冪級數(shù)的概念及計算

1、主講人：XXX冪 級 數(shù)回 顧常數(shù)項級數(shù)任意項級數(shù)正項級數(shù)交錯級數(shù)函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)學習目標通過冪級數(shù)的概念及性質(zhì)的學習1理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；2了解冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，會求和函數(shù).一、函數(shù)項級數(shù)的概念若收斂, 則 為收斂點稱為函數(shù)項級數(shù)，其中 是區(qū)間 上的函數(shù)列.若發(fā)散, 則 為發(fā)散點定義1（函數(shù)項級數(shù)）在 中任取一點 , 就得到一個常數(shù)項級數(shù)注釋1函數(shù)項級數(shù)的全體收斂點的集合稱為收斂域.一、函數(shù)項級數(shù)的概念在收斂域內(nèi)，函數(shù)項級數(shù)的和依賴于點 ，即注釋2給定一個 的值，就有一個 與之對應，則稱 為函數(shù)項級數(shù)在其收斂域內(nèi)的和函數(shù).函數(shù)項

2、級數(shù)的部分和函數(shù)注釋3在收斂域內(nèi)有 .二、冪級數(shù)的收斂性定義2（冪級數(shù)）稱為 的冪級數(shù)，其中 是任意常數(shù)，叫作冪級數(shù)的系數(shù).冪級數(shù)是否一定有收斂點 ？問 題若有，如何求冪級數(shù)的收斂域 ？二、冪級數(shù)的收斂性定 理（阿貝爾收斂定理）對于冪級數(shù) ，如果 ，則 （1）若 ，則對任一 ，冪級數(shù)都絕對收斂；（2）若 ，則當 , 冪級數(shù)絕對收斂，當 , 冪級數(shù)發(fā)散；（3）若 ，則冪級數(shù)在 時都發(fā)散.二、冪級數(shù)的收斂性（1）若 ，則對任一 ，冪級數(shù)都絕對收斂；（2）若 ，則當 , 冪級數(shù)絕對收斂，當 , 冪級數(shù)發(fā)散；（3）若 ，則冪級數(shù)在 時都發(fā)散.收斂半徑定 理（阿貝爾收斂定理）對于冪級數(shù) ，如果 ，則 二

3、、冪級數(shù)的收斂性定義2（冪級數(shù)）稱為 的冪級數(shù)，其中 是任意常數(shù)，叫作冪級數(shù)的系數(shù).冪級數(shù)是否一定有收斂點 ？問 題若有，如何求冪級數(shù)的收斂域 ？是阿貝爾收斂定理二、冪級數(shù)的收斂性冪級數(shù)收斂域的求法（1） 求冪級數(shù) 的收斂半徑，即 （2） 得到冪級數(shù)的收斂區(qū)間 ；（3） 單獨考慮 時對應級數(shù)的斂散性, 并將對應的收斂點并入到收斂區(qū)間上，得到收斂域.二、冪級數(shù)的收斂性求冪級數(shù) 的收斂域.例 1為交錯級數(shù)，收斂；為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散；解:所以冪級數(shù)的收斂域為： 時， 時，二、冪級數(shù)的收斂性解:所以冪級數(shù)的收斂域為： 時， 時，求冪級數(shù) 的收斂域.例 2為交錯級數(shù)，收斂；為p-級數(shù)，發(fā)散；三、冪級數(shù)的性

4、質(zhì)性質(zhì)1 冪級數(shù)的運算性質(zhì)若 則在 上，兩冪級數(shù)的和為三、冪級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)若 ，則(1) 和函數(shù) 在收斂域 內(nèi)連續(xù);(2) 和函數(shù) 在收斂域 內(nèi)可導，且(3) 和函數(shù) 在收斂域 內(nèi)可積，且三、冪級數(shù)的性質(zhì)求冪級數(shù) 的和函數(shù).例 3解： 先求冪級數(shù)的收斂域在收斂區(qū)間內(nèi)設和函數(shù)為 ，則所以求和函數(shù)的一般步驟三、冪級數(shù)的性質(zhì)（2） 對所給冪級數(shù)逐項微分或逐項積分；（3） 求出（2）中所得冪級數(shù)的和函數(shù)；（4） 對（3）中所得的冪級數(shù)的和函數(shù)進行 積分或微分，即可得到所求冪級數(shù)的和函數(shù)（1） 求出所給冪級數(shù)的收斂域；求和函數(shù)的一般步驟三、冪級數(shù)的性質(zhì)（2） 對所給冪級數(shù)逐項微分或逐項積分；（3） 求出（2）中所得冪級數(shù)的和函數(shù)；（4） 對（3）中所得的冪