《大學(xué)物理》第6章 萬有引力

1、萬有引力和牛頓體系第六章 一個(gè)空間站繞地球運(yùn)動(dòng)，設(shè)它距地球表面100km。 是有外力作用在宇航員身上，使她能夠停留在空間站里，那么對(duì)于這個(gè)外力以下哪個(gè)說法正確呢？開篇問題- 請(qǐng)猜一猜等于她在地球上的稱重比她在地球上稱重小一點(diǎn)比她在地球上稱重的一半還小0（她沒有質(zhì)量）大于她在地球上的稱重6-1 牛頓萬有引力定律 重力傳說蘋果落到牛頓頭上讓他意識(shí)到重力的存在。留意身邊的各種事物,牛頓發(fā)現(xiàn)重力/引力無所不在，由此提出萬有引力。艾薩克牛頓（1643（格里歷）年1月4日1727年3月21日）爵士，英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，英國偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家，百科全書式的“全才”，著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)

2、原理、光學(xué)、二項(xiàng)式定理和微積分。重力的施力物體是什么？是地球！牛頓對(duì)引力所做的思考萬有引力的特殊之處不需要物體間的相互接觸，是一種“超距作用”引力無所不在，甚至束縛了月球。牛頓大膽假設(shè)：由于地球的引力使得月球在現(xiàn)有軌道上運(yùn)動(dòng)。地球表面物體的重力加速度g=9.80m/s2月球的向心加速度月-地距離是地球半徑的60倍推導(dǎo)萬有引力定律 通過對(duì)地球-月球間相互作用的研究,牛頓得到幾個(gè)重要結(jié)論1 萬有引力與物體間距離的平方成反比2 萬有引力與物體的質(zhì)量有關(guān)牛頓萬有引力定律 萬有引力的大小可由以下公式計(jì)算引力常數(shù)對(duì)r的說明：兩質(zhì)點(diǎn)間引力作用質(zhì)點(diǎn)間的距離兩連續(xù)體間引力所用將連續(xù)體看作是很多質(zhì)點(diǎn)的一個(gè)集合，然

3、后對(duì)于所有質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行積分當(dāng)連續(xù)體的尺寸物體間的距離時(shí)，可以把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理1798年,卡文迪許通過實(shí)驗(yàn)對(duì)萬有引力公式進(jìn)行了驗(yàn)證，并成功測定了G值實(shí)驗(yàn)裝置 光源、纖維絲、鏡子、標(biāo)尺、小球?qū)嶒?yàn)過程 A球接近的過程中記錄標(biāo)尺上反射光的位置主要結(jié)果 小球質(zhì)量、距離與引力的關(guān)系實(shí)驗(yàn)結(jié)論萬有引力公式的應(yīng)用例題6-1 假設(shè)一個(gè)體重50kg的人和一個(gè)體重70kg的人坐在一條長凳上，兩個(gè)人的中心間距設(shè)為0.5m，估算他們之間的萬有引力大小。與人自身重力相比兩人之間的引力是一個(gè)非常小的力，其影響完全可以忽略。代入數(shù)據(jù)例題6-3 計(jì)算地球和太陽對(duì)月球施加的引力。月球質(zhì)量 ，地球質(zhì)量 ，太陽質(zhì)量 ，它們之間的相對(duì)方位

4、如圖所示。地月距離日地距離數(shù)據(jù)代入利用勾股定理球殼（球面）質(zhì)量均勻分布的薄球殼對(duì)位于球殼外一質(zhì)點(diǎn)的作用力，相當(dāng)于這個(gè)球殼的質(zhì)量全部集中于球心對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力。如果該質(zhì)點(diǎn)位于球殼內(nèi)，則作用力為0。如果將一質(zhì)點(diǎn)放在地心到地球表面的一半處，地球?qū)|(zhì)點(diǎn)的引力該怎么處理呢？只有半徑0.5R之內(nèi)的球體質(zhì)量對(duì)該質(zhì)點(diǎn)有引力的貢獻(xiàn)。6-2 牛頓萬有引力定律的矢量形式 牛頓萬有引力定律的矢量形式稱作單位矢量表示質(zhì)點(diǎn)2對(duì)質(zhì)點(diǎn)1施加的引力m1，m2表示兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量r21為質(zhì)點(diǎn)間距離負(fù)號(hào)表示力的方向與位矢 相反，引力的性質(zhì)牛頓萬有引力定律的矢量形式根據(jù)牛頓第三定律多個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用滿足力的疊加原理力的合成平行四邊形法則/

5、三角形法則腳標(biāo)的規(guī)定受力物體在前，施力物體在后6-3 近地球表面的引力；地球物理應(yīng)用舉例 估算地球的質(zhì)量根據(jù)：地球表面物體受到的重力=地球?qū)ξ矬w的引力小常識(shí)g值在地球表面不同區(qū)域間有所不同，是地球形狀的不規(guī)則和不同密度的巖石所造成的。稱作“重力異?！?。重力異常的量級(jí)是在g的百萬或者千萬分之一（現(xiàn)在的重力計(jì)可測出g的十億分之一的微小改變）。地球物理學(xué)家利用這個(gè)重力計(jì)測定地球巖層的結(jié)構(gòu)、礦物和石油儲(chǔ)量。例如，礦物沉積會(huì)顯著影響密度。因?yàn)橥瑯芋w積內(nèi)質(zhì)量的增大會(huì)使g值有微小的增加。在有礦物沉積的區(qū)域頂端測得的g就比在其側(cè)面區(qū)域測的值要大。石油勘測就是通過尋找“鹽穹”實(shí)現(xiàn)，鹽穹區(qū)域密度偏低，g值有微小降

6、低。例題6-4 估算珠穆朗瑪峰峰頂（海拔8850m）處g的有效值。解：根據(jù)萬有引力定律不同位置處的重力加速度例題6-5 假設(shè)地球是一個(gè)完美球體，計(jì)算地球的自轉(zhuǎn)對(duì)赤道和兩極處g值的影響。解：兩極處物體無加速度而由于地球自轉(zhuǎn)造成靜止于赤道上的物體具有非零的速率6-4 衛(wèi)星和“失重” 美國空軍天基紅外系統(tǒng)預(yù)警衛(wèi)星中國人造衛(wèi)星東方紅一號(hào)衛(wèi)星美國“大鳥”高分辨率偵察衛(wèi)星各種衛(wèi)星成為軍事、民用的重要工具6-4 衛(wèi)星和“失重” 是什么使衛(wèi)星高懸在空中？足夠大的飛行速度？衛(wèi)星作（近似）圓周運(yùn)動(dòng)，必然有向心加速度存在向心加速度的來源就是地球?qū)πl(wèi)星的引力這里h為衛(wèi)星高度是有一種特殊的力？地球同步衛(wèi)星注意：它們的位

7、置有什么特點(diǎn)？為什么叫做同步衛(wèi)星？例題6-6 地球同步衛(wèi)星是指停留在地球某點(diǎn)的正上方與地球同步運(yùn)行的衛(wèi)星，而這種情況事實(shí)上只能發(fā)生在赤道上空。這類衛(wèi)星常用于電視廣播的發(fā)射、天氣預(yù)報(bào)、通訊等領(lǐng)域。試確定（a）這類衛(wèi)星的環(huán)繞高度（b）衛(wèi)星運(yùn)行速率（c）和飛行高度200km的衛(wèi)星速率進(jìn)行比較。解：(a)假設(shè)衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)減去地球半徑6380km，所以得到地球同步衛(wèi)星的軌道高度約為36000km。(b)圓周運(yùn)動(dòng)(c)r=rE+h=6380km+200km=6580km思考題：捕捉衛(wèi)星假設(shè)你是太空艙內(nèi)的一名宇航員，你在追逐一個(gè)衛(wèi)星進(jìn)行必要的維修。你發(fā)現(xiàn)自己和衛(wèi)星同樣在同一個(gè)圓形軌道中運(yùn)動(dòng)，只是落后了30

8、km。你要如何做才能捕捉到那顆衛(wèi)星呢？從例題6-6中可知速度v正比于 。所以你需要減小軌道半徑來增大速率，(注意你不能增加速率而不改變現(xiàn)有軌道)，在經(jīng)過衛(wèi)星下方時(shí)再減小速率升高至原來高度即可實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星的捕捉。失重重力為零失重的表現(xiàn)是什么？為什么會(huì)這樣？分析原因猜一猜失重狀態(tài)下的水滴和火焰是什么樣！非失重狀態(tài) 失重狀態(tài)水滴火焰和你想象的一樣嗎？實(shí)驗(yàn)體會(huì)失重和超重對(duì)失重、超重的理論分析電梯天花板固定一彈簧秤，下掛一重物。電梯里的人觀察彈簧秤示數(shù)（重物視重）電梯靜止或勻速上升/下降中，彈簧秤示數(shù)=重物重力電梯加速上升/下降中，彈簧秤示數(shù)重物重力超重電梯加速上升，加速度為a運(yùn)用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律選擇豎直

9、向上為正方向視重大于包裹的實(shí)際重力失重電梯加速下降，加速度為a運(yùn)用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律視重小于包裹的實(shí)際重力，甚至是完全失重在地球上感受失重6-5 開普勒定律和牛頓體系 第谷布拉赫（1546-1601），丹麥天文學(xué)家和占星學(xué)家。生于克努茲斯圖普（今屬瑞典）。 1572年11月11日第谷發(fā)現(xiàn)仙后座中的一顆超新星（銀河系的），第二年發(fā)表論文新星。 經(jīng)過20年的天文觀測，第谷發(fā)現(xiàn)了許多新的天文現(xiàn)象，如黃赤交角的變化、月球運(yùn)行的二均差，并重新測量了歲差數(shù)值( 每年51” )。 第谷布拉赫是開普勒的導(dǎo)師。開普勒 開普勒（1571-1630）德國天文學(xué)家 在第谷（開普勒的導(dǎo)師）的工作基礎(chǔ)上，開普勒經(jīng)過大量的計(jì)

10、算，編制成魯?shù)婪蛐潜?，表中列出?005顆恒星的位置。 *1600年，開普勒出版了夢游一書，這是一部純幻想作品，說的是人類與月亮人的交往。書中談到了許多不可思議的東西，像噴氣推進(jìn)、零重力狀態(tài)、軌道慣性、宇宙服等等，人們至今不明白，400年前的開普勒，他是根據(jù)什么想象出這些高科技成果的。開普勒定律開普勒第一定律 （軌道定律） 行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)橢圓，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。行星軌道焦點(diǎn)太陽焦點(diǎn)開普勒第二定律 （面積定律） 在行星和太陽之間假想一條連線，在相等的時(shí)間間隔內(nèi)這條連線所掃過的面積相等近日點(diǎn)速率最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速率最小。開普勒第三定律（周期定律） 任意兩個(gè)行星的運(yùn)行周期的平方之比

11、等于它們的橢圓軌道半長軸的立方之比T1和T2來表示兩個(gè)行星的運(yùn)動(dòng)周期，s1和s2表示它們軌道的半長軸，則有例題6-8 開普勒第一個(gè)注意到了火星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期大約為687天（地球日），也就是（687d/365d）=1.88年（地球年）?，F(xiàn)在請(qǐng)計(jì)算火星到太陽的距離，以地球?yàn)閰⒄障?。解：根?jù)開普勒第三定律例題6-9 根據(jù)日-地距離確定太陽的質(zhì)量。解：地球的公轉(zhuǎn)周期海王星和冥王星的發(fā)現(xiàn)這些偏差可能是由于另一個(gè)遠(yuǎn)離太陽的行星造成?；谔焱跣堑倪\(yùn)行軌道，人們對(duì)這一未知的行星位置進(jìn)行了預(yù)測，并最終找到了它！人們將其命名為海王星。當(dāng)時(shí)人們發(fā)現(xiàn)，對(duì)天王星軌道的推導(dǎo)中如果僅僅考慮其他已知行星的影響與觀測結(jié)果不符。類似

12、的故事發(fā)生在冥王星的發(fā)現(xiàn)過程小插曲2006年8月24日于布拉格舉行的第26屆國際天文聯(lián)會(huì)中通過第五號(hào)決議，將冥王星劃為矮行星（dwarf planet）2009年 3月9日 在美美國伊利諾伊州決定恢復(fù)冥王星的行星資格。例題 6-10 拉格朗日點(diǎn) 數(shù)學(xué)家約瑟夫路易斯拉格朗日在地球公轉(zhuǎn)軌道附近發(fā)現(xiàn)了5個(gè)特殊點(diǎn)，在這些點(diǎn)上小衛(wèi)星（質(zhì)量為m）繞太陽公轉(zhuǎn)周期可以與地球相同（=1年）。這些“拉格朗日點(diǎn)”其中之一標(biāo)為L1，正好落在地球（質(zhì)心）和太陽（質(zhì)心）的連線上。地球和衛(wèi)星之間的距離為d，請(qǐng)計(jì)算距離d。解：對(duì)地球列出牛頓第二定律對(duì)衛(wèi)星列出牛頓第二定律L1利用二項(xiàng)式展開即拉格朗日點(diǎn)有什么用處？將衛(wèi)星放在L1

13、上有兩個(gè)優(yōu)勢：衛(wèi)星的視野永遠(yuǎn)不會(huì)被地球遮擋。它到地球的距離近，所以數(shù)據(jù)通信更為便利。 這個(gè)日-地系統(tǒng)的L1點(diǎn)目前是太陽和日球?qū)犹綔y器（SOHO衛(wèi)星）的所在位置6-6 引力場 根據(jù)場的概念，引力場存在于有質(zhì)量的任意物體周圍，而且這種場彌散于整個(gè)空間。場的概念最早是由米歇爾法拉第（1791-1867）于十九世紀(jì)提出，為了幫助人們理解電和磁力，而這些也是具有超距作用的力。當(dāng)?shù)诙€(gè)物體置于第一個(gè)物體附近某一個(gè)位置就會(huì)感受到有引力場造成的力的作用。定義引力場定義引力場的大小為空間中某點(diǎn)單位質(zhì)量所受的引力引入“試驗(yàn)”質(zhì)點(diǎn)，測量其所受引力引力場中某點(diǎn)的 就定義為用矢量表示為其大小6-7 自然界中存在的力的分類 自然界存在的四種不同的基本力強(qiáng)相互作用核力弱相互作用核力電磁力地心引力小結(jié)牛頓萬有引力定律說明宇宙中的所有物體對(duì)其他物體都有引力作用引力的方向是沿兩物體的連線，而且總是相互吸引引力大小可通過 計(jì)算牛頓的三大運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律為開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律提供了理論基礎(chǔ)自然界的四大基本力是（1）地心引力；（2）電磁力；（3）強(qiáng)相互作用核力；（4）弱相互作用核力重點(diǎn)掌握 開普勒三定律牛頓萬有引力定律適用于一切物體大小及方向的確定開普勒第一定律：行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)橢圓，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。開普勒第二定律：