第十三屆全國周培源大學生力學競賽(個人賽)試題點評

1、第十三屆全國周培源大學生力學競賽（個人賽）試題點評2021年5月23日，第十三屆全國周培源大學生 力學競賽（個人賽）落下帷幕，這是由教育部高教司 委托中國力學學會和周培源基金會主辦的全國大學 生力學賽事。對比1988年第一屆賽事僅有62人參 加，今年參賽人數(shù)達到創(chuàng)紀錄的30 369人，比2019 年的第十二屆參賽人數(shù)增加了 14%。參加競賽的學 生主要來自大學二、三年級的力學、土木水利、機 械、能源動力、航空航天等專業(yè)。通過參加競賽，檢 驗了大學生對理論力學和材料力學等基礎力學課程 知識的理解和掌握程度。個人賽的命題范圍包含基礎題和提高題兩個部 分，對全國高?；A力學課程的教學具有指導意義 和

2、參考價值。本文點評了本屆的力學競賽題，評議題 目內(nèi)容的難易程度，是否是現(xiàn)行教學大綱的內(nèi)涵和 外延。1個人賽試題點評本屆比賽的理論力學和材料力學題目共7道題, 基礎題部分4道題和提高題部分3道題，各占總成 績的50%?；A題的第1，2題為理論力學題目，第 3, 4題為材料力學題目。第57題是內(nèi)容比較綜合 的提高題。點評如下。第1題（18分）：是利用同一機構設計的靜力 學、運動學和動力學的混合問題。題目：鉛垂面內(nèi)的機構如圖1所示，由直角桿 ABC，BC1，CDE，CiDE1 鉸接而成，銷釘 A1 可 沿固定水平滑槽運動，AB = BC = AiB = BCi = CD = CiD = a，DE =

3、 DEi = 2a。1）已知圖示瞬時AB與水平線AAi的夾角為 9, ABC的角速度為3，求CDE和CiDEi的角速 度 3CDE 和 3c1 DE1 ； （5 分）2）已知ABC上作用力偶M，E和Ei點通過剛 度為k、原長為2a的彈簧連接，均質(zhì)桿DE和DEi 的質(zhì)量均為m，忽略其他桿的質(zhì)量和各處摩擦。為 使系統(tǒng)在9 = 45。的位置平衡，求銷釘Ai上的水平 力F； （5分）3）若在上述平衡位置突然撤去力F，求該瞬時 ABC的角加速度 以ABC。 （8分）圖1第1題圖點評：第1）問是運動學問題，求角速度，有不 同方法求解。最簡單的方法是列出相關角度的表達 式，進行求導。這一方法需要充分利用幾何

4、關系，但 是大部分學生不容易想到。在理論力學教學中，一般 有兩種方法求解運動學問題。一種方法是在一般位置列出坐標、角度的表達 式，然后進行求導。由于這種方法偏重數(shù)學計算，沒 有體現(xiàn)力學的概念和技巧，所以在教學中基本上是 一帶而過，學生可能不重視，但本題用這種方法最為 簡潔。另一種方法是利用基點法或復合運動，通過動 點、動系、牽連運動、相對運動等明顯具有力學含義 的運動量，分析出未知的運動。這是運動學教學中 的重點，學生接受了大量訓練，所以容易從這方面思 考，但是這樣做的工作量比較大。第2）問是靜力學問題，求系統(tǒng)平衡時力的大小, 也有不同方法求解。靜力學通常有幾何靜力學與分析靜力學兩種方 法：幾

5、何靜力學從受力的角度進行分析，如果系統(tǒng) 復雜，則適當拆開系統(tǒng)，把約束解除施加約束力，畫 受力圖，列出平衡方程。這種方法通常比較繁瑣，拆 開系統(tǒng)后暴露出一些未知約束力，需要巧妙選擇研 究對象并列寫合適的平衡方程，有時還需要求解聯(lián) 立方程，求解有一定的技巧也比較麻煩。分析靜力學從虛功的角度找出系統(tǒng)平衡時主動 力或主動力偶矩之間的關系。分析靜力學最大的特 點是把系統(tǒng)整體處理，不拆開，不暴露出多余的未知 約束力。因此對一個自由度系統(tǒng)的平衡問題，處理起 來最方便，本題就是這樣。第3）問是動力學問題，突然撤出所施加的外力, 也有不同方法求解，包括動量原理（動量定理和動量 矩定理）、達朗貝爾原理（動靜法）、

6、動力學普遍方程、 拉格朗日方程等，所有方法都比較繁瑣，相對來說動 靜法稍微簡單一些。評論：本題把靜力學、運動學、動力學融合在一 起，是比較綜合的題目。從題目設計的角度看，第1） 問較好，存在不同的解題方法，工作量差異明顯不 同，容易考察出學生的靈活性。第2）問也比較好, 存在不同的方法，且工作量差異比較大，容易考察學 生的解題能力。第3）問不是很好，各種方法都很繁 瑣，而且基本上沒有什么靈活性。作為競賽題，一旦 可以用拉格朗日方程或達朗貝爾原理來處理，就只 有工作量了，不容易區(qū)分學生的潛力和水平。同時，第1）問也反映出一個問題：在計算機普及 之后，列方程求導也應該是運動學的重要方法，能夠 快速

7、獲得整個運動過程中全部運動參數(shù)的關系；而 基點法或復合運動強調(diào)力學概念，但只能對特定位 置進行分析。第2題（12分）是涉及碰撞的動力學問題，比 較綜合。題目：圖2（a）為可在火星上滾動的無輪緣車 輪，由n根直桿在中點固結(jié)而成。假設n = 3，各桿 質(zhì)量均為2m、長度均為2R，相鄰桿間的夾角均為 60。，如圖2（b）所示。車輪在鉛垂面內(nèi)向右滾動，桿 件各端點依次與路面發(fā)生完全塑性碰撞，且不發(fā)生 相對滑動。端點A與路面碰撞前、后瞬時車輪的角 速度分別記為和，端點B與路面碰撞前、 后瞬時車輪的角速度分別記為即o和邊1。已知重 力加速度為g。1）求3夕1與3bo 的比值；（3分）2）如圖2（b）所示，

8、假設路面上與端點A，B，C 碰撞的三個點位于同一高度，求車輪能夠由圖中實 線位置滾動到虛線位置的3A1的最小值；（4分）(a)（b）圖2第2題圖3）車輪沿傾角為3 （3 0（1）由于求不出顯示表達式，采用計算機算出，3 7.08。時滿足要求（見圖3）。也許有人會奇怪，為什 么解答是一個范圍，而不是一個確定的角度。這是因 為題目假設了桿件各端點與路面發(fā)生完全塑性碰撞, 且不發(fā)生相對滑動（涉及摩擦），而摩擦問題的解通 常是一個區(qū)域。評論：本題設計比較巧妙，需要概念清楚，綜合 考慮較多因素，作為競賽題比較好。第3題（15分）是靜不定平面桿系交匯的靜力 學平衡問題，桿件的應力-應變關系為分段線彈性 和

9、小變形。題目：平面桿系結(jié)構由四根材料相同的圓截面 直桿組成，其中桿AC與桿BC長度相同、直徑均 為d1 = 20 mm，桿CD與桿CE長度相同、直徑均 為d2 = 40 mm，設計尺寸如圖4（a）所示。各桿材 料的應力-應變曲線如圖4（b）所示（分段線性），Oa 和ab段的彈性模量分別為Ea = 200 GPa，Eb = 50 GPa。裝配時發(fā)現(xiàn)桿AC和桿BC均比設計尺寸 短了 0.3 mm。1）求裝配完成后各桿的內(nèi)力；（7分）2）裝配完成后，在點C施加垂直向下的力F = 90 kN，如圖4（c）所示，求各桿的內(nèi)力。（8分）點評：軸向受力的四根桁架桿件交匯于鉸節(jié)點 C，為2次靜不定結(jié)構，材料為

10、雙線性彈性和小變形。 利用左右結(jié)構、桿件內(nèi)力和約束條件的對稱性，C點 水平位移為零，僅余下1次靜不定?；靖拍钍侵?造誤差不引起靜定結(jié)構的內(nèi)力變化，但是引起靜不 定結(jié)構的內(nèi)力重新分配。第1）問是桿件發(fā)生制造誤差后完成裝配引起的 內(nèi)力。由于上部兩桿產(chǎn)生制造誤差，使得靜不定桿件 體系的內(nèi)力重新分配。通過C點處力和位移的豎向 投影，建立平衡方程和變形協(xié)調(diào)條件。利用對稱性和 小變形，取對稱軸一側(cè)的隔離體建立平衡方程，在方 程中包含了材料的物性關系，即雙線性的應力-應 變關系，為1次靜不定問題。聯(lián)立平衡方程和幾何方 程（變形協(xié)調(diào)方程），求解兩根桿件的內(nèi)力。在材料 力學教材中有簡單靜不定桁架的例題和作業(yè)，

11、大部 分學生能夠完成這個求解過程，屬于基本訓練內(nèi)容。的基本題目。多數(shù)學生熟悉求解靜不定體系的平衡 和變形協(xié)調(diào)方程，知道如何入手分析。但是第2）問 的計算比較繁雜，需要試算判斷材料處于雙線性應 力-應變的哪個區(qū)間。這里需要注意的是不要將a 點之后的應力-應變曲線誤判為進入塑性，按照彈 塑性問題卸載。第4題（15分）是圓軸扭轉(zhuǎn)和拉伸時表面應變 狀態(tài)的計算題目：直徑為D、長度為l的實心圓軸試件如 圖5（a）所示。在圓周表面畫一微線段AB，其初始 位置與水平線AC成月角。當圓軸兩端受到外力偶 矩Me作用后，實驗測得微線段AB順時針偏轉(zhuǎn)了 月1。已知圓軸的材料常數(shù)E和舊，變形均在線彈性 小變形范圍內(nèi)。1

12、）求外力偶矩Me； （5分）2）在外力偶矩Me作用下再施加軸向拉力F， 如圖5（b）所示。實驗測得微線段AB偏轉(zhuǎn)角又增大 了 伽，求拉力F ； （5分）3）為提高實驗測試靈敏度，越大越好。當外 力偶矩Me和軸向拉力F同時作用且F = 8Me/D， 問月為何值時最大？ （5分）圖4第3題圖圖5第4題圖第2）問是C點作用垂直向下的集中載荷。因 為是雙線性彈性材料，根據(jù)受力后的桿件應力-應 變關系，判斷桿件材料處于哪個彈性階段，采用哪個 彈性模量。需要通過應力試算的方法求解，如果變形 超過彈性階段1，就要重新建立變形協(xié)調(diào)條件，考慮 疊加上彈性階段2的變形。如果考慮壓桿穩(wěn)定性校 核，就要采用細長桿屈曲

13、的歐拉公式。評論：這道題難易程度適中，是力學分析計算點評：第1）問是給定圓軸表面一條微線段（前 視圖），在產(chǎn)生圓軸扭轉(zhuǎn)變形的外力偶矩作用下產(chǎn)生 微小轉(zhuǎn)角，求所施加的外力偶矩的值（圖5（a）。首先 要清楚圓軸受純扭轉(zhuǎn)時，圓軸表面A點為純剪切應 力狀態(tài)，畫出A點處矩形單元的變形幾何關系（要 用到小變形的近似簡化），并要注意微線段的微小轉(zhuǎn) 角不是該點的剪應變（在材料力學中，剪應變是過某 點兩根變形前相互垂直的微線段在變形后直角的改 變量，且與微線段的方位有關），接著將剪切應力用 剪切應變乘以剪切模量表示，利用剪切應力與扭矩 的關系，獲得所施加的力偶矩的值。第1）問考驗學 生對扭矩、扭轉(zhuǎn)剪切應力-應變

14、關系的理解。第2）問是保持第1）問的微線段微小轉(zhuǎn)角和外 力偶矩，增加拉伸載荷，此時圓軸產(chǎn)生拉扭組合受力 和變形，通過實驗測得的微線段微小轉(zhuǎn)角增量，求所 施加的拉伸載荷。第2）問考驗學生對扭轉(zhuǎn)和拉伸組 合受力和變形的理解，比第1）問提高了難度。這兩 個問題都是已知變形求外力。出題很好，屬于基本 題目。第3）問求變形的極值問題。已知內(nèi)力求應力的 極值問題沒有難度，引入強度理論評估失效狀態(tài)。但 是，已知內(nèi)力求變形的極值問題是有難度的，計算也 比較復雜。引入極值條件，令轉(zhuǎn)角增量對轉(zhuǎn)角的一階 導數(shù)等于零，得到駐值；判斷二階導數(shù)的正負號，給 出極小或極大值。評論：這個題目出得很好，前兩個問題融合了 圓軸扭

15、轉(zhuǎn)中剪應變、剪應力與扭矩的關系。屬于基本 題目，不超綱，考驗學生對材料中一點的應變狀態(tài)和 角位移實驗測量以及剪應變正確概念的理解能力和 精確計算能力。第3）問是超出了大多數(shù)學生的知識范圍。目前 教材普遍講授一點應力狀態(tài)，比如彎曲、扭轉(zhuǎn)和拉伸 作用下的應力狀態(tài)，通過理論公式和應力莫爾圓計 算主應力和最大剪應力，給出一點應力狀態(tài)下的最 大主應力。學生普遍掌握剪切變形的計算問題。對于 一點應變狀態(tài)的分析內(nèi)容，在美國鐵摩辛柯編著的 材料力學教材和我國20世紀80-90年代的教材中 包含這部分內(nèi)容，但是目前大多數(shù)教材中沒有這部 分內(nèi)容，由于學時所限，課程內(nèi)也不講這部分內(nèi)容, 所以學生普遍不會做。第5題（

16、15分）是理論力學（已知運動求主動 力的動力學題）與材料力學的綜合問題。題目：圖6所示圓盤-連桿-活塞機構在鉛垂 平面內(nèi)運動，圓盤O上OA的長度為1000 mm，連 桿AB的長度為2000 mm、質(zhì)量為200 kg，活塞B 的質(zhì)量為200 kg，所有構件均可視為均質(zhì)體。在驅(qū)動 力F作用下，圓盤O以勻角速度/ = 100 rad/s逆 時針轉(zhuǎn)動?？紤]重力，不計摩擦。1）將圓盤O、連桿AB和活塞B均視為剛體。當6為何值時，活塞B上驅(qū)動力F的大小有多解? 當6 = 90。時，求活塞B上的驅(qū)動力F； （5分）圖6第5題圖2）將連桿AB視為變形體（不考慮連桿AB的 壓桿穩(wěn)定性問題）。已知連桿AB的橫截面

17、面積A = 12.8x 103 mm2，抗彎截面系數(shù) W = 1.0 x 106 mm3，材 料的許用應力a = 180 MPa。當機構運動到6 = 90。 時，校核連桿AB的強度，并畫出連桿AB彎矩圖 的大致形狀。（1分）點評：第1）問是機械運動的常識，知道機構在 運動時存在奇異位置或稱為“死點”（也稱運動死點、 機械死點）就很簡單，不知道則無從下手。所謂“機 械死點”，是指在平面連桿機構中，若以搖桿或滑塊 為主動件，當運動構件處于同一直線位置時，不論驅(qū) 動力多大，都不能使機構起動?；疖囀怯没钊ɑ瑝K）運動推導車輪轉(zhuǎn)動的，萬 一停車時處于“機械死點”位置，火車就開動不了。 為了避免這一現(xiàn)象，

18、兩側(cè)車輪與活塞的連接位置錯 開90。即可。第2）問是常規(guī)的動力學問題，可以運用質(zhì)系普 遍定理求解。這一題最簡便的方法是采用donf動力 學普遍方程求解：設AB桿與垂線角度為9,半徑為 尸，桿長為L，列出一般位置B點和AB桿中點C 的坐標，求導得到加速度，然后加上慣性力和慣性力偶，給出虛位移（見圖7），不用拆開系統(tǒng)，直接求出F。mABgA圖7系統(tǒng)加上慣性力、虛位移JCBaABmABgA圖7系統(tǒng)加上慣性力、虛位移JCBaABmiBg6ryB = r cos 0 + L cos 9yC = r cos 0 + ； L cos 9(2)對式（2）求導有(2)yB = r sin 00 L sin 99

19、r cos 002 - L cos 992yC = r sin 00 ：L sin 9912r cos 002 2 L cos 992利用 r sin 0 = L sin 饑以及 0 = n/2，寸=n/6，0 =100 rad/s? 0 = 0，代入式(3)有(4)系統(tǒng)加上慣性力及慣性力偶，注意圓盤勻速轉(zhuǎn) 動時慣性力偶為0, AB桿慣性力偶為JcaAB。加上 虛位移，利用AB桿瞬時平動（虛轉(zhuǎn)角為零，各處虛 位移相同），有(F + mB g + Sb )阮 + (mAB g + sab )阮 +Jc aAB 算=0 其中 Sb = mBy/B，Sab = mJc aAB 算=0F = mB （

20、yB + g） mAB （yc + g） = 1 736 kN （6）點評：本題第1）問較好，考察學生是否靈活掌 握了機械運動中的知識點。第2）問是常規(guī)的動力學 問題，沒有太多難點，計算步驟較多。采用動力學普 遍方程，不拆開系統(tǒng)，且充分利用AB桿瞬時平動、 圓輪勻速轉(zhuǎn)動的條件，很多問題整體計算很簡單，如 果拆開處理，就很繁瑣。第6題（25分）是質(zhì)點系動力學的綜合問題。題目：圖8示圓筒直立放置在光滑水平面上, 小球A可沿圓筒內(nèi)壁上的螺旋線溝槽無摩擦下滑。 已知小球A的質(zhì)量為m，均質(zhì)圓筒的質(zhì)量為2m、半 徑為R、高為h，螺旋線的升角0 =冗/6。初始時圓 筒靜止，將小球從螺旋線溝槽的頂部靜止釋放。

21、假設 小球下降過程中圓筒不會翻倒，水平面對圓筒的支 承力的合力記為Fn。求：1）圓筒的質(zhì)心相對地面的運動軌跡；（3分）2）小球運動到圓筒底部時，在地面上觀察到的 小球運動軌跡的總長度s； （6分）3）小球下降過程中Fn的大??；（6分）4）小球下降過程中Fn的作用線與圓筒軸線 間的距離d（表示為小球下降的垂直距離za的函 數(shù)）。（10分）點評：第1）問涉及動量定理中的質(zhì)心運動守 恒。若動量定理概念清楚，本題就比較簡單，應該是 送分題。第2）問中質(zhì)點相對圓筒的運動軌跡是螺旋線, 把圓筒展開，相對運動是沿直角三角形斜邊的運動 （圖 9（a）。0.5h1.50-0.5-1.000.51.01.52.0

22、2.53.0Za/R圖10作用點位置的變化圖9小球相對于圓筒的軌跡展開速度分析質(zhì)點運動時，軌道光滑，牽連運動在水平面內(nèi), 對垂直面內(nèi)的運動沒有影響，因此vaz = vr sin 0。 再利用水平面內(nèi)動量守恒以及對質(zhì)心的動量矩定理, 用小球相對圓柱的速度來表示其他運動量，由于切 向速度與垂直方向速度之比為常數(shù)，明確絕對運動 軌跡是（新的）螺旋線。然后根據(jù)速度方向沿軌跡的 切向，定出絕對運動螺旋線的升角50.5h1.50-0.5-1.000.51.01.52.02.53.0Za/R圖10作用點位置的變化圖9小球相對于圓筒的軌跡展開速度分析第3）問中，利用動能定理，找出相對速度與下 降高度的關系，求

23、導獲得垂直方向的角速度，然后利 用系統(tǒng)的質(zhì)心運動定理，得到作用力。第4）問中，根據(jù)前面的結(jié)果，利用動靜法，加 上慣性力和慣性力矩后，由力矩平衡方程得到支撐 力的位置。注意支撐力作用在整個圓筒底部，是分布 的平行力系，其最終的簡化結(jié)果是一個合力Fn,作 用點位置在動坐標系中為x, y。如果畫出y的變化曲線（圖10）,可以看出 不超出圓筒邊界，但是y可能會超出圓筒邊界（圓筒 高度約大于2.8倍半徑時，圓筒會傾倒）。這意味著 題目中的圓筒不會翻倒，實際上是有條件限制的。如果要看作用點相對地面的軌跡，需要進行轉(zhuǎn) 換（圖11,定坐標系原點為系統(tǒng)質(zhì)心）。圖11不同坐標系間的運動學關系由運動學關系有 TOC

24、 o 1-5 h z R = Ro + r（8）動系相對定系的坐標轉(zhuǎn)換矩陣為, cos 2 cos Y/ 、AXx =.（9）sin y sin y根據(jù)前面已經(jīng)得到的結(jié)果，在動系中Ro = -R/3x+y(10)（沿y負方向），則式（8）在定坐標系中投影后有x+y(10)XYcos y cos y sin y sin y根據(jù)前面已經(jīng)求出的關系式1zA = 2 aazV3A0R9,aaz則坐標系的轉(zhuǎn)角為根據(jù)前面已經(jīng)求出的關系式1zA = 2 aazV3A0R9,aaz則坐標系的轉(zhuǎn)角為(11)從而得到作用點在定坐標系中的運動軌跡（圖12中 大圓是圓筒邊界的包絡線：以質(zhì)心為圓心，半徑為 4R/3的圓

25、）。X/R圖12作用點在定坐標系中的運動軌跡圖13第7題圖第7題（20分）是充滿液體的直立圓錐形薄壁 金屬容器的靜力平衡問題。題目:“小口尖底彩陶瓶”是距今約6000年新 石器時代（仰韶文化）的汲水器或酒禮器，如圖13（a） 所示。現(xiàn)將其簡化為如圖13（b）所示的充滿液體的圓 錐形薄壁容器，處于鉛垂直立位置，上沿周邊支承, 圓錐角為2a,其體積按薄壁結(jié)構計算。容器的密度 為pc，容器各處壁厚均為6，液體的密度為pw，液 面高度為ho1）求容器內(nèi)沿母線方向的正應力； （6分）2）求容器內(nèi)與母線垂直且與表面相切方向的正 應力at; （6分）3）設 pc = 3pw,6 = h/90，a = 30。

26、，根據(jù)第三 強度理論求容器內(nèi)的最大相當應力。（8分）點評：第1）問和第2）問是求無矩內(nèi)力狀態(tài)下 的圓錐殼的正應力和面內(nèi)切應力，將某一點的應力 分量投影到母線方向，計算正應力和與母線垂直且 與表面相切方向的切應力。注意容器內(nèi)的液面是上 下變化的。考驗學生對殼體力系的簡化、內(nèi)力平衡和 強度計算分析等綜合能力。第3問是利用強度理論求最大相當應力。由于 是薄壁圓錐殼體，忽略殼體徑向應力作用（答案中給 出了考慮徑向應力的計算結(jié)果，其數(shù)值很小，可以忽 略），僅計算沿母線方向的正應力和與母線垂直且與 表面相切方向的切應力，即平面應力狀態(tài)。計算一點 的最大和最小主應力，得到最大切應力。然后代入第 3強度理論求

27、相當應力。評論：作為綜合性提高題，這道題非常有創(chuàng)意, 題目描述簡單清晰，出題人下了功夫和動了腦筋。它 展示了我國古代的汲水器或酒禮器，將其簡化為充 滿液體的圓錐形薄壁容器。但是，在材料力學教材 中僅講授了圓筒形薄壁容器，求解了在均勻內(nèi)壓作 用下沿母線和環(huán)線方向的正應力，不計筒壁的自重。 內(nèi)壓作用下的直立圓錐形薄壁容器，考慮容器內(nèi)變 化液面的流體質(zhì)量和外錐殼自重，幾何投影和受力 平衡關系復雜，超出了材料力學教學大綱內(nèi)容，考驗 學生對材料力學知識的擴展能力，需要力學概念清 楚，如何截取單元體更是本題的關鍵，并需要分析沿 母線方向和環(huán)向的載荷和單元體的平衡，熟悉運用 單元體上應力求其主應力和第三強度理論的計算公 式。這道綜合性題目超出了本科力學課程大綱內(nèi)容, 即便是學過板殼理論無矩內(nèi)力解答的研究生，也是 比較難的題目，況且很多學校即便是研究生也不再 開設板殼理論的課程