數(shù)學(xué)史研究之微積分的發(fā)展

1、數(shù)學(xué)史研究之微積分的發(fā)展這學(xué)期，我我選修了了數(shù)學(xué)史史這門課課程，聽聽了一個個學(xué)期下下來，隨隨著老師師的精心心講解，我我對數(shù)學(xué)學(xué)又有了了重新的的認識，以以前只是是學(xué)習(xí)、做做題，數(shù)數(shù)學(xué)題倒倒是做了了不少，可可是真要要說對數(shù)數(shù)學(xué)的認認識，還還有很大大的差距距，甚至至連概念念都數(shù)不不清楚，所所以，想想要學(xué)好好數(shù)學(xué)，對對數(shù)學(xué)史史的研究究必不可可少。數(shù)數(shù)學(xué)史，顧顧名思義義，分開開來理解解，數(shù)學(xué)學(xué)與歷史史，他的的研究對對象涉及及到數(shù)學(xué)學(xué)以及歷歷史，所所以和傳傳統(tǒng)的數(shù)數(shù)學(xué)研究究方法又又不同，他他著重于于研究過過去歷史史上的數(shù)數(shù)學(xué)方法法，數(shù)到到歷史，他他又為我我們展現(xiàn)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)的一個個發(fā)展過過程，帶帶我們走走過

2、了幾幾千年的的數(shù)學(xué)歷歷史，從從簡單到到復(fù)雜，逐逐步為我我們剖析析，使我我們對數(shù)數(shù)學(xué)的發(fā)發(fā)展過程程有了大大概的了了解，作作為一個個當代大大學(xué)生，我我想大家家都有必必要了解解這些，數(shù)數(shù)學(xué)在當當今社會會已變得得越來越越重要以以及普遍遍，幾乎乎涉及到到每個方方面，所所以學(xué)好好數(shù)學(xué)對對每一個個人的思思維鍛煉煉有很大大好處。談到高等數(shù)數(shù)學(xué)，大大學(xué)生能能應(yīng)該都都知道，這這是大學(xué)學(xué)必修的的基礎(chǔ)學(xué)學(xué)科。而而其中微微積分又又是重中中之重，貫貫穿整個個高等數(shù)數(shù)學(xué)，以以及其他他理工課課程。學(xué)學(xué)好微積積分，對對深入學(xué)學(xué)習(xí)一些些課程很很重要。微微積分的的創(chuàng)立，被被譽為“人類精精神的最最高勝利利”。在118世紀紀，微積積分

3、進一一步深入入發(fā)展，這這種發(fā)展展與廣泛泛的應(yīng)用用緊密交交織在一一起，刺刺激和推推動了許許多數(shù)學(xué)學(xué)新分支支的產(chǎn)生生，從而而形成了了“分析”這樣一一個在觀觀念上和和方法上上都具有有鮮明特特點的數(shù)數(shù)學(xué)領(lǐng)域域。在數(shù)數(shù)學(xué)史上上，188世紀可可以說是是分析的的時代，也也是向現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)過度的的重要時時期。 微微積分學(xué)學(xué)的觸角角幾乎遍遍至當今今科學(xué)的的各個角角落,是當代代科學(xué)大大廈的重重要石,微積分分的發(fā)展展過程是是數(shù)學(xué)家家集體智智慧的結(jié)結(jié)晶。微微積分的的發(fā)展大大致可分分為以下下4個階段段:早期萌萌芽,醞釀時時期,創(chuàng)建期期,發(fā)展完完善期。一：早起萌萌芽 微微積分，顧顧名思義義，涉及及到微分分與積分分，他們們

4、的發(fā)展展是獨立立的，接接下來我我想大家家分別介介紹。積分學(xué) 積積分學(xué)的的思想萌萌芽可以以追溯到到古代,因為面面積與體體積的計計算自古古以來一一直是數(shù)數(shù)學(xué)家們們感興趣趣的課題題,這里介介紹幾位位具有突突出貢獻獻的數(shù)學(xué)學(xué)家以及及他們的的學(xué)術(shù)理理論,他們的的理論代代表著數(shù)數(shù)學(xué)研究究的思想想、精神神和方法法。 古古希臘數(shù)數(shù)學(xué)家歐歐多克斯斯(約公元元前4110 - 前3477年)發(fā)展安安提豐的的“窮竭法法”為“設(shè)給定定兩個不不相等的的量,如果以以較大的的量減去去比它的的一半大大的量,再以所所得量減減去比這這個量的的一半大大的量,繼續(xù)重重復(fù)這一一過程,必有某某個量將將小于給給定的較較小的量量”。歐多多克斯

5、的的窮竭法法可看作作微積分分的第一一步,但沒有有明確地地用極限限概念,也回避避了“無窮小小”概念,并證明明了“棱椎體體積是同同等同高高的棱柱柱體積的的三分之之一”。古希希臘數(shù)學(xué)學(xué)家阿基基米德(公元前前2877 - 前2122 )在在處理理力學(xué)問問題的方方法一一文中闡闡明了“平衡法法”,即“將需要要求積的的量(面積、體體積等)分成許許多微小小單元(如微小小線段、薄薄片等) ,再再用另一一組微小小單元來來進行比比較,而后一一組小單單元的總總和是可可以計算算的,但它要要借助于于杠桿的的平衡原原理來計計算”。實質(zhì)質(zhì)上“平衡法法”是一種種原始的的“積分法法”。阿基基米德用用“平衡法法”證明了了球體積積公

6、式:球體積積= , 且等等于外切切圓柱體體積的。 中中國數(shù)學(xué)學(xué)家劉徽徽(生于公公元2663 年年) ,發(fā)明了了“割圓術(shù)術(shù)”“割割之彌細細,所失彌彌少,割之又又割,以至于于不可割割,則與圓圓合體而而無所失失矣”,并求得得圓周率率 3.14 。 祖祖暅(5世紀紀- 66世紀) ,解決決了劉徽徽絞盡腦腦汁未果果的求球球體積問問題,祖用的的方法是是祖氏定定理“冪勢既既同,則積不不容異”和“岀入相相補原理理”,祖暅的球體體積公式式為V 球= (D為球球的直徑徑) 。微分學(xué) 與與積分學(xué)學(xué)相比,微分學(xué)學(xué)的起源源則要晚晚得多,早期應(yīng)應(yīng)用微分分學(xué)思想想是靜止止的,不是動動態(tài)的,與現(xiàn)代代微積分分相差甚甚遠。二：醞

7、釀時時期 115, 16世世紀在歐歐洲文藝藝復(fù)興的的高潮中中,數(shù)學(xué)的的發(fā)展與與科學(xué)的的革命緊緊密結(jié)合合在一起起,提出了了以下亟亟待解決決的問題題: (1)如何何確定非非勻速運運動物體體的速度度與加速速度及瞬瞬時變化化率問題題。(2)望遠遠鏡的設(shè)設(shè)計需要要確定透透鏡曲面面上任意意一點的的法線,求任意意曲線切切線的連連續(xù)變化化問題。(3)確定定炮彈的的最大射射程及尋尋求行星星軌道的的近日點點與遠日日點等涉涉及的函函數(shù)極大大值、極極小值問問題。(4)行星星沿軌道道運動的的路程、行行星矢徑徑掃過的的面積以以及物體體重心與與引力的的計算等等。為解決科學(xué)學(xué)發(fā)展所所帶來的的一系列列問題, 177世紀上上半葉

8、被被人們遺遺忘千年年的微積積分重又又成為重重點研究究對象,幾乎所所有的科科學(xué)大師師都竭力力尋求這這些問題題的解決決方法,有代表表性的成成果有以以下幾個個方面:開普勒與旋旋轉(zhuǎn)體體體積 德德國天文文學(xué)家、數(shù)數(shù)學(xué)家開開普勒(15771 - 16630)在16115年發(fā)發(fā)表的測測量酒桶桶的新立立體幾何何中,采用“用無數(shù)數(shù)個同維維無限小小元素之之和來確確定曲邊邊形的面面積及旋旋轉(zhuǎn)體的的體積”。例如如,他認為為球的體體積是無無數(shù)個小小圓錐的的體積的的和,這些圓圓錐的頂頂點在球球心,底面則則是球的的一部分分;他又把把圓錐面面看作極極薄的圓圓盤之和和,并由此此計算出出它的體體積,然后得得出球體體體積為為:球的

9、半半徑乘以以球面面面積的三三分之一一( V = RR 4 ) ?？ㄍ吡欣锊徊豢煞至苛吭硪獯罄麛?shù)學(xué)學(xué)家卡瓦瓦列里( 15598 - 116477)在用用新方法法促進的的連續(xù)不不可分量量的幾何何學(xué)中中發(fā)展了了系統(tǒng)的的不可分分量方法法:“兩個等等高的立立體,如果它它們的平平行于底底面且離離開底面面有相等等距離的的截面面面積之比比為定值值,那么這這兩個立立體的體體積之間間也有同同樣的比比”(當比為為1: 1時,就是祖祖原理,只不過過相差11 0000多年年) ,并于16639年年利用平平面上不不可分量量原理建建立了等等價于積積分的基基本結(jié)果果,使早期期積分突突破體積積計算的的現(xiàn)實原原型而向向一般算算

10、法過渡渡。沃利斯“無無窮算術(shù)術(shù)”英國數(shù)學(xué)家家沃利斯斯( 116166 - 17003)是是牛頓和和萊布尼尼茨之前前將分析析方法引引入微積積分貢獻獻最大的的數(shù)學(xué)家家,并在無無窮算術(shù)術(shù)中用用“分析”的途徑徑發(fā)展積積分法,并獲得得許多重重要成果果,比如將將冪函數(shù)數(shù)積分公公式推及及到分數(shù)數(shù)冪 ,不過沃沃利斯僅僅對q = 11的特例例給出了了證明。笛卡爾“圓圓法” 法法國數(shù)學(xué)學(xué)家笛卡卡爾( 15996 - 16650)在幾幾何學(xué)中中提到了了用代數(shù)數(shù)方法求求切線的的方法“圓法”。笛卡爾的代數(shù)方法在推動微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響,牛頓就是以笛卡爾的“圓法”為起跑點而踏上研究微積分的道路的。費馬求極大大

11、值與極極小值的的方法法國業(yè)余數(shù)數(shù)學(xué)家費費馬( 16001 - 16665)在給梅梅森的一一封信中中提出了了求極大大值與極極小值的的代數(shù)的的方法。按按費馬的的方法,設(shè)函數(shù)數(shù)f (x) 在點a處取值值,用a+ e代替替原來的的未知量量a ,并使f ( aa + e) 與f ( a) 逼近近,消去公公共項后后, 用e 除兩兩邊再令令e 消失失, 即,此方程程求得的的a 就是是f ( x) 的極極值點。巴羅微分三三角英國數(shù)學(xué)家家巴羅(16330 - 16677)在幾幾何講義義中應(yīng)應(yīng)用“微分三三角形”給出了了求曲線線切線的的方法,這對于于他的學(xué)學(xué)生牛頓頓完成微微積分理理論起到到了重要要作用。三：微積分分

12、學(xué)的創(chuàng)創(chuàng)建 微積分學(xué)是是由牛頓頓與萊布布尼茨分分別獨立立創(chuàng)建的的。1.牛頓的的“流數(shù)術(shù)術(shù)” 英國數(shù)學(xué)家家牛頓(16442 - 17727)于16665年11月發(fā)發(fā)明“正流數(shù)數(shù)術(shù)”(微分法法) , 16666年年5月建立立“反流數(shù)數(shù)術(shù)”(積分法法) 。16666年10月,牛頓將將前兩年年的工作作總結(jié)為為流數(shù)數(shù)簡論,明確了現(xiàn)代微積分的基本方法,是歷史上第1篇系統(tǒng)的微積分文獻。牛頓將自古希臘以來的求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法) 正、反流數(shù)術(shù)(流數(shù)就是微商) ,并證明了二者的互逆關(guān)系,將這兩類運算進一步統(tǒng)一成整體,這是他超越前人的功績,也正是在這樣的定義下,我們說牛頓發(fā)明了微積分。應(yīng)用

13、微積分理論,牛頓在1687 - 1693年里相繼發(fā)表了運用無限多項方程的分析(分析學(xué)) 、流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)(流數(shù)法) 、曲線求積術(shù)(求積術(shù)) 。在這些文獻中他改變了自己對無限小量的依賴,提出了極限方法的先導(dǎo)“首末比方法”,第1次引進流數(shù)記號,一次流數(shù)x, y, z,二次流數(shù), , 等。2.萊布尼尼茨德國數(shù)學(xué)家家萊布尼尼茨( 16446 - 17716)是從巴巴羅的“微分三三角形”切入微微積分研研究工作作的,他在研研究“微分三三角形”時認識識到:“求曲線線的切線線依賴于于縱坐標標的差值值與橫坐坐標的差差值在變變成無限限小時之之比;求曲線線的面積積則依賴賴于無限限小區(qū)間間上的縱縱坐標之之和”。早在

14、在16666年,萊布尼尼茨在組組合藝術(shù)術(shù)一書書中討論論過數(shù)列列問題并并求得許許多重要要結(jié)論。1972 年開始,萊布尼茨將他對數(shù)列研究的結(jié)果與微積分運算結(jié)合起來, 1675年10月29日的一份手稿中,他決定用sum拉長的s, 表示積分, 1676年11月,萊布尼茨已經(jīng)能夠給出冪函數(shù)的微分與積分公式: dx與 (其中不一定是正整數(shù)) 。1677年,萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理) 。優(yōu)先權(quán)之爭爭瑞士數(shù)學(xué)家家德丟勒勒于16699年年在一本本小冊子子中提出出: “牛頓是是微積分分的第一一發(fā)明人人”“萊布布尼茨是是微積分分的第二二發(fā)明人人”。從而而引發(fā)了了牛頓與與萊布尼尼茨“發(fā)明微微積分”

15、優(yōu)先權(quán)權(quán)的爭論論,這場爭爭論被稱稱為“科學(xué)史史上最不不幸的一一章”,并導(dǎo)致致了英國國與歐洲洲國家在在數(shù)學(xué)發(fā)發(fā)展上的的分道揚揚鑣。事事實上,牛頓與與萊布尼尼茨是相相互獨立立的發(fā)明明微積分分的。四：微積分分的完善善時期牛頓與萊布布尼茨的的微積分分還只能能說是姍姍姍學(xué)步步的孩童童時期,還很不不完善,歷經(jīng)眾眾多數(shù)學(xué)學(xué)大家的的發(fā)展才才有了今今天的面面貌,主要代代表人物物有:瑞士數(shù)數(shù)學(xué)家歐歐拉( 1700717783)在17448 年年出版的的無限限小分析析引論以以及隨后后發(fā)表的的微分分學(xué)和和積分分學(xué)中中同時引引進了一一批標準準的符號號,如: f ( xx) 函數(shù)符符號, 求和和符號, e 自然對對數(shù)底,

16、 i 虛數(shù)號號等等,對分析析表達的的規(guī)范化化起了重重要作用用。法國國數(shù)學(xué)家家柯西(17889 - 18851)在分分析教程程和無無限小計計算教程程概論中中,以嚴格格化為目目標,對微積積分的基基本概念念如變量量、函數(shù)數(shù)、極限限、連續(xù)續(xù)性、導(dǎo)導(dǎo)數(shù)、微微分等給給出了明明確的定定義,并在此此基礎(chǔ)上上重建和和拓展了了微積分分的一些些重要事事實與定定理,如證明明連續(xù)函函數(shù)的積積分(作為和和式的極極限)的存在在性、證證明級數(shù)數(shù)Sn 收斂的的判別準準則、中中值定理理等,柯西的的工作向向分析的的全面嚴嚴格化邁邁出了關(guān)關(guān)鍵的一一步。但但由于實實數(shù)系的的不明確確,微積分分還不夠夠完善,邏輯上上仍存在在著一些些問題,這導(dǎo)致致了199世紀后后半葉數(shù)數(shù)學(xué)史上上著名的的“分析算算術(shù)化”運動。德德國數(shù)學(xué)學(xué)家維爾爾斯特拉拉斯( 18115 - 18897)認為實實數(shù)系是是解決極極限與連連續(xù)等概概念的關(guān)關(guān)鍵,從而成成為全部部分析的的本源。要要使分析析嚴格化化,必須使使實數(shù)系系嚴格化化,最可靠靠的辦法法是按照照嚴密的的推理將將實數(shù)歸歸結(jié)為整數(shù)(有理理數(shù)) ,這樣樣分析的的所有概概念便可可由整數(shù)數(shù)導(dǎo)出,使以往往的漏洞洞和缺陷陷都能得得以填補補。這就就是“分析算算術(shù)化”綱領(lǐng)。維維爾斯特特拉斯和和他的學(xué)