恒成立與存在性問題的基本解題策略

1、人生有幾件絕對不能失去的東西：自制的力量，冷靜的頭腦，希望和信心“恒成立問題”與“存在性問題”的基本解題策略一、“恒成立問題”與“存在性問題”的基本類型恒成立、能成立、恰成立問題的基本類型1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：a/G)恒成立nf(x)max；a-/(%)恒成立na-f(m2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：心fG)能成立力/Qn；-4)能成立na-fGL3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：afG)在M上恰成立oafG)的解集為f(x)在M上恒成立f(x)在CRM上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：若xD,f(X)-A在D上恰成立，等價于f(x)在D上的最小值fm1n(x)=A，若XD,f(x)-B在D上恰成立，則等價于f(x)在D上的

2、最大值于max(X)=B.4、設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)，對任意的xi，bL存在x2LdL使得f(xi)-g(x2)，則f(x)-g(x)TOC o 1-5 h zminmin5、設(shè)函數(shù)f、g(x)，對任意的xi5bL存在x2J,dL使得f&)-g(x2)，則f(x)-g(x)maxmax6、設(shè)函數(shù)f、g(x)，存在xi，,b1存在x2幾d1使得f(x1)-g(x2)，則fmax)-gmin)7、設(shè)函數(shù)f(xLg(xL存在x1，,b1存在x2J,d1使得f1l)-g(x2)，則fmin)-gmax)8、設(shè)函數(shù)f(xLg(x)，對任意的xi，5b1存在x2J1使得f(xi)=g4I設(shè)f(x)在區(qū)間

3、a,b上的值域為A，g(x)在區(qū)間c,d上的值域為B,則AuB.f(x)g(x)y=f(x)9、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)y=g(x)圖象上方;f(x)g(x)y=f(x)i0、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)y=g(x)圖象下方;恒成立問題的基本類型在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題，其表現(xiàn)形式通常有:在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立;某函數(shù)的定義域為全體實數(shù)R;某不等式的解為一切實數(shù);某表達式的值恒大于a等等絕恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)

4、合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的部分文檔來自網(wǎng)絡(luò)收集，如有侵權(quán)，請聯(lián)系作者刪除i人生有幾件絕對不能失去的東西:人生有幾件絕對不能失去的東西:自制的力量，冷靜的頭腦，希望和信心20人生有幾件絕對不能失去的東西：人生有幾件絕對不能失去的東西：自制的力量，冷靜的頭腦，希望和信心2部分文檔來自網(wǎng)絡(luò)收集，如有侵權(quán)，請聯(lián)系作者刪除部分文檔來自網(wǎng)絡(luò)收集，如有侵權(quán)，請聯(lián)系作者刪除 當m0只在(一肛0)上恒成立，而f(x)是一個開口向下且恒過定點(0，1)的二次函數(shù)，顯然不滿足題意。當m0時，g(x)在R上遞增且g(x)=mx0在(0,+8)上

5、恒成立，而f(x)是一個開口向上且恒過定點(0，1)的二次函數(shù)，要使對任一實數(shù)x，fx)與式x)的值至少有一個為正數(shù)則只需f(x)0在(8,0上恒成立。(如圖3)Ij0則有A=4(4m)28m0或2m解得4m8或0m4，綜上可得0m8即m*(0,8)。故選B。7、已知兩函數(shù)f(x)=7x228xc,g(x)=6x2-24x+21。(1)對任意xJ3亂都有f(x)g(x)成立，那么實數(shù)c的取值范圍c0；(2)存在xJ3,3,使f(x)g(x)成立，那么實數(shù)c的取值范圍c-25(3)對任意xi，x2-3,3L都有f(xi)g(x2),那么實數(shù)c的取值范圍c150(4)存在x1，x2J3,31，都有

6、f)0恒成立，故hg(x)0。令h，(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)=0，得x=1或2。由導(dǎo)數(shù)知識，可知h(x)在-3，-1單調(diào)遞增，在L，21單調(diào)遞減，在L，31單調(diào)遞增，且h(-3)=c-45,h(x)極大值=h(1)=c+7,h(x)極小值=h(2)=c一20,h(3)=c9，:.hmin(x)=h(-3)=c-45，由c450，得c45。(2)據(jù)題意：存在xJ3,31,使f(x)0在xJ3,31有解，故hmax(x)0，由(1)知hmax(x)=+70，于是得。7。(3)它與(1)問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對任意xjx2J3,31,都有f(x1)g

7、(x2)成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x1,x2的取值在一3,31上具有任意性，要使不等式恒成立的充要條件是：fJX)gm/X)：xG一3：3。：f(x)=7G-2)2c2弘eL3，3l.f(X)=f(-3)=147-cmaxg，(x)=6x2+8x-40=2(3x+10)(x-2),.g,(x)=0在區(qū)間-3,3上只有一個解x=2。.g(x)=g(2)=-48.147-c195TOC o 1-5 h zmin，.x,xe-3,3卻看f(x)g(x)堂小書f.(x)g(匕)(4)仔仕192，百。有J12，等價于min1max2,由(3)得f(x)=f(2)=-c-28g(x)=g(-

8、3)=102-c-28-130min1，max2，點評：本題的三個小題，表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準確使用其成立的充要條件。二.簡答題(每題10分)8、(10分)若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)恒成立，求實數(shù)a的范圍。若不等式x-3-x+2有解，求實數(shù)a的范圍。若方程x-3-x+2=有解，求實數(shù)a的范圍。解：a-5a0的解集為0,3),試求a的值.解答：這三問中，第(I)問是能成立問題，第(II)問是恒成立問題，第(III)問是恰成立問題.f()4a-a2隼Vx7=max-4(I)f的定義域非空，相當于存在實數(shù)x，使a-ax-x20成立，即隼Q)4a-a2隼Vx7=max-4解得a0(II)于Q)在區(qū)間6”上有意義,等價于隼Q)=a-ax-x20在6恒成立，即隼Q)的最小值大于0.解不等式組-a0,Ja0或a0的解集為,3)等價于不等式a一ax一x21的解集為,3)；于是有x2+ax+1-a0恒成立，即b2-4a(b一2)0.即b2-4ab+8a0對任意b金