全稱量詞與存在量詞學(xué)案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1、第 INET 【知識梳理】一、全稱量詞與全稱量詞命題 【問題思考】給出下列語句： (1)3x2是無理數(shù)； (2)x有算術(shù)平方根；(3)對一切無理數(shù)x，3x2還是無理數(shù)；(4)所有實數(shù)x都有算術(shù)平方根 1以上語句(1)(2)是命題嗎? 提示：不是2比較語句(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系? 提示:語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“存在”對變量x的取值進(jìn)行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語“至少有一個”對變量x的取值進(jìn)行限定 3以上語句(3)(4)是命題嗎?若是命題，你能判斷它們的真假嗎? 提示：(3)(4)是命題，都是真命題 4(1)全稱量詞：短語“ ”，“ ”在邏輯中

2、通常叫做 ； 常見的全稱量詞還有：“每一個”“任給”“一切” “全部”等等(2)全稱量詞用符號 表示；(3) 全稱量詞命題：含有 量詞的命題叫全稱量詞命題；全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為： ；二、存在量詞與存在量詞命題 【問題思考】 給出下列語句: (1)x5； (2)x是有理數(shù)；(3)存在實數(shù)x，使x5； (4)至少有一個實數(shù)x，使x是有理數(shù)； 1以上語句(1)(2)是命題嗎? 提示：不是 2比較語句(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系? 提示:語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“存在”對變量x的取值進(jìn)行限定;語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語“至

3、少有一個”對變量x的取值進(jìn)行限定 3以上語句(3)(4)是命題嗎?若是命題，你能判斷它們的真假嗎? 提示:(3)(4)是命題，都是真命題 4(1)存在量詞：短語“ ”，“ ”在邏輯中通常叫做 ； 常見的全稱量詞還有：“有些”“有一個”“對某些” “有的” “某一個”等等(2)存在量詞用符號 表示；(3) 存在量詞命題：含有 量詞的命題叫存在量詞命題；存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號簡記為： ；三、全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法(1)對于全稱量詞命題“xM，p(x)”，要判斷它為真，需要對集合M中的每個元素x，證明p(x)成立；要判斷它為假，只需在M中找到一個x，

4、使p(x)不成立 (2)對于存在量詞命題“xM，p(x)”，要判斷它為真，只需在M中找到x，使p(x)成立，要判斷它為假，需要判斷“xM，p(x)不成立” 【思考辨析】 判斷下列說法是否正確，正確的在后面的括號內(nèi)打“”，錯誤的打“” (1)命題“任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)”是全稱量詞命題()(2)命題“三角形的內(nèi)角和是180”是全稱量詞命題()(3)命題“梯形有兩邊平行”不是全稱量詞命題()(4)命題“有些菱形是正方形”是全稱量詞命題()(5)命題“存在一個菱形，它的四條邊不相等”是存在量詞命題()(6)命題“有的實數(shù)絕對值是正數(shù)”是存在量詞命題()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)【考

5、點分類精講】考點1 全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析【考題1】(1)下列語句不是存在量詞命題的是()A有的無理數(shù)的平方是有理數(shù)B有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù)C對于任意xZ，2x1是奇數(shù)D存在xR，2x1是奇數(shù)答案C解析因為“有的”“存在”為存在量詞，“任意”為全稱量詞，所以選項A，B，D均為存在量詞命題，選項C為全稱量詞命題(2)給出下列幾個命題：至少有一個x，使x22x10成立；對任意的x，都有x22x10成立；對任意的x，都有x22x10不成立；存在x，使x22x10成立其中是全稱量詞命題的個數(shù)為()A1 B2 C3 D0答案B解析因為“至少有一個”、“存在”是存在量詞，“任意的”為全稱量詞

6、，所以為存在量詞命題，為全稱量詞命題，所以全稱量詞命題的個數(shù)為2【鞏固練習(xí)1】1下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)為()平行四邊形的對角線互相平分；梯形有兩邊平行；存在一個菱形，它的四條邊不相等A0 B1 C2 D3答案C解析是全稱量詞命題，是存在量詞命題2(多選)下列語句不是存在量詞命題的是()A任何一個實數(shù)乘以零都等于零B自然數(shù)都是正整數(shù)C存在x0，使|x|xD對任意的xR，x20答案ABD3(多選)下列命題中為存在量詞命題的是()A有些實數(shù)沒有倒數(shù)B矩形都有外接圓C存在一個實數(shù)與它的相反數(shù)的和為0D對于一切xZ，都有|x|N答案AC4下列語句不是存在量詞命題的是()A整數(shù)n是2和5的倍數(shù)B存在

7、整數(shù)n，使n能被11整除C對所有的正實數(shù)t，有eq r(t)tD平行四邊形的對角線相等答案：ACD5下列命題中，既是真命題又是存在量詞命題的是()AxR，x2B存在實數(shù)x，使x21=0C對任意的a，bR，都有a2b22a2b20D菱形的兩條對角線相等解析：C，D是全稱量詞命題，A，B是存在量詞命題，由于x21=0無解，故B為假命題，對于A，當(dāng)x=1時，x2=x成立答案：A6判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題凸多邊形的外角和等于360；矩形的對角線不相等；若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直有些實數(shù)a，b能使|ab|a|b|；方程3x2y10有整數(shù)解答案：可以改為所有的凸多

8、邊形的外角和等于360，故為全稱量詞命題可以改為所有矩形的對角線不相等，故為全稱量詞命題若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題可改寫為：存在一對整數(shù)x，y，使3x2y10成立故為存在量詞命題考點2 全稱量詞命題與存在量詞命題真假判斷【考題2】有下列四個命題：xR，eq r(x2)10； x1，1，0，2x10；xN，x2x； xN*，x為29的約數(shù)其中真命題的個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析對于，這是全稱量詞命題，因為eq r(x2)0對任意實數(shù)都成立，所以eq r(x2)10，故為真命題；對于，這是全稱量詞命題，因為當(dāng)x1時，2x10不成

9、立，故為假命題；對于，這是存在量詞命題，當(dāng)x0或x1時，有x2x成立，故為真命題；對于，這是存在量詞命題，當(dāng)x1時，x為29的約數(shù)成立，所以為真命題答案C【鞏固練習(xí)2】1下列結(jié)論中正確的是()AnN*，2n25n2能被2整除是真命題BnN*，2n25n2不能被2整除是真命題CnN*，2n25n2不能被2整除是真命題DnN*，2n25n2能被2整除是假命題解析：選C當(dāng)n1時，2n25n2不能被2整除，當(dāng)n2時，2n25n2能被2整除，所以A、B、D錯誤，C項正確故選C2用全稱量詞表述下列命題，并判斷真假: (1)x22x32; (2)負(fù)數(shù)都沒有算術(shù)平方根; (3)對角線垂直的四邊形是菱形 解:(

10、1)xR，x22x32 x22x3=(x1)222是真命題 (2)所有的負(fù)數(shù)都沒有算術(shù)平方根是真命題 (3)所有對角線垂直的四邊形都是菱形是假命題 3指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假(1)xN，2x1是奇數(shù)；(2)存在一個xR，使eq f(1,x1)0(3)xZ，x31；(4)存在一個四邊形不是平行四邊形；(5)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應(yīng)一點P；(6)xN，x20解:(1)是全稱量詞命題，因為xN，2x1都是奇數(shù)，所以該命題是真命題(2)是存在量詞命題因為不存在xR，使eq f(1,x1)0成立，所以該命題是假命題(3)因為1Z，且(1)311，所以“xZ，x31”是真命題(4)真命題，如梯形(5)由有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標(biāo)系中的點的對應(yīng)關(guān)系知，它是真命題(6)因為0N，020，所以命題“xN，x20”是假命題考點3 由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)【考題3】已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B(1)若命題p：“xB，xA”是真命題，求m的取值范圍；(2)命題q：“xA，xB”是真命題，求m的取值范圍解(1)由于命題p：“xB，xA”是真命題，所以BA，B，所以eq blcrc (avs4alco1(m12m1，,m12，,2m15，)解得2m3(2)q