數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)問題的求解策略

1、數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)問題的求解策略在數(shù)列、 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式等知識(shí)的交匯處命題，可以很好地考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力， 已成為高考數(shù)列命題的熱點(diǎn)，而不等式知識(shí)與單調(diào)性、最值密切相關(guān)，因而考查數(shù)列的單調(diào)性與最值成了高考一大亮點(diǎn)，本文試對(duì)求數(shù)列中的最值問題加以探討.給出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 anf (n) 的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，有以下解題策略：策略一利用差值比較法若有 an 1 anf (n 1)f (n)0 ，則 an 1an ，則 a1a2anan 1，即數(shù)列 an 是單調(diào)遞增數(shù)列，所以數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為 a1f (1)；若有 an 1 anf (n 1)f (n)0 ，則

2、 an 1an ，則 a1a2anan 1，即數(shù)列 an 是單調(diào)遞減數(shù)列，所以數(shù)列 an 的最大項(xiàng)為 a1f (1).策略二利用商值比較法若有anf (n)0對(duì)于一切N*成立，且 an 1f (n 1)1 ，則an 1an，則nanf ( n)a1a2anan 1即數(shù)列 an 是單調(diào)遞增數(shù)列，所以數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為a1f (1) ；若有 anf (n)0 對(duì)于一切an 1f (n 1)1 ，則 an 1an ，則n N* 成立，且f (n)ana1a2anan 1即數(shù)列 an 是單調(diào)遞減數(shù)列，所以數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為a1f (1) .策略三利用放縮法若進(jìn)行適當(dāng)放縮，有 an 1f (n1

3、)f ( n) an ，則 a1a2anan 1，即數(shù)列 an 是單調(diào)遞增數(shù)列，所以數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為 a1f (1)；若進(jìn)行適當(dāng)放縮，有 an 1f (n1)f (n) an ，則 a1a2anan 1，即數(shù)列 an 是單調(diào)遞減數(shù)列，所以數(shù)列 an 的最大項(xiàng)為 a1f (1).策略四利用導(dǎo)數(shù)法為求出 anf (n) 的最大值或最小值，可以轉(zhuǎn)化為求出輔助函數(shù)y f ( x)( x1) 的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可知數(shù)列 an 的單調(diào)性，最后求出數(shù)列 an 的最大項(xiàng)或最小項(xiàng) .策略五先猜后證通過分析，推測(cè)數(shù)列 an 的某項(xiàng) ak (k N*) 最大（或最小），再證明 anak (

4、或 anak )對(duì)于一切 n N *都成立即可 .這樣就將求最值問題轉(zhuǎn)化為不等式的證明問題.一、一題多解，殊途同歸，培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性例 1已知函數(shù) f ( x)3x 26xn 是數(shù)列 an的前 nn）（ nN * ）， S項(xiàng)和，點(diǎn)（ n，S在曲線 yf ( x) 上 .（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（）若 bn( 1) n1 ， cnanbn，且 Tn 是數(shù)列 cn 26的前 n 項(xiàng)和 . 試問 Tn 是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出Tn 的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解（）因?yàn)辄c(diǎn)（ n，Sn）在曲線 yf (x) 上，又 f ( x)3x26x ，所以S3n 26n .n當(dāng) n=1 時(shí)，

5、a1S13 .當(dāng) n1 時(shí)， anSnSn 1(3n26n)3( n1)26(n1)96n?,所以 an96n .11(96n)( 1 )n 11（）因?yàn)??,?c2nn?bn()nnan bn(32)( )66,22所以 Tn1(1)(1) 2(3)(1)3(3 2n)(1 ) n ?,22221Tn ( 1) 2(1)(1)3(3)( 1)4(32n)( 1 ) n 1 ?,22222得1 Tn1(2)(1)2(2)(1)3( 2)( 1 ) n(32n)( 1) n 12222221( 1 )2 1 ( 1 ) n 1 1(2)22(3 2n)(n 121).1221 ) n整理得 Tn

6、(2n1)(1 ，2策略一利用差值比較法由式得 Tn1 (2n3)( 1 ) n 11，所以2Tn 1Tn(2n 3)(1 ) n 1(2n 1)( 1 )n22?( 2n3)( 1)(2n1)( 1 ) n22? n3(2n1)( 1 ) n( 1n)( 1 ) n ?.2222因?yàn)?n1，所以 1n0 .12又(n，所以TT0所以TT，21 ?.所以 T1T2T3TnTn1. 所以 Tn 存在最大值 T12策略二利用商值比較法由式得 Tn1(2n 1)(1 )n0 .12因?yàn)?Tn 11( 2n3)()n 12n 3( 2n 1) 2 ?,2Tn1(2n1)(1)n2(2n1)2(2n1)

7、21 (121 (12 )5)2122n1216所以 Tn 11Tn1 ，即 Tn 1Tn . 所以 T1T2T3TnTn 1/1所以 Tn 存在最大值T1.2策略三利用放縮法由式得 cn 132(n1)( 1 ) n 1(12n)( 1 ) n 10 ，又因?yàn)?Tn 是數(shù)列 cn 的前22n 項(xiàng)和，所以 Tn 1 Tncn 1Tn . 所以 T1T2T3TnTn 1所以 Tn 存在最大值 T11.2策略四利用導(dǎo)數(shù)江考查函數(shù) g( x)(2x1)( 1) x1( x1)的單調(diào)性 .2g ( x) 2( 1) x(2 x 1)( 1 ) xln 1222?1)x 2(2x1) ln1 ?22因?yàn)?/p>

8、 x1 ，所以 2x13，而 ln10 ，所以 (2x1) ln13ln1 ?.1111222)3lnln2 ，又 3 lnln(8222e所以 (2 x1) ln 12，所以 2(2x1) ln 10 .22又 ( 1 ) x0，所以 ( 1 )x 2( 2x1) ln 1 0，222即 g ( x)0 ，所以 g( x) 在 1?,?上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)x=1 時(shí)，g(x)maxg (1)(21)1121.1) x21 )n因?yàn)?g (x)(2x1)(1(x1) ，所以 Tng(n)(2n1)(1 ，212所以 Tn 存在最大值 T1.2策略五先猜后證通過分析，推測(cè)數(shù)列 Tn 的第一項(xiàng)

9、 T11最在 .2下面證明： TnT1 ( n2且 nN*) .方法 1分析法因?yàn)?Tn(2n1)(1 ) n1 ，所以只要證明( 2n 1)(1) n11.222即只要證明 ( 2n1)( 1) n3.只需要證明 32n4n2 .22即只要證明 3 2n4n20由二項(xiàng)式定理得n2且 n* 時(shí)，2 n(11) nC n0C n1C n21nn(n1)n2n2 ，所以223 2 n4n 2 3n2n 24n 23n22?5n22?( n1)(3n2)0?.2所以 3 2n4n2 0成立.所以 TnT1 ( n2)成立.所以 Tn 存在最大值 T11.2方法 2利用數(shù)學(xué)歸納法（ i）當(dāng) n=2 時(shí)

10、，因?yàn)?Tn(2n1)(1 ) n1，所以 T2(41)(1) 2111T1 ，不等式成立 .2242（ ii ）假設(shè) nk(k2) 時(shí)不等式成立，即TkT1 .則當(dāng) n k1時(shí)， Tk 1Tkck 1T1ck 1 ?.由式得 ck1 32(k1)(1)k 1(12k )(1) k 10?.所以 Tk 1T1 .22這就是說，當(dāng)n=k+1 時(shí)，不等式也成立 .由（ i）（ ii ）得，對(duì)于一切n2且 nN * ，總有 TnT1成立 .所以 Tn 存在最大值 T11.2Tn 最大值的多種方法，靈活多變，也是求數(shù)列最值評(píng)注 本題（）的解答給出了求問題的常規(guī)方法 .二、嘗試探究，選定方案，培養(yǎng)學(xué)生思

11、維的深刻性例2 在數(shù)列an 中， a1，an 1ann 1(2)2n(nN )，其中0 2（）求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和 Sn ；（）證明存在kN ，使得 an 1 ak 1對(duì)任意 n N 均成立anak解（ ） 由 an 1ann 1(2)2 n （ nN* ），0，可得an 12 n 1an2 n1，所以 an2n 為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為 0，故n 1( )n( )n()an2nn 1， 所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an(n 1)n2nn( ).（） 解：設(shè) Tn22 33 4(n 2)Tn32 43 5(n 2) n(n 1)n 1(n1) n ，n

12、1當(dāng)1 時(shí)，式減去式，2n 1得 (1 )Tn23n( n 1) n 1(n 1) n 1，1Tn2n 1( n 1) n 1(n 1) n 2n n 12(1)21(1)2這時(shí)數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和 Sn( n1)n2nn 122n12 (1) 2當(dāng)1 時(shí)， Tnn(n1)這時(shí)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Snn(n1)2n 12 22（） 證明 ：通過分析，推測(cè)數(shù)列an1的第一項(xiàng)a2最大，下面證明：ana1an 1a224 , n 2 ana12由 an(n 1) n2n ，0 知 an 0 ， 要 使 式 成 立 ， 只 要2an 1( 24)an (n 2) ，因?yàn)?(24) an(24)

13、(n1) n(21)2n4 (n 1) n4 2n4( n 1) n 12n 2 2n n 12n 22an 1， n 2 所以式成立因此，存在 k1 ，使得 an 1 ak1a2對(duì)任意 nN 均成立anaka1評(píng)注本題（）設(shè)計(jì)非常精彩. 為證明“存在k N* ，使得 an1ak 1對(duì)任意anakn N *均成立”，可以轉(zhuǎn)化為思考“存在 kN * ，使得 ak 1是數(shù)列an 1的最大項(xiàng)”問題 .akan本小題若用差值比較法轉(zhuǎn)化為探究an 2an1差值與 0 的大小、用商值比較法轉(zhuǎn)化為探究an 1anan 2an1 商值與1 的大小、 用單調(diào)性法把通項(xiàng)公式為bnan1nn 12n 1的數(shù)列an

14、1anan(n 1) n2n bn 的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為探究函數(shù)f (x)xx 12x1的導(dǎo)數(shù)問題以及放縮法解決問( x1)x2 x題，都頗有難度 . 雖然說上述方法都是解決數(shù)列最值問題的通性通法，碰壁后若不能及時(shí)調(diào)整解題策略，就會(huì)泥牛入海，不能自撥. 而使用策略五，先敏銳、大膽、果斷猜出an 1a224方法非常奏效 . 命ana1(n 2) ，再用分析法以及重要不等式證出這個(gè)結(jié)論，2an 1 a224(n2) 這個(gè)結(jié)論，讓考生去證明；題高明之處就在于不是直接拋出了a12an而是讓考生先自己探究出結(jié)論再論證，富有挑戰(zhàn)性. 這也是現(xiàn)在高考命題的一大亮點(diǎn)，要求學(xué)生學(xué)會(huì)先猜后證，能夠很好地考查學(xué)生思維

15、的深刻性.三、辨析模式，分類討論，培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性例 3在數(shù)列 an 中， a1 1 k?,?a n1an1kN ），其中 k 是常數(shù)，n 2（ nn且 25 k 36 .（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列 an 的最小項(xiàng) .an 1an1k（ nN ），所以 an 1ank解（）因?yàn)閚2n11)，即n(nan 1an1k 1n1.n1當(dāng)n 2時(shí)， a2a1k(11?a3a21k 1 1 ?,? ?,?1),232anan 1111.k1nn以上 n-1個(gè)式子相加得 ana1n1k(11) ，即 ana1n 1k (11 ) .nn又 a11k ，所以 an1kn1k (11 ) ，即

16、 annk (n2?,?3?,? ) .nn當(dāng) n=1 時(shí)，上式也成立.所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 annk (n1?,?2?,3?,? ) .nk an 的單調(diào)性，注意到ann1?,?2?,?3?,? ) ，可設(shè)函數(shù)（）為考查數(shù)列( nnkkx2kf ( x) xx)( x 1) ，則 f (x) 1x2 ，即 f ( x)x2.可知 x1?,? k時(shí)， f( x) 0 ；xk 時(shí)， f ( x)0 ；x (k ?,? ) 時(shí)， f (x) 0 .所以函數(shù)kf ( x)x在 1，k 上是減函數(shù)；在k ,上是增函數(shù) .x因?yàn)?25k36 ，所以 5k6 .（ 1）當(dāng)k5 ，即 k=25 時(shí)，

17、a1a2a3a4a5 ?,?a 5 a6a7.所以數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為a5 52510.5（ 2）當(dāng)k6 ，即 k=36 時(shí)，a1a2a3a4a5a6 ?,?a 6a7. 所以數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為a636.6126kk（ 3）當(dāng) a5=a6，即 5656，即 k=30 時(shí)，aa2a3a4a, aa6a7.所以數(shù)列 a的最小項(xiàng)為15? 5na5a63011 .66kk（ 4）當(dāng) a5a6 且k 5時(shí)， 56且 k25 ，則25 k 30 ，56ka1a2a3a4a5 ?,?a 5a6a7. 所以數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為 a5 5.kk5（ 5）當(dāng) a5a6 且 k6時(shí)， 5且 k36 ，則 3

18、0k 36 ，566a1a2aa4a5a , aa7.36? 6所以數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為 a6k6.6綜上所述：當(dāng) k=25 時(shí)，數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為a5=10 ；當(dāng) 25k 30 時(shí)，數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為a55k；當(dāng) k=30 時(shí)，數(shù)列 an 的最小項(xiàng)為a5=a6=11；當(dāng) 30k1 的自然數(shù)，不等式 an 1an2a2 n1 log( a1)2恒123成立，試求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .解：（）因?yàn)閍n1(11， an(n N *) ，a=1，所以 an0.)?n 1所 以 an 1nanan 1a2a1n 1 n 2 1a11ann 1 . 所 以 anan 1an 2a1nn 1 2n a1 .而a1=1 ，所以 an1.n（）設(shè) bnan 1an 2a2 n (n N *) ， man1111由（）知，所以 bn1n22n，所以nnbn111111，所以n2n32n2