證明的方法總結(jié)

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 證明的方法總結(jié) 證明的方法總結(jié) 總結(jié)是在某一特定時(shí)間段對(duì)學(xué)習(xí)和工作生活或其完成狀況，包括取得的成績(jī)、存在的問(wèn)題及得到的閱歷和教訓(xùn)加以回想和分析的書(shū)面材料，它在我們的學(xué)習(xí)、工作中起到呈上啟下的作用，不如立刻行動(dòng)起來(lái)寫(xiě)一份總結(jié)吧?？偨Y(jié)怎么寫(xiě)才不會(huì)千篇一律呢？下面是我為大家收集的證明的方法總結(jié)，歡迎大家借鑒與參考，希望對(duì)大家有所幫助。 證明的方法總結(jié)1 一、原函數(shù) 定義1 假如對(duì)任一xI，都有 F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx 則稱(chēng)F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)。 例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函數(shù)。 ln(xx2) 原

2、函數(shù)存在定理：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間I 上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得對(duì)任一xI，有F(x)f(x)。 注1：假如f(x)有一個(gè)原函數(shù)，則f(x)就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。 設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F(x)Cf(x)，即F(x)C也為f(x)的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。 注2：假如F(x)與G(x)都為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之差為常數(shù)，即F(x)G(x)C（C為常數(shù)） 注3：假如F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)C（C為任意常數(shù)）可表達(dá)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。 1x2，即ln(xx2)是1

3、x2的原函數(shù)。 二、不定積分 定義2 在區(qū)間I上，f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，成為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為f(x)dx。 假如F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則 f(x)dxF(x)C，（C為任意常數(shù)） 三、不定積分的幾何意義 圖 51 設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則yF(x)在平面上表示一條曲線，稱(chēng)它為f(x)f(x)的不定積分表示一族積分曲線，它們是由f(x)的某一條積分曲線沿著y軸方向作任意平行移動(dòng)而產(chǎn)生的所有積分曲線組成的顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標(biāo)x的點(diǎn)處有相互平行的切線，其斜率都等于f(x) 在求原函數(shù)的具體問(wèn)題中，往往先求出原函數(shù)的一般表達(dá)式y(tǒng)

4、F(x)C，再?gòu)闹写_定一個(gè)滿足條件 y(x0)y0 (稱(chēng)為初始條件)的原函數(shù)yy(x)從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條通過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的積分曲線 四、不定積分的性質(zhì)（線性性質(zhì)） f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx k為非零常數(shù)） kf(x)dxkf(x)dx（ 五、基本積分表 a dx = ax + C，a和C都是常數(shù) xa dx = x(a + 1)/(a + 1) + C，其中a為常數(shù)且 a -1 1/x dx = ln|x| + C ax dx = (1/lna)ax + C，其中a 0 且 a 1 ex dx = ex + C cosx dx = sinx + C

5、sinx dx = - cosx + C cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C =

6、ln|cscx - cotx| + C sec2(x) dx = tanx + C csc2(x) dx = - cotx + C secxtanx dx = secx + C cscxcotx dx = - cscx + C dx/(a2 + x2) = (1/a)arctan(x/a) + C dx/(a2 - x2) = arcsin(x/a) + C dx/(x2 + a2) = ln|x + (x2 + a2)| + C dx/(x2 - a2) = ln|x + (x2 - a2)| + C (x2 - a2) dx = (x/2)(x2 - a2) - (a2/2)ln|x +

7、(x2 - a2)| + C (x2 + a2) dx = (x/2)(x2 + a2) + (a2/2)ln|x + (x2 + a2)| + C (a2 - x2) dx = (x/2)(a2 - x2) + (a2/2)arcsin(x/a) + C 六、第一換元法（湊微分） 設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 假如 u(x)，且(x)可微，則 dF(x)F(u)(x)f(u)(x)f(x)(x) dx 即F(x)為f(x)(x)的原函數(shù)，或 f(x)(x)dxF(x)CF(u)Cu(x)f(u)du因此有 定理1 設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，

8、u(x)可微，則 f(x)(x)dxf(u)du 公式(2-1)稱(chēng)為第一類(lèi)換元積分公式。 u(x)u(x) (2-1) f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duu(x) 1f(axb)d(axb)1f(u)duf(axb)dxuaxb 證明的方法總結(jié)2 1、定義法: 利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是： 任取x1、x2D，且x10，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；假如f(x)0， 則 為減(增）函數(shù)， 為增（減）函數(shù) 3互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有一致的單調(diào)性 4yfg(x)是定義在M上的函數(shù)， 若f(x)與g(x)的單調(diào)性一致， 則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為增函數(shù)； 若f(x)、g(x)的單調(diào)性相

9、反， 則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為減函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)同增異減 5. 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一致； 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (1)求某些函數(shù)的值域或最值 (2)對(duì)比函數(shù)值或自變量值的大小 (3)解、證不等式 (4)求參數(shù)的取值范圍或值 (5)作函數(shù)圖象 證明的方法總結(jié)3 數(shù)列極限的證明 數(shù)列極限的證明是數(shù)一、二的重點(diǎn)，特別是數(shù)二最近幾年考的十分頻繁，已經(jīng)考過(guò)好幾次大的證明題，一般大題中涉及到數(shù)列極限的證明，用到的方法是單調(diào)有界準(zhǔn)則。 微分中值定理的相關(guān)證明 微分中值定理的證明題歷來(lái)是考研的重難點(diǎn)，其考試特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，涉及到知識(shí)面廣，涉及到中值的等式

10、主要是三類(lèi)定理： 1。零點(diǎn)定理和介質(zhì)定理； 2。微分中值定理； 包括羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用來(lái)處理高階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，考察頻率底，所以以前兩個(gè)定理為主。 3。微分中值定理 積分中值定理的作用是為了去掉積分符號(hào)。 在考察的時(shí)候，一般會(huì)把三類(lèi)定理兩兩結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考察，所以要總結(jié)到現(xiàn)在為止，所考察的題型。 方程根的問(wèn)題 包括方程根唯一和方程根的個(gè)數(shù)的探討。 定積分等式和不等式的證明 主要涉及的方法有微分學(xué)的方法：常數(shù)變異法；積分學(xué)的方法：換元法和分布積分法。 積分與路徑無(wú)關(guān)的五個(gè)等價(jià)條件 這一部分是數(shù)一的考試重點(diǎn)，最近幾年沒(méi)設(shè)計(jì)到，所以要重點(diǎn)關(guān)注。 方法篇

11、 結(jié)合幾何意義記住基本原理 重要的定理主要包括零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。 知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度（即就是對(duì)定理理解的深入程度）不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如20 xx年數(shù)學(xué)一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明白極限存在，求值是很簡(jiǎn)單的，但是假如沒(méi)有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。 由于數(shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，假如第一步未得到結(jié)論，那么其次步就是空中樓閣。這個(gè)題目十分簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問(wèn)題就能輕松解決，由于對(duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性與“有

12、界性都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是好多，更多的是要用到其次步。 借助幾何意義尋求證明思路 一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如20 xx年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)（正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn)）之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很簡(jiǎn)單想到輔助函數(shù)F（x）=f（x）g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。 再如20 xx年數(shù)學(xué)一第18題

13、（1）是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f（x）及y=1x在0，1上的圖形就馬上能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫(xiě)出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)當(dāng)看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。假如其次步實(shí)在無(wú)法完滿解決問(wèn)題的話，轉(zhuǎn)第三步。 逆推法 從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如20 xx年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。 在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常狀況只需一

14、階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常狀況卻出現(xiàn)的更多（這里所舉出的例子就屬非正常狀況），這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F（x）=lnxxlnxa4（xa）/ex，其中eF（a）就是所要證的不等式。 證明的方法總結(jié)4 一、 不定積分計(jì)算方法 1. 湊微分法 2. 裂項(xiàng)法 3. 變量代換法 1) 三角代換 2) 根冪代換 3) 倒代換 4. 配方后積分 5. 有理化 6. 和差化積法 7. 分部積分法（反、對(duì)、冪、指、三） 8. 降冪法 二、 定積分的計(jì)算方法 1. 利用函數(shù)奇偶性 2. 利用函數(shù)周期性 3. 參

15、考不定積分計(jì)算方法 三、 定積分與極限 1. 積和式極限 2. 利用積分中值定理或微分中值定理求極限 3. 洛必達(dá)法則 4. 等價(jià)無(wú)窮小 四、 定積分的估值及其不等式的應(yīng)用 1. 不計(jì)算積分，對(duì)比積分值的大小 1) 對(duì)比定理：若在同一區(qū)間a,b上，總有 f(x)=g(x),則 = ()dx 2) 利用被積函數(shù)所滿足的不等式對(duì)比之 a) b) 當(dāng)0可積。 定理設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)休止點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。 3、定積分的若干重要性質(zhì) 性質(zhì)假如在區(qū)間a,b上f(x)0則abf(x)dx0。 推論假如在區(qū)間a,b上f(x)g(x)則abf(x)dxabg(x)dx。

16、推論|abf(x)dx|ab|f(x)|dx。 性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值和最小值，則m(b-a)abf(x)dxM(b-a),該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。 性質(zhì)(定積分中值定理)假如函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：abf(x)dx=f()(b-a)。 4、關(guān)于廣義積分 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上除點(diǎn)c(a 定積分的應(yīng)用 1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積) 直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù)) 極坐標(biāo)系下(r,x=rcos,y=rsin)(扇形面積公式S=R2/2) 旋轉(zhuǎn)體

17、體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=abf(x)2dx，其中f(x)指曲線的方程) 平行截面面積為已知的立體體積(V=abA(x)dx,其中A(x)為截面面積) 功、水壓力、引力 函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*abf(x)dx) 證明的方法總結(jié)7 摘要:結(jié)合實(shí)例分析介紹了不定積分的四種基本計(jì)算方法。為使學(xué)生熟練把握,靈活運(yùn)用積分方法,本文將高等數(shù)學(xué)中計(jì)算不定積分的常用方法,簡(jiǎn)單進(jìn)行了整理歸類(lèi)。 關(guān)鍵詞:積分方法 第一類(lèi)換元法其次類(lèi)換元法 分部積分法 不定積分是高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)的基礎(chǔ),對(duì)不定積分的理解與把握的好壞直接影響到該課程的學(xué)習(xí)和把握。熟練把握

18、不定積分的理論與運(yùn)算方法,不但能使學(xué)生進(jìn)一步穩(wěn)定前面所學(xué)的導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí),而且也將為學(xué)習(xí)定積分,微分方程等相關(guān)知識(shí)打好基礎(chǔ)。在高等數(shù)學(xué)中,函數(shù)的概念與定義與初等數(shù)學(xué)相比發(fā)生了好多的變化,從有限到無(wú)限,從確定到不確定,計(jì)算結(jié)果也可能不唯一,但計(jì)算方法與計(jì)算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計(jì)算中體會(huì)的淋漓盡致。對(duì)不定積分的求解方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸類(lèi),不但使其計(jì)算方法條理明了,而且有助于對(duì)不定積分概念的理解,提高學(xué)習(xí)興趣,對(duì)學(xué)好積分具有一定的促進(jìn)作用。 1 直接積分法 直接積分法就是利用不定積分的定義,公式與積分基本性質(zhì)求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數(shù)通過(guò)代數(shù)或三角恒等式變形,變?yōu)榉e

19、分表中能直接計(jì)算的公式,利用積分運(yùn)算法則,在逐項(xiàng)積分。 一、原函數(shù)與不定積分的概念 定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F(x)或dF f(x) (x)f(x)dx ,則稱(chēng)F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù) 定義2.函數(shù) f(x)的全體原函數(shù)F(x)C叫做f(x)的不定積分，記為: f(x)dxF(x)C f(x)叫做被積函數(shù) f(x)dx叫做被積表達(dá)式C叫做積分常數(shù) “ 其中 叫做積分號(hào) 二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式 性質(zhì)1. 不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即 f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx. 性質(zhì)2. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)任意函數(shù)，即 f(x)dxf(x)C, 或df(x)f(x)C