課標版高考文科數(shù)學總復習專題9.2 直線、圓的位置關系（講解練）教學講練

1、專題九平面解析幾何9.2直線、圓的位置關系高考文數(shù)考點一點與直線、直線與直線的位置關系考點清單考向基礎1.兩直線的位置關系2.點、直線間的距離(1)已知點P的坐標為(x0,y0),直線l的方程是Ax+By+C=0,則點P到l的距離d=.(2)設兩條平行直線l1:Ax+By+C=0,l2:Ax+By+D=0,且DC,則l1與l2間的距離d=.常見直線系方程1.過定點(x1,y1)的直線系方程為A(x-x1)+B(y-y1)=0(A2+B20),還可以表示為y-y1=k(x-x1)和x=x1.2.平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程為Ax+By+=0(C).3.垂直于直線Ax+By+C=0的直

2、線系方程為Bx-Ay+=0.4.過兩條已知直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直線A2x+B2y+C2=0).【知識拓展】考向一兩條直線垂直(平行)的關系考向突破例1已知兩直線l1:x+ysin -1=0和l2:2xsin +y+1=0.(1)若l1l2,則=;(2)若l1l2,則=.解析(1)解法一:當sin =0時,直線l的斜率不存在,直線l2的斜率為0,顯然l1不平行于l2;當sin 0時,k1=-,k2=-2sin ,要使l1l2,需-=-2sin ,即sin =,所以=k,kZ,此時兩直

3、線的斜率相等,故當=k,kZ時,l1l2.解法二:由A1B2-A2B1=0得1-2sin2=0,所以sin =,又B1C2-B2C10,所以1+sin 0,即sin -1,所以=k(kZ),故當=k,kZ時,l1l2.(2)因為A1A2+B1B2=0是l1l2的充要條件,所以2sin +sin =0,即sin =0,所以=k(kZ),故當=k(kZ)時,l1l2.答案(1)k(kZ)(2)k(kZ)考向二距離公式的應用例2兩直線3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,則它們之間的距離為.解析因為兩直線平行,所以m=2.解法一:在直線3x+y-3=0上取點(0,3),代入點到直線的距離公式,得

4、d=.解法二:將6x+2y-1=0化為3x+y-=0,由兩條平行線間的距離公式得d=.答案 例3(2020屆河南天一大聯(lián)考(二),4)已知點P(1,3),則當點P到直線l:(2a-b)x+(a+b)y+a-b=0的距離最大時,直線l的方程為.考向三定點直線系解析直線l的方程可化為a(2x+y+1)+b(-x+y-1)=0,由得即直線l恒過定點,設該定點為A,故當直線l垂直于直線PA時,點P到直線l的距離最大,又知kPA=,kl=-,故直線l的方程為y-=-,即15x+24y+2=0.答案15x+24y+2=0考向基礎1.點與圓的位置關系設點P到圓心的距離為d,圓的半徑為r,點P在圓外dr;點P

5、在圓上d=r;點P在圓內(nèi)d0),d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程根的判別式為.考點二直線、圓的位置關系位置關系判斷方法公共點個數(shù)代數(shù)法幾何法相交0dr2相切=0d=r1相離r03.兩圓的位置關系的判定設圓O1的方程為(x-a1)2+(y-b1)2=R2(R0),圓O2的方程為(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r0),其中Rr.位置關系判斷方法公共點個數(shù)公切線條數(shù)幾何法(判斷圓心距|O1O2|與R,r的關系)代數(shù)法(聯(lián)立兩圓方程,判斷解的個數(shù))外離|O1O2|R+r無解04外切|O1O2|=R+r一解13相交R-r|O1O2|R+r兩解22內(nèi)切|

6、O1O2|=R-r一解11內(nèi)含0|O1O2|0),其中a,b是定值,r是參數(shù).(2)半徑相等的圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中r是定值,a,b是參數(shù).(3)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R).(4)過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)(其中不含圓C2,因此注意檢驗圓C2是否滿足題意,以防丟解).2.與圓的切線有關的結(jié)論(

7、1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0 x+y0y=r2;(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)過圓x2+y2=r2外一點P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點為A,B,則過A、B兩點的直線方程為x0 x+y0y=r2;(4)過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)外一點P(x0,y0)引圓的切線,切點為T,則切線長為|PT|=.3.求兩圓公共弦所在直線的方程的方法(1)聯(lián)立兩圓方程,通過解方程組求出兩交點坐標,再利用兩點式求出直線方程;(2)將兩圓的方程相減

8、得到的方程就是所求的直線的方程.注意應用上述兩種方法的前提是兩圓必須相交.考向一直線與圓的位置關系考向突破例4(2019山西晉中質(zhì)檢,5)直線x-ky+1=0與圓x2+y2=1的位置關系是()A.相交 B.相切C.相交或相切D.相離解析解法一:圓x2+y2=1的圓心為(0,0),半徑r=1,則圓心(0,0)到直線x-ky+1=0的距離d=,而1,d1=r,因此直線與圓相切或相交,故選C.解法二:由得(ky-1)2+y2=1,即(k2+1)y2-2ky=0.=(-2k)2=4k20,方程有兩個相同實數(shù)解或兩個不同實數(shù)解,故直線與圓相切或相交,故選C.解法三:直線x-ky+1=0過定點M(-1,0

9、),而定點M(-1,0)在圓x2+y2=1上,所以直線x-ky+1=0與圓x2+y2=1相切或相交,故選C.答案C考向二圓與圓的位置關系例5兩圓C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0的位置關系是()A.相離B.相切C.相交D.內(nèi)含解析解法一(幾何法):把兩圓的方程分別配方,化為標準方程是C1:(x-1)2+y2=4,C2:(x-2)2+(y+1)2=2,所以兩圓圓心分別為C1(1,0),C2(2,-1),半徑r1=2,r2=,則圓心距|C1C2|=,r1+r2=2+,r1-r2=2-,故r1-r2|C1C2|r1+r2,所以兩圓相交.解法二(代數(shù)法):聯(lián)立方程解得

10、即方程組有2組解,也就是說,兩圓的交點個數(shù)為2,故可判斷兩圓相交.故選C.答案C考向三與圓有關的切線問題例6(2020屆黑龍江哈三中第三次月考,6)過點A(3,5)作圓(x-2)2+(y-3)2=1的切線,則切線的方程為()A.x=3或3x+4y-29=0B.y=3或3x+4y-29=0C.x=3或3x-4y+11=0D.y=3或3x-4y+11=0解析易知圓心坐標為(2,3),半徑r=1,當切線的斜率存在時,設切線的斜率為k,則切線方程為kx-y-3k+5=0,由點到直線的距離公式可得=1,解得k=,所以切線方程為3x-4y+11=0.當切線的斜率不存在時,切線方程為x=1或x=3,又因為點

11、A(3,5)在直線x=3上,所以過點A(3,5)的圓的切線方程為x=3或3x-4y+11=0,故選C.答案C例7(2020屆安徽六安一中10月月考,13)已知圓C1:x2+y2=1,圓C2:(x-4)2+y2=25,則兩圓公切線的方程為.解析由圓C1:x2+y2=1知圓心C1(0,0),半徑r1=1;由圓C2:(x-4)2+y2=25知圓心C2(4,0),半徑r2=5.|C1C2|=4=r2-r1,兩圓相切,且切點為(-1,0).又兩圓圓心的連線在x軸上,兩圓公切線的方程為x=-1.答案x=-1例8(2020屆貴州六校10月聯(lián)考,4)圓x2+y2+4x-2y+a=0截直線x+y-3=0所得弦長

12、為2,則實數(shù)a等于()A.2B.-2C.4D.-4考向四與圓有關的弦長問題解析由圓x2+y2+4x-2y+a=0知其圓心M(-2,1),半徑r=,而圓心M(-2,1)到直線x+y-3=0的距離d=2,所以有d2+12=r2,即5-a=9,所以a=-4,故選D.答案D方法1直線與圓、圓與圓位置關系的判斷方法1.判斷直線與圓的位置關系的方法:代數(shù)法:將直線方程與圓的方程聯(lián)立得方程組,再將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程,由該方程解的情況判斷直線與圓的位置關系,這種方法具有一般性,適合判斷直線與圓錐曲線的位置關系,但是計算量較大;幾何法:圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小,即可判斷直線與圓的位置關系,這種方

13、法計算量較小,但只能用于圓的問題中.2.圓與圓的位置關系,由交點個數(shù),也就是利用方程組解的個數(shù)來判斷,有時得不到確切的結(jié)論,通常還是從兩圓的圓心距d與兩圓的半徑和、差的關系入手進行判斷.方法技巧例1(2019陜西四校聯(lián)考,6)直線ax-by=0與圓x2+y2-ax+by=0的位置關系是()A.相交B.相切C.相離D.不能確定解析解法一:將圓的方程化為標準方程得+=,圓心坐標為,半徑r=.圓心到直線ax-by=0的距離d=r,直線與圓相切.故選B.解法二:由得x2+y2=0,解得x=y=0,即方程組只有唯一的一組解,所以直線與圓相切,故選B.答案B例2已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-

14、5=0和圓C2:x2+y2+2x=0.(1)當m=1時,判斷圓C1和圓C2的位置關系;(2)是否存在實數(shù)m,使得圓C1和圓C2內(nèi)含?解析(1)當m=1時,圓C1的方程為(x-1)2+(y+2)2=9,圓心C1(1,-2),半徑r1=3,圓C2的方程為(x+1)2+y2=1,易知圓心C2(-1,0),半徑r2=1,兩圓的圓心距d=2,又r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2,所以r1-r2dr1+r2,所以圓C1和圓C2相交.(2)圓C1的方程可化為(x-m)2+(y+2)2=9,故圓心C1的坐標為(m,-2),半徑長為3.假設存在實數(shù)m,使得圓C1和圓C2內(nèi)含,則圓心距d=3-1,即(

15、m+1)20,即m2-6m-154,點M在圓C外部.當過點M的直線的斜率不存在時,直線方程為x=3,即x-3=0.又點C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r,直線x-3=0是圓的切線.當切線的斜率存在時,設切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,則圓心C到切線的距離d=r=2,解得k=.切線方程為y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.綜上可得,過點M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.|MC|=,過點M的圓C的切線長為=1.方法3解決對稱問題的方法1.中心對稱(1)點關于點對稱:設點P(x0,y0),對稱中心為A(a,b),則點P關于點A的對稱

16、點為(2a-x0,2b-y0).(2)直線關于點對稱問題的主要解法:在已知直線上取兩點,再利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標,再由兩點式求出直線方程,或者求出一個對稱點,再利用兩直線平行,由點斜式得到所求的直線方程.2.軸對稱(1)點關于直線對稱的問題由軸對稱定義知,對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線”.利用“垂直”“平分”這兩個條件建立方程組,可求出對稱點的坐標.一般情形如下:設點P(x0,y0)關于直線y=kx+b(k0)的對稱點為P(x,y),則有可求出x、y.(2)直線關于直線的對稱問題直線關于直線的對稱問題一般轉(zhuǎn)化為點關于直線的對稱來解決,有兩種情況:一是已知直線與對

17、稱軸相交;二是已知直線與對稱軸平行.特殊地,點P(x0,y0)關于直線x=a的對稱點為P(2a-x0,y0);點P(x0,y0)關于直線y=b的對稱點為P(x0,2b-y0).例5已知直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2),求:(1)點A關于直線l的對稱點A的坐標;(2)直線m:3x-2y-6=0關于直線l的對稱直線m的方程;(3)直線l關于點A(-1,-2)對稱的直線l的方程.(1)設點A(x,y),利用垂直平分列關于x,y的方程組,解方程組得點A的坐標.(2)在直線m上取一點M(2,0),求出點M關于直線l的對稱點M的坐標,再求出直線m與l的交點N的坐標,從而由兩點式求出直線m的方程.(3)利用相關點法求出直