馬井堂-高三數(shù)學(xué)培優(yōu)補差輔導(dǎo)專題講座-正弦定理余弦定理及其應(yīng)用

1、正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用考試要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形正、余弦定理的五大命題熱門正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判斷三角形種類的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榻堑年P(guān)系或邊的關(guān)系。在近來幾年高考取主要有以下五大命題熱門：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其余三個元素問題，從而求出三角形的三線(高線、角均分線、中線)及周長等基本問題例1ABC中，A，BC3，則ABC的周長為（）3A43sinB3B3C6sinB3D343sinB366sinB36分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出bc，則周長為3bc而獲得

2、結(jié)果解：由正弦定理得：3bcbcbc，sinBsinCsinBsinC2sinsinBB)sin(33得2B)6sin(B)故三角形的周長為：，應(yīng)選(D)bc23sinBsin(3bc6sinB3366評注：因為本題是選擇題也可取ABC為直角三角形時，即B，周長應(yīng)為333，故除去(A)、(B)、(C)而選(D)6例2(2005年全國高考湖北卷)在ABC中，已知AB46,cosB6，AC邊上的中線BD=5，求sinA的值36分析：本題重點是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：設(shè)E為BC的中點，連結(jié)1AB26，設(shè)BExDE，則DE/AB，且DE32在BDE中利用余弦定理可得

3、：BD2BE2ED22BEEDcosBED，5x2822366x，解得x1，x7（舍去）363故BC=2，從而2222ABBCcosB28221又sinB30ACABBC，即AC3，36222170故3，sinAsinA14306二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀例3在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC必定是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形解法1：由2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB應(yīng)選(B)解法2：由題意，得cosBs

4、inCc，再由余弦定理，得cosBa2c2b22sinA2a2aca2c2b2c222ac2a，即ab，得ab，應(yīng)選(B)評注：判斷三角形形狀，平常用兩種典型方法：一致化為角，再判斷(如解法1)，一致化為邊，再判斷(如解法2)三、解決與面積相關(guān)問題主假如利用正、余弦定理，并聯(lián)合三角形的面積公式來解題例4在ABC中，若A120，AB5，BC7，則ABC的面積S_分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運用面積公式S1AB?ACsinA即可解決2解：由余弦定理，得cosAAB2AC2BC225AC2491，解得AC32ABAC10AC2S1AB?ACsinA1531AB?AC?sinA1AC?h，

5、得hAB?sinA32，應(yīng)選(A)24222四、求值問題例5在ABC中，A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，設(shè)a、b、c知足條件b2c2bca2和c13，求A和tanB的值b2分析：本題給出一些條件式的求值問題，重點仍是運用正、余弦定理b2c2a21A60解：由余弦定理cosA2bc，所以，2在ABC中，C=180AB=120B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理1csinCsin(120B)23sinBsinBbsin120cosBcos120sinB3cotB1,解得cotB2,從而tanB1.sinB222五、正余弦定理解三角形的實質(zhì)應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實質(zhì)應(yīng)用中有著寬泛的應(yīng)用，如丈

6、量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析以下：（一.）丈量問題例1如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，C望對岸標(biāo)志物C，測得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、CAB、CBA，這個三角形可確立。分析：由正弦定理得ACABsinCBA，AC=AB=120m，AsinACB圖1又SABC1CAB1ABACsinABCD，解得CD=60m。22談?wù)摚汗倘槐绢}計算簡單，可是意義重要，屬于“可是河求河寬問題”。（二.）遇險問題例2某艦艇測得燈塔在它的東15北的方向，此艦艇以30海里/小

7、時的速度向正東行進，在它的東30北。若此燈塔四周10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇連續(xù)向東航行有無觸礁的危險？分析：如圖艦艇在A點處觀察到燈塔S在東15北的方向上；艦艇航行半小時后抵達(dá)B點，測得S在東30北的方向上。在北ABC中，可知AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，過點S作SC直線AB，垂足為C，則西15ASC=15sin30=7.5。B這表示航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔四周10海里內(nèi)有南暗礁，故連續(xù)航行有觸礁的危險。DB分鐘后又測得燈塔30東C圖2談?wù)摚合嚓P(guān)斜三角形的實詰問題，其解題的一般步驟是：（1）正確理解題意，分清已知與所求，特別要理

8、解應(yīng)用題中的相關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出表示圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題相關(guān)的一個或幾個三角形，經(jīng)過合理運用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追擊問題例3如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能趕快追上乙船？分析：設(shè)用th，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=。=1804515=120。依據(jù)余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos，28120t21)，128t260t270

9、，（4t3）28t2920t(2北A45B15C圖332t+9）=0，解得t=3，t=9（舍）32AC=283=21nmile，BC=203=15nmile。443BCsin1553535372依據(jù)正弦定理，得sin2，又AC2114，又=120，為銳角，=arcsin1414142，arcsin53，2144甲船沿南偏東arcsin53的方向用3h可以追上乙船。4144談?wù)摚汉胶栴}常波及到解三角形的知識，本題中的ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，因為兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間t相關(guān)。這樣依據(jù)余弦定理，可列出對于t的一元二次方程，解出t的值。五、交匯問題是指

10、正余弦定理與其余知識的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、分析幾何、實詰問題等知識交匯例6ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，cosB3.43（）求cotA+cotC的值；（）設(shè)BABC2，求ac的值.分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識的交匯，重點是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由cosB3,得sinB1(3)27,44422sinAsinC.由b=ac及正弦定理得sinB則cotAcotC11cosAcosCsinCcosAcosCsinAtanAtanCsinAsinCsinAsinCsin(AC)sinB147.sin

11、2Bsin2BsinB7（）由BABC3，得ca?cosB3，由B3，可得ac2，即b22224由余弦定理b2=a2+c22ac+cosB，222c)2a2c22ac549,ac3得a+c=b+2accosB=5.(a易錯題分析例題1在不等邊ABC中，a為最大邊，假如，求A的取值范圍。錯解：。則，因為cosA在（0，180）上為減函數(shù)且又A為ABC的內(nèi)角，0A90。辨析：錯因是審題不細(xì)，已知條件弱用。題設(shè)是為最大邊，而錯解中只把a看做是三角形的一般一條邊，造成解題錯誤。正解：由上邊的解法，可得A90。又a為最大邊，A60。所以得A的取值范圍是（60，90）。例題2在ABC中，若，試判斷ABC的

12、形狀。錯解：由正弦定理，得即。2A2B，即辨析：由AB。故ABC是等腰三角形。，得2A2B。這是三角變換中常有的錯誤，原由是不熟習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)，三角變換生疏。正解：同上得或，2A?；颉９蔄BC為等腰三角形或直角三角形。例題3在ABC中，A60，b1，錯解：A60，b1，又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定理，得，求。，的值。辨析：這樣復(fù)雜的算式，計算困難。其原由是公式不熟、方法不妥造成的。正解：由已知可得。由正弦定理，得。例題4在ABC中，C30，求ab的最大值。錯解：C30，AB150，B150A。由正弦定理，得，又。故的最大值為。辨析：錯因是未弄清A與150A之間的關(guān)系。這里A與150

13、A是互相限制的，不是互相獨立的兩個量，sinA與sin(150A)不可以同時取最大值1，所以所得的結(jié)果也是錯誤的。正解：C30，AB150，B150A。由正弦定理，得所以2(62)sin75cos(A75)4(6622)cos(A75)4(843)cos(A4375)8ab的最大值為。例題5在ABC中，已知a2，b，C15，求A。錯解：由余弦定理，得482222628434。又由正弦定理，得而00A1800，A300或A1500。辨析：由題意，。所以A150是不可以能的。錯因是沒有仔細(xì)審題，未利用隱含條件。在解題時，要擅長應(yīng)用題中的條件，特別是隱含條件，全面仔細(xì)地分析問題，防范錯誤發(fā)生。正解：

14、同上，BA，且00A1800，A300。例題6在ABC中，cosAbcosB，判斷ABC的形狀。錯解：在ABC中，由正弦定理得AB且AB90故ABC為等腰直角三角形。辨析：對三角公式不熟，不理解邏輯連結(jié)詞“或”、“且”的意義，致使結(jié)論錯誤。正解：在ABC中，由正弦定理，得。2A2B或2A2B180，AB或AB90。故ABC為等腰三角形或直角三角形。例題7若a，b，c是三角形的三邊長，證明長為的三條線段能組成銳角三角形。錯解：不如設(shè)，只需考慮最大邊的對角為銳角即可。因為a，b，c是三角形的三邊長，依據(jù)三角形三邊關(guān)系，有，即。長為的三條線段能組成銳角三角形。辨析：三條線段組成銳角三角形，要知足兩個

15、條件：三條邊知足三角形邊長關(guān)系；最長線段的對角是銳角。顯然錯解只考證了第二個條件，而缺乏第一個條件。正解：由錯解可得又(ab)2cabc2ababcabc0abc即長為的三條線段能組成銳角三角形。高考試題展現(xiàn)21、（湖北卷）若ABC的內(nèi)角A知足sin2A，則sinAcosA3A.15B15C5D53333解：由sin2A2sinAcosA0，可知A這銳角，所以sinAcosA0，又(sinAcosA)21sin2A5，應(yīng)選A32、（安徽卷）假如A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則AA1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是鈍角三

16、角形CA1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形DA1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形解：A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，若A2B2C2是銳角三角形，由sinA2cosA1sin(A1)A22A12sinB2cosB1sin(B1)，得B22B1，那么，A2B2C22，所以A2B2C2是鈍角三角形。應(yīng)選2sinC2cosC1sin(C1)C22C1D。23、（遼寧卷）ABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c設(shè)向量p(ac,b),q(ba,ca),若p/q,則角C的大小為(A)(B)(C)(D)26233【分析】p/q(ac)(

17、ca)b(ba)b2a2c2ab，利用余弦定理可得2cosC1，即coCs1C，應(yīng)選擇答案B。23【談?wù)摗勘绢}觀察了兩向量平行的坐標(biāo)形式的重要條件及余弦定理和三角函數(shù)，同時重視觀察了同學(xué)們的運算能力。4、（遼寧卷）已知等腰ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是（）331515287A152tanA21515解：依題意，聯(lián)合圖形可得，故tanA215，選Dtan15A72121(15)2tan2155、（06全國卷I）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且c2a，則cosBA1B3C2D24443解：ABC中，a、b、c成等比數(shù)列，且c2a，則b=2a，cos

18、Ba2c2b2a24a22a232ac=4a2，選B.46、06山東卷）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,A=,a=3,b=1，則c=3(A)1（B）2（C）31（D）3解：由正弦定理得sinB1，又ab，所以AB，故B30，所以C90，故c2，選B27、（四川卷）設(shè)a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，則a2bbc是A2B的（A）充要條件（B）充分而不用要條件（C）必需而充分條件（D）既不充分又不用要條件分析：設(shè)a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a2bbc，則sin2AsinB(sinBsinC)，則1cos2a1cos2BsinBsinC，1

19、22(cos2Bcos2A)sinBsinC，sin(BA)sin(AB)sinBsinC，2又sin(AB)sinC，sin(AB)sinB，ABB，A2B，若ABC中，A2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，獲得a2bbc，所以a2bbc是A2B的充要條件，選A.8、（06北京卷）在ABCsinA:sinB:sinC5:7:8，則B的大小是_.中，若解：sinA:sinB:sinC5:7:8abc578設(shè)a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得B的大小為.39、（湖北卷）在ABC中，已知a333.，b4，A30，則sinB24解：由正弦定理易得結(jié)論sinB3。210、（江蘇卷）在ABC中，

20、已知BC12，A60，B45，則AC【思路點撥】本題主要觀察解三角形的基本知識【正確解答】由正弦定理得，ACBCsin45解得AC46sin60【解后反省】解三角形：已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理11、（全國）已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB1，BC4，則邊BC上的中線AD的長為分析:由ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列可得A+C=2B而A+B+C=可得B3AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得AD3。本題主要觀察等差中項和余弦定理,波及三角形的內(nèi)角和定理,難度中等。12、（上海春）在ABC中，已知BC8,AC5，三角形面積為12，則

21、cos2C.解：由三角形面積公式，得1BCCAsinC20sinC12，即sinC325于是cos2C12sin2C7從而應(yīng)填7252513、（湖南卷）如圖3,D是直角ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記CAD=,ABC=.A（1）證明sincos20;（2）若AC=3DC,求的值.BDC圖3解：(1)如圖3，2(2)2,sinsin(2)cos2，22即sincos20（2）在ABC中，由正弦定理得DCAC,DC3DC.sin3sinsinsin()sinsin由(1)得sincos2，sin3cos23(12sin2),即23sin2sin30.解得sin3或sin3230,sin3,.2

22、2314、（江西卷）在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinA22，3（1）求tan2BCsin2A的值；22（2）若a2，ABC2，求b的值S解：（1）因為銳角ABC中，ABC，sinA22，所以cosA1，則33CAsin2BC2A2B22tan2sin22Csin2cosB2C1cosA17（）1cosBcosA）1（BC）11cosA331cos2（2）因為SABC2，又SABC1bcsinA1bc22，則bc3。223將a2，cosA1，c3代入余弦定理：a2b2c22bccosA中得b46b2903b解得b315、（江西卷）如圖，已知ABC是邊長為1的正三角

23、形，AM、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經(jīng)過ABC的中心G，設(shè)MGA（2）33N（1）試將AGM、AGN的面積（分別記為S1與S2）表示M為的函數(shù)11BDC（2）求y的最大值與最小值S12S22解：（1）因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，所以AG233，MAG6，323由正弦定理GMGA得GM3sin（）（）6sin6sin66則S11GMGAsinsin，同理可求得S2sin212sin（）12sin（）66（2）y1114422222sin2sin（）sin（）72（3cot），S1S266因為2，所以當(dāng)或2時，y獲得最大值y2403333max當(dāng)時，y獲得最小值ymin216

24、22cosBC16、（06全國卷I）ABC的三個內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為什么值時，cosA獲得最大值，并求2出這個最大值。B+CAB+CA.解:由A+B+C=,得2=22,所以有cos2=sin2.B+CA2AAA123cosA+2cos2=cosA+2sin2=12sin2+2sin2=2(sin22)+2當(dāng)sinA1B+C獲得最大值為3,即A=32=2時,cosA+2cos2217、（全國）在ABC中，B45,AC2510,cosC,求5（1）BC?(2)若點D是AB的中點，求中線CD的長度。解：（1）由cosC25得sinC555sinAsin(18045C)2(cosCsinC)31

25、0210由正弦定理知BCAC1031032sinA210sinB2（2）ABACsinC1052，BD1AB1sinB2522由余弦定理知CDBD2BC22BDBCcosB1182132213218、（四川卷）已知A,B,C是三角形ABC三內(nèi)角，向量m1,3,ncosA,sinA，且mn1（）求角A；（）若1sin2B3，求tanBcos2Bsin2B解：本小題主要觀察三角函數(shù)見解、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，觀察應(yīng)用、分析和計算能力。（）mn11,3cosA,sinA1即3sinAcosA12sinA3cosA11,sinA122620A,A5AA666366

26、（）由題知12sinBcosB3，整理得sin2BsinBcosB2cos2B0cos2Bsin2BcosB0tan2BtanB20tanB2或tanB1而tanB1使cos2Bsin2B0，舍去tanB2tanCtanABtanABtanAtanB238531tanAtanB1231119、（天津卷）如圖，在ABC中，AC2，BC1，cosC3（1）求AB的值；4（2）求sin2AC的值.本小題觀察同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，觀察基本運算能力及分析解決問題的能力.滿分12分.（）解：由余弦定理，AB2AC2BC22AC.BC.cosC4122132.

27、4那么，AB2.（）解：由cosC3，且0C,得sinC1cos2C7.44由正弦定理，ABBC,解得sinABCsinC14。sinCsinAAB8所以，cosA52sin2AcosA57，8。由倍角公式sin2A16且cos2A12sin2A9，16故sin2ACsin2AcosC37cos2AsinC.820、（07重慶理5）在ABC中，AB3,A450,C750,則BC=（）A.33B.2C.2D.33【答案】：A【分析】：AB3,A450,C750,由正弦定理得：ac,BCAB3,sinAsinCsin45sin75624BC33.21、（07北京文12理11）在ABC中，若tanA

28、1150，BC1，則AB，C3分析：在ABC中，若1C150，A為銳角，sinA11，則依據(jù)正弦定理tanA，BC310ABBCsinC=10。sinA222、（07湖南理12）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a1，b=7，c3，則B【答案】56【分析】由正弦定理得13735cosB132,，所以B.2623、（07湖南文12）在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a1,3,Cc3，則A=.acasinC31【分析】由正弦定理得sinA2，所以sinAsinCc32A=624、（07重慶文13）在ABC中，AB=1,BC=2,B=60，則AC?！敬鸢浮浚?【分

29、析】：由余弦定理得：AC21222212cos603.AC3.24、（07北京文理13）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是我國以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么cos2的值等于分析：圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，每一個直角三角形的面積是6，設(shè)直角三角形的兩條直a2b225角邊長分別為a,b，則1ab，62兩條直角邊的長分別為3，4，設(shè)直角三角形中較小的銳角為，cos=4，cos2=2cos21=7。52525、（07福建理17）

30、在ABC中，tanA13，tanB45（）求角C的大?。唬ǎ┤鬉BC最大邊的邊長為17，求最小邊的邊長本小題主要觀察兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力，滿分12分13解：（）C(AB)，tanCtan(AB)45111345又0C，C34（）C3AB邊最大，即AB17，4又tanAtanB，A，B0，角A最小，BC邊為最小邊tanAsinA1，由cosA4且A0，sin2A2，2cosA1得sinA17由ABBC得：BCABsinA217sinCsinAsinC所以，最小邊BC226、（07廣東理16）已知ABC極點的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(0，0

31、)，C(c，0)1）若c5，求sinA的值；2）若A是鈍角，求c的取值范圍分析：（1）AB(3,4)，AC(c3,4)，若c=5，則AC(2,4)，cosAcosAC,AB6161，sinA25；525552）若A為鈍角，則3c9160解得c25，c的取值范圍是(25,)；c03327、（07海南寧夏理17）如圖，丈量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB解：在BCD中，CBD由正弦定理得BCCDsinBDCsinCBDCDsinBDCssin所以BCCBDsin(sin)在ABC中，ABstansi

32、nBCtanACBsin()28、（07湖北理16）已知ABC的面積為3，且知足0ABAC6，設(shè)AB和AC的夾角為（I）求的取值范圍；（II）求函數(shù)f()2sin23cos2的最大值與最小值4本小題主要觀察平面向量數(shù)目積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，觀察推理和運算能力解：（）設(shè)ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則由1bcsin3，0bccos6，可得0cot1，24，2（）f()2sin23cos2123cos24cos2(1sin2)3cos2sin23cos212sin213，22，22sin13，3，2426335)max3)min2即當(dāng)時，f(；當(dāng)時，

33、f(12429、（07全國卷1理17）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2bsinA（）求B的大小；（）求cosAsinC的取值范圍解：（）由a2bsinA，依據(jù)正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB1，2由ABC為銳角三角形得B6（）cosAsinCcosAsinAcosAsin6AcosA1cosA3sinA3sinA223由ABC為銳角三角形知，A2B，B622232A3，所以1sinA333622由此有33sinA33，232所以，cosAsinC的取值范圍為332，230、（07全國卷2理17）在ABC中，已知內(nèi)角A，邊BC23設(shè)內(nèi)角Bx，周長為

34、y1）求函數(shù)yf(x)的分析式和定義域；2）求y的最大值解：（1）ABC的內(nèi)角和ABC，由A，B0，C0得0B2應(yīng)用正弦定理，知ACBCsinB23sinx4sinx，sinAsinABBCsinC4sin2xsinA因為yABBCAC，所以y4sinx4sin2x230 x2，3（2）因為y4sinxcosx1sinx23243sinx23x5，所以，當(dāng)x，即x時，y獲得最大值6331、（07山東理20）如圖，甲船以每小時302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘抵達(dá)A2處時，

35、乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時兩船相距102海里，問乙船每小時航行多少海里？解法一：如圖，連結(jié)A1B1，由已知A2B2102，20北A1A2302102，120A260A1A2A2B1，B2105A1B1又A1A2B218012060，甲乙A1A2B2是等邊三角形，A1B2A1A2102，由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理，B1B22A1B12A1B222A1B2A1B2cos45202(102)222010222002B1B2102所以，乙船的速度的大小為10260302（海里/小時）20答：乙船每小時航行302海里解法二：如圖，連

36、結(jié)A2B1，A1B220，A1A220102，B1A1A2105由已知302，60cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin602(13)北，1204A2sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60B2105A1B12(13)甲4乙在A2A1B1中，由余弦定理，A2B12A2B22A1A222A1B1A1A2cos105(102)22022102202(13)100(423)4A1B110(13)由正弦定理sinA1A2B1A1B1sinB1A1A2203)2(13)2，A2B210(142A1A2B145，即B1A2B1604515，cos15sin1052(13)4在B1A1B2中，由已知AB102，由余弦定理，12B1B22A1B12A2B222A2B1A2B2