數(shù) ，使得其中哈密頓函數(shù)： 和 滿足邊界條件則哈密頓

17、函數(shù)H 相對最優(yōu)控制取極小值，即或者在末值時刻 是自由的情況哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線隨時間的變化規(guī)律：在末值時刻 是固定的情況幾點說明：1）極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應該滿足的必要條件。2）極小值原理的結果與用變分法求解最優(yōu)問題的結果相比，差別僅在于極值條件。4）非線性時變系統(tǒng)也有極小值原理。3）這里給出了極小值原理，而在龐德里亞金著作論述的是極大值原理。因為求性能指標J的極小值與求J的極大值等價。4 用動態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問題右圖為某小城鎮(zhèn)交通路線圖。起點站為S，終點站為F， 站與站之間的里程標在圖上，要求選擇一條路線走法，使里程最短。這是一個最優(yōu)控制問題。一種辦法是將從S 到F 所有可能走

18、法都列出來，并且把每種走法的里程標在各條路線上，找出最短的。4.1 動態(tài)規(guī)劃法的基本思想第二個辦法：從最后一段開始，向前倒推。當?shù)雇频侥骋徽緯r，計算該站到終點站的總里程，并選擇里程最少的走法。從該例看出，這種解法有兩個特點: 第一，它把一個復雜的問題（即：決定一條路線的選擇問題）變成許多個簡單的問題（即：每次只決定向上走（p）還是向下走（q）的問題），因此問題的求解變得簡單容易了。不變嵌入原理的含義是：為了解決一個特定的最優(yōu)控制問題，而把原問題嵌入到一系列相似的但易于求解的問題中去。對于一個多級最優(yōu)控制過程來說，就是把原來的多級最優(yōu)控制問題代換成一系列單級最優(yōu)控制問題。5 線性狀態(tài)調節(jié)器5.1 引言 線性系統(tǒng)以二次型為性能指標的最優(yōu)控制問題，已經(jīng)在國內(nèi)、外的工程實踐中得到應用。原因如下：1）被控對象是線性的，最優(yōu)控制問題容易求得解析解。2）線性系統(tǒng)最優(yōu)控制的結果，可以在小信號條件下，應用于非線性系統(tǒng)。3）最優(yōu)控制器是線性的，易于實現(xiàn)。4）線性、二次型性能指標的最優(yōu)控制問題除了得到最優(yōu)解外，還可以導出經(jīng)典控制理論的一些特性。