剛體自由度和平面平行運(yùn)動(dòng)

1、關(guān)于剛體的自由度和平面平行運(yùn)動(dòng)第1頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四 其次剛體的方位由其軸的取向決定，確定空間直線的方位坐標(biāo)有兩個(gè)，借用緯度角與經(jīng)度角來(lái)描述，在直角坐標(biāo)系中，采用用 、 ，如圖所示：oxyzp 最后，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，需要一個(gè)坐標(biāo)來(lái)描述，選定參考方向后，轉(zhuǎn)動(dòng)位置用表示。 總的說來(lái)，剛體共有6個(gè)自由度，其中3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。 物體有幾個(gè)自由度，它的運(yùn)動(dòng)定律可歸結(jié)為幾個(gè)獨(dú)立的方程。自由度第2頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四第3頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四2. 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)定義：當(dāng)剛體

2、運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中各點(diǎn)始終和某一平面保持一定的距離，或者說剛體中各點(diǎn)都平行于某一平面運(yùn)動(dòng)，這就叫剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)。 根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)的定義，剛體平面運(yùn)動(dòng)的自由度有三個(gè)，兩個(gè)坐標(biāo)決定質(zhì)心位置，一個(gè)坐標(biāo)決定轉(zhuǎn)動(dòng)角度。 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)可以看做質(zhì)心的平動(dòng)與相對(duì)于通過質(zhì)心并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。第4頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四 設(shè)質(zhì)心在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則平動(dòng)方程 可以證明，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律在此仍適用剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第5頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四 車輪的純滾動(dòng) 車輪中心前進(jìn)的距離與質(zhì)心轉(zhuǎn)過的角度的關(guān)系 則剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第6頁(yè)，共19頁(yè)，2

3、022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四 車輪上任意一點(diǎn)的速度 G點(diǎn)的速度 B點(diǎn)的速度 A點(diǎn)的速度剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第7頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四 剛體的動(dòng)能 質(zhì)心是基點(diǎn) 且 所以 剛體的動(dòng)能等于質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng) 動(dòng)能之和。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第8頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四例題4-9 討論一勻質(zhì)實(shí)心的圓柱體在斜面上的運(yùn)動(dòng)。NaCxG=mgrxyOfr解 圓柱體所受的力共有三個(gè)：重力G ，斜面的支承力N 和摩擦力f r，如圖所示。設(shè)圓柱體的質(zhì)量為m，半徑為r，那么，它對(duì)其幾何的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第9頁(yè)，共19頁(yè)

4、，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四這樣可得以上三式中，aCx和aCy是圓柱體質(zhì)心在x軸和y軸方向的加速度，是圓柱體對(duì)其通過質(zhì)心的幾何軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。因斜面粗糙，圓柱體下降時(shí)沒有滑動(dòng)，只能在斜面上作純粹滾動(dòng)，那么此時(shí)解上列五個(gè)式子，得我們?nèi)『托泵嫫叫卸蛳碌姆较驗(yàn)閤軸的方向，和斜面垂直而向上為y軸的方向剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第10頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四代入上式得因剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第11頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四 如果這圓柱體從靜止開始沿斜面滾下一段距離x，與之相應(yīng)，下降的豎直距離是h=xsin，這時(shí)質(zhì)心的速度由求得

5、如果斜面是光滑的，對(duì)圓柱體沒有摩擦力，即fr=0，則圓柱體沿斜面滑下的加速度是剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第12頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四而圓柱體對(duì)質(zhì)心的角加速度與角速度為 如果圓柱體從靜止沿斜面下滑的距離也是x，則質(zhì)心所獲得的速度由求得 在上述純粹滾動(dòng)與純粹滑動(dòng)兩種情況中，我們看到，兩者加速度之比是2/3，兩者速度之比是剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第13頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四 本題也可用機(jī)械能守恒定律討論。圓柱體在斜面上作純粹滾動(dòng)下落時(shí)，所受到的斜面的摩擦力和正壓力都不作功，滿足機(jī)械能守恒的條件。圓柱體從靜止?jié)L下，它沒有初動(dòng)能，只有重力勢(shì)能mg

6、h，當(dāng)它滾動(dòng)下降這段高度時(shí)，全部動(dòng)能是 對(duì)純粹滾動(dòng)而言，vc=r，以此代入得 由機(jī)械能守恒定律得剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第14頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四求得代入上式得因和以前的結(jié)果完全一致。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第15頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四例4-10 一質(zhì)量為m、半徑為R 的均質(zhì)圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l，如圖所示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。解：設(shè)靜摩擦力f的方向如圖所示，則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律純滾動(dòng)條件為圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為FaC聯(lián)立以上四式，解得剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第16頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四由此可見l0, 靜摩擦力向后 lr/2, f0, 靜摩擦力向前l(fā)=r/2, f=0剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第17頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)30分，星期四由此可見l0, 靜摩擦力向后 lr/