2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第3章 命題探秘1 第2課時(shí)　利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)

1、 第2課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn) 考點(diǎn)一判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) eq avs4al(典例1)(2021新高考卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)(x1)exax2b.從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn) eq f(1,2)2a；0a eq f(1,2)，b2a.四字解題讀想算思f(x)(x1)exax2b.證明：f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)解 f(x)0,(2)驗(yàn)證極值的正負(fù)分類(lèi)討論；函數(shù)方程；數(shù)形結(jié)合規(guī)范解答證明：f(x)xex2axx(ex2a若選，令f(x)0，可得x0或xln (2a eq f(1,2)a eq f(e2,2)，

2、當(dāng)xln (2a)時(shí)，f(x)0當(dāng)0 xln (2a)時(shí)，f(x)0f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，(0，ln (2a)上單調(diào)遞減，(ln (2a)，注意到f eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(b,a) eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(b,a)1)e eq r(f(b,a)2a10.f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(b,a)，0) 上有一個(gè)零點(diǎn)；又f(ln (2a)ln (2a)12aaln2a ln (2a)2aa ln2(2a)2aa ln (2a由 eq f(1,2)a eq f(e2,2)得00當(dāng)x0 時(shí)，f(x)f(ln (

3、2a)0此時(shí)f(x)無(wú)零點(diǎn)綜上：f(x)在R上僅有一個(gè)零點(diǎn)若選，令f(x)0，可得x0或xln (2a0a eq f(1,2)，ln (2a)0或x0當(dāng)ln (2a)x0時(shí)，f(x)0f(x)在(，ln (2a)上單調(diào)遞增，在(ln (2a)，0)上單調(diào)遞減，在(0，又f(ln (2a)(ln (2a)1)2aa ln2a ln (2a)2aa ln2(2a)2aa ln (2a0a eq f(1,2)，ln (2a)0，a ln (2a)2ln (2a)0，f(ln (2a)0當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(ln (2a)0 時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，注意到f(0)b12a10取c eq r(2（1b）2

4、)，b2a eq r(2)1，又易證ecc1，f(c)(c1)ecac2b(c1)(c1)ac2b(1a)c2b1 eq f(1,2)c2b11b1b110，f(x)在(0，c)上有唯一零點(diǎn)，即f(x)在(0，)上有唯一零點(diǎn)綜上，f(x)在R上有唯一零點(diǎn)答題模板第一步依據(jù)參數(shù)的范圍，解f(x)0第二步判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性第三步借助函數(shù)的圖象走勢(shì)及函數(shù)零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)的零點(diǎn)情況跟進(jìn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)ln xkx2，討論yf(x)2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解由yf(x)20得ln xkx，因?yàn)閤0，所以k eq f(ln x,x)，令h(x) eq f(ln x,x) eq blc(rc)(avs4

5、alco1(x0)，則 h(x) eq f(1ln x,x2)，當(dāng)xe時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0 xe時(shí)，h(x)e時(shí)， eq f(ln x,x)0，所以 eq f(ln x,x)0，所以h(x) eq f(ln x,x) eq blc(rc)(avs4alco1(x0)的圖象如圖所示，所以當(dāng)k eq f(1,e)時(shí)，yf(x)2無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)k eq f(1,e)或k0時(shí)，yf(x)2只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) eq f(1,e)k0時(shí)，yf(x)2有兩個(gè)零點(diǎn) 考點(diǎn)二已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍 eq avs4al(典例2)(2020全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)exa(x2).(1)當(dāng)a1時(shí)，

6、討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍思維流程解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)exx2，則f(x)ex1.當(dāng)x0時(shí)，f(x)0時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增(2)f(x)exa.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增，故f(x)至多存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0可得xln a當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增故當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)a(1ln a).()若0 eq f(1,e)，則f(ln a)0，所以f(

7、x)在(，ln a)存在唯一零點(diǎn)由(1)知，當(dāng)x2時(shí)，exx20，所以當(dāng)x4且x2ln (2a)時(shí)，f(x)e eq f(x,2)e eq f(x,2)a(x2)eln (2a) eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)2)a(x2)2a0.故f(x)在(ln a，)存在唯一零點(diǎn)從而f(x)在(，)有兩個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍是 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)，).與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過(guò)對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)

8、圖象的交點(diǎn)問(wèn)題跟進(jìn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x) eq f(1,2)x2a ln x，若a0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍解f(x) eq f(1,2)x2a ln x的定義域?yàn)?0，)，f(x)x eq f(a,x) eq f(x2a,x).因?yàn)閍0，由f(x)0，得x eq r(a)，f(x)0，得0 x eq r(a).即f(x)在(0， eq r(a)上單調(diào)遞減，在( eq r(a)，)上單調(diào)遞增若 eq r(a)1，即0a1時(shí)，f(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，f(1) eq f(1,2)，f(x)在區(qū)間(1，e)上無(wú)零點(diǎn)若1 eq r(a)e，即1ae2時(shí)，f(

9、x)在(1， eq r(a)上單調(diào)遞減，在( eq r(a)，e)上單調(diào)遞增，f(x)minf( eq r(a) eq f(1,2)a(1ln a).f(x)在區(qū)間(1，e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)， eq blc(avs4alco1(f（1）f(1,2)0，,f（r(a)）f(1,2)a（1ln a）0，,f（e）f(1,2)e2a0，)ea0，f(e) eq f(1,2)e2a0)有兩個(gè)不同的解，即方程 eq f(ln x,x) eq f(ln a,a)有兩個(gè)不同的解設(shè)g(x) eq f(ln x,x)(x0)，則g(x) eq f(1ln x,x2)(x0)，令g(x) eq f(1ln x,x2)0，得xe，當(dāng)0 x0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe