(浙江版)2023年高考數(shù)學一輪復習專題3.5導數(shù)的綜合應用(講)

1、內部文件，版權追溯專題3.5 導數(shù)的綜合應用【考綱解讀】考 點考綱內容5年統(tǒng)計分析預測導數(shù)在研究函數(shù)中的應用了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導數(shù)解決某些實際問題.2023浙江文科21，理科8，22；2023浙江文科21，理科22；2023浙江卷7，20. 1.以研究函數(shù)的單調性、單調區(qū)間、極值最值等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結合； 2.單獨考查利用導數(shù)研究函數(shù)的某一性質以小題呈現(xiàn)，綜合研究函數(shù)的性質以大題呈現(xiàn)；3.適度關注生活中的優(yōu)化問題.3.備考重點： (1) 熟練掌握導數(shù)公式及導數(shù)的四那么

2、運算法那么是根底；(2) 熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值最值的根本方法，靈活運用數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題.【知識清單】1.利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質函數(shù)圖象的識別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調性以及函數(shù)值的符號等.解決此類問題應先觀察選項的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關性質，進而得到正確的選項.如該題中函數(shù)解析式雖然比擬復雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調性很容易利用排除法得到正確選項.對點練習：【2023浙江卷】函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)的圖像如下圖，那么函數(shù)y=f(x)的圖像可能是【答案】D2與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題1方程

3、有實根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點2求極值的步驟：先求的根定義域內的或者定義域端點的根舍去；分析兩側導數(shù)的符號：假設左側導數(shù)負右側導數(shù)正，那么為極小值點；假設左側導數(shù)正右側導數(shù)負，那么為極大值點.3求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點，也是單調區(qū)間的劃分點，而求函數(shù)的最值是在求極值的根底上，通過判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.4函數(shù)的零點就是的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點橫坐標.對點練習：【2023新課標1卷】函數(shù)有兩個零點.(I)求a的取值范圍；(II)設x1,x2是的兩個零點,證明：.【答案】【解析】

4、i設,那么,只有一個零點ii設,那么當時,；當時,所以在上單調遞減,在上單調遞增又,取滿足且,那么,故存在兩個零點不妨設,由知,在上單調遞減,所以等價于,即由于,而,所以設,那么所以當時,而,故當時,從而,故3與不等式恒成立、有解、無解等問題有關的參數(shù)范圍問題不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變別離，轉化為求函數(shù)的最值問題來處理 ：對點練習：設，函數(shù)，假設對任意的，都有成立，那么的取值范圍為【答案】4利用導數(shù)證明、解不等式問題無論不等式的證明還是解不等式，

5、構造函數(shù)，運用函數(shù)的思想，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質單調性和最值，到達解題的目的，是一成不變的思路，合理構思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.對點練習：【2023課標II，理】函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點，且?！敬鸢浮?1)；(2)證明略?！窘馕觥?由1知 ，。設，那么。當 時， ；當 時， ，所以 在 單調遞減，在 單調遞增。【考點深度剖析】導數(shù)是研究函數(shù)性質的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調性、極值與最值、函數(shù)的零點等從題型看，往往有一道選擇題或填空題，有一道解答題.其中解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結合考查，且有綜合化更強的趨勢【重點難點突破】

6、考點1 利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質【1-1】【2023河南開封10月月考】函數(shù)y=4cosx-e|x|e為自然對數(shù)的底數(shù)的圖象可能是 ABC D:【答案】A【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，排除B、D，假設時，當，當時，那么，函數(shù)在上為減函數(shù)，選A.【1-2】【2023全國卷】函數(shù)y2x2e|x|在2,2的圖象大致為()【答案】D【領悟技法】導數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關系：假設導函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側附近連續(xù)分布于軸上下方，那么為原函數(shù)單調性的拐點，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調性時，由導函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調區(qū)間【觸類旁通】【變式一】【2023江西新余二?！繉⒑瘮?shù)圖象上各點的

7、橫坐標伸長為原來的2倍縱坐標不變后得到的圖象，設，那么的圖象大致為 【答案】A【變式二】【2023麗水模擬】設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如下圖，那么以下結論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)【答案】D【解析】由題圖，當x2時，f(x)0；當2x1時，f(x)0；當1x2時，f(x)0；當x2時，f(x)0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值考點2 與函數(shù)

8、零點有關的參數(shù)范圍問題【2-1】【2023浙江杭州二?！吭O方程，為自然對數(shù)的底數(shù)，那么 A. 當時，方程沒有實數(shù)根 B. 當時，方程有一個實數(shù)根C. 當時，方程有三個實數(shù)根 D. 當時，方程有兩個實數(shù)根【答案】D【2-2】【2023課標3，理11】函數(shù)有唯一零點，那么a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的零點滿足，設，那么，當時，當時，函數(shù) 單調遞減，當時，函數(shù) 單調遞增，當時，函數(shù)取得最小值，設 ，當時，函數(shù)取得最小值 ，【領悟技法】1.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的方法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結合導數(shù)知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象. 2.方程的有解問題

9、就是判斷是否存在零點的問題，可參變別離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理.3.與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與 軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題【觸類旁通】【變式一】【2023湖南長沙二?！亢瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，那么對任意，函數(shù)的零點個數(shù)至多有 A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 9個【答案】A【解析】當時,由此可知在上單調遞減，在上單調遞增，,且,數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，而時，,所以的圖象如圖，令,那么，由圖可知，當時方程至多3個根，當時方程沒

10、有根，而對任意，至多有一個根，從而函數(shù)的零點個數(shù)至多有3個.【變式二】【2023安徽阜陽二模】函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù) .1當是，求證：；2假設函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍.【答案】見解析;試題解析：，.得：且在上單增，在上單減故等價于在上有唯一極大值點得：故令，那么又在上單增，由，得綜上，考點3 與不等式恒成立、有解、無解等問題有關的參數(shù)范圍問題【3-1】假設不等式對恒成立，那么實數(shù)的取值范圍是.【答案】所以在上是增函數(shù)，在是減函數(shù).所以，所以.(2)令，那么，因為，所以，所以易知，所以在上是增函數(shù).易知當時，故在上無最小值，所以在上不能恒成立.綜上所述，即實數(shù)的取值范圍是.【3-2】函數(shù)1求在

11、上的最小值；2假設關于的不等式只有兩個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍【答案】1 ；2.【解析】假設，的最小值為，4分假設，的最小值為，綜上，當時，的最小值為；當，的最小值為2由1知，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，且在上，又，那么又時，由不等式得或，而解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；時，由不等式得，解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；時，由不等式得或，解集為無整數(shù)解，假設不等式有兩整數(shù)解，那么，綜上，實數(shù)的取值范圍是【領悟技法】含參數(shù)的不等式恒成立、有解、無解的處理方法：的圖象和圖象特點考考慮；構造函數(shù)法，一般構造，轉化為的最值處理；參變別離法，將不等式等價變形為，或，進而轉化為求函數(shù)的最值. 【觸類

12、旁通】【變式一】函數(shù)，假設存在，使得不等式成立，那么實數(shù)的取值范圍為 A BC D【答案】C【解析】【變式二】【2023福建三明5月質檢】函數(shù)， 當時，求證：過點有三條直線與曲線相切；當時，求實數(shù)的取值范圍【答案】I詳見解析；II.【解析】解法一：當時，設直線與曲線相切，其切點為，那么曲線在點處的切線方程為：，因為切線過點，所以，即，設，在三個區(qū)間上至少各有一個根又因為一元三次方程至多有三個根，所以方程恰有三個根，故過點有三條直線與曲線相切1當時，從而當且僅當時，等號成立在上單調遞增，又，當時，從而當時，在上單調遞減，又，從而當時，即于是當時，2當時，令，得，故當時，在上單調遞減，又，當時，從

13、而當時，解法二：當時，設直線與曲線相切，其切點為，那么曲線在點處的切線方程為，因為切線過點，所以，即，設，那么，令得當變化時，變化情況如下表：+0-0+極大值極小值考點4利用導數(shù)證明、解不等式問題【4-1】假設的定義域為，恒成立，那么解集為A B C D【答案】B【解析】構造函數(shù)，那么，所以函數(shù)在定義域上單調遞增，又，所以解集為.【4-2】【2023浙江溫州二模】f(1當x0，當0|x|【答案】1詳見解析；2詳見解析.【解析】試題解析：證明：1考慮函數(shù)(x)=那么(x)從而故(x)在(-,0)因此對任意xR，都有即ex-1-x所以當x2由可知當0|x|ln即當0 xg(x)在區(qū)間D上恒成立的根

14、本方法是構造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0，其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口.2.利用導數(shù)解不等式的根本方法是構造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調性 ，從而解不等式的方法.【觸類旁通】【變式一】【2023廣東佛山二模】設函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).假設是上的增函數(shù)，求的取值范圍；假設，證明：.【答案】;見解析.【解析】試題分析：I由于函數(shù)單調遞增，故導函數(shù)恒為非負數(shù)，別離常數(shù)后利用導數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；II將原不等式，轉化為，令，求出的導數(shù)，對分成兩類，討論函數(shù)的最小值，由此

15、證得，由此證得.試題解析：令，是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點，當，遞增；當，遞減；故當時，取得極大值且為最大值，所以，即的取值范圍是.令，以下證明當時，的最小值大于0.求導得.當時，；當時，令，那么，又，取且使，即，那么，因為，故存在唯一零點，即有唯一的極值點且為極小值點，又，【變式二】【2023課標3，理21】函數(shù).1假設 ，求a的值；2設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，求m的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】【易錯試題常警惕】易錯典例：函數(shù).求的單調區(qū)間；設，假設對任意，均存在，使得，求的取值范圍易錯分析：無視定義域致誤；對全稱量詞和特稱量詞理解不深刻致誤正確解析：. 當時， 在區(qū)間

16、上，；在區(qū)間上，故的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是. 當時， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是. 當時， 故的單調遞增區(qū)間是.當時， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.當時，在上單調遞增，在上單調遞減，故.由可知，所以， 綜上所述，,溫馨提醒：(1)研究函數(shù)問題應豎立定義域優(yōu)先原那么；(2) 任意，指的是區(qū)間內的任意一個自變量；存在，指的是區(qū)間內存在一個自變量，故此題是恒成立問題和有解問題的組合.【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】化抽象為具體數(shù)形結合思想數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)和“以數(shù)輔形兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來說明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比方應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質；或者是借助于數(shù)的精確性和標準嚴密性來說明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地說明曲線的幾何性質.數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意