數(shù)學(xué)精神與方法第六講課件

1、數(shù)學(xué)精神與方法第六講 運(yùn)算與迭代的威力（二）3.2 經(jīng)典數(shù)學(xué)的統(tǒng)一 “數(shù)形合一”（續(xù)）上一節(jié)我們已看到怎樣從ZFC系統(tǒng)制定出自然數(shù)系，整數(shù)系，直至有理數(shù)系。本節(jié)將帶領(lǐng)大家看一看：怎樣由有理數(shù)系制定出實(shí)數(shù)系？怎樣理解實(shí)數(shù)系與直線的統(tǒng)一？怎樣理解數(shù)與形的統(tǒng)一？無(wú)理量的存在性思考題：證明上述命題。分析數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題 怎樣將有理數(shù)系擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系，從而達(dá)成“數(shù)與直線的統(tǒng)一”呢？ 這事實(shí)上是事關(guān)“分析數(shù)學(xué)”基礎(chǔ)的一個(gè)大問(wèn)題。 牛頓和萊布尼茲在17世紀(jì)發(fā)明的微積分理論，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”，開啟了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。然而，牛頓和萊布尼茲的微積分是不嚴(yán)格

2、的，特別在使用無(wú)窮小概念上是隨意和混亂的。這種狀況長(zhǎng)期困擾著數(shù)學(xué)家們，長(zhǎng)達(dá)200年之久。 數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)幾代人的不懈努力才搞清楚，徹底消除微積分理論的漏洞，靠的是有理數(shù)系的“完備化”思想，即將有理數(shù)系擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系實(shí)數(shù)系的理論。牛頓（Isaac Newton, 16421727)，最偉大的科學(xué)家之一。自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理于1687年出版。萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz, 16461716），德國(guó)數(shù)學(xué)家，微積分的創(chuàng)立者。牛頓與萊布尼茨牛頓和萊布尼茨都是他們所處時(shí)代的科學(xué)巨人，他們?cè)谙嗷オ?dú)立的情況下各自創(chuàng)立了微積分。就發(fā)明時(shí)間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發(fā)表時(shí)間而

3、言，萊布尼茨先于牛頓。微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論被認(rèn)為是“科學(xué)史上最不幸的一章”。由此產(chǎn)生的嚴(yán)重影響是，整個(gè)18世紀(jì)英國(guó)與歐陸國(guó)家在數(shù)學(xué)發(fā)展上分道揚(yáng)鑣。雖然牛頓在微積分應(yīng)用方面的輝煌成就極大地促進(jìn)了科學(xué)的進(jìn)步，但由于英國(guó)數(shù)學(xué)家固守牛頓的傳統(tǒng)而使自己逐漸遠(yuǎn)離了分析的主流。分析的進(jìn)步，在18世紀(jì)，主要是由歐陸國(guó)家的數(shù)學(xué)家在發(fā)展萊布尼茨微積分方法的基礎(chǔ)上而取得的。 柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789-1857），法國(guó)數(shù)學(xué)家。他對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán)格的表述與證明方法，使微積分?jǐn)[脫了對(duì)于幾何與運(yùn)動(dòng)的直觀理解和物理解釋，從而形成微積分的現(xiàn)代體系。 外爾斯特拉斯（Ka

4、rl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815-1897），德國(guó)數(shù)學(xué)家。他的主要貢獻(xiàn)在函數(shù)論和分析方面。他發(fā)現(xiàn)了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，借助級(jí)數(shù)構(gòu)造了復(fù)變函數(shù)論，開始了分析的算術(shù)化過(guò)程。他給出的處處連續(xù)處處不可微的函數(shù)震動(dòng)了數(shù)學(xué)界。在代數(shù)方面，他第一個(gè)給出了行列式的嚴(yán)格定義。他被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”。實(shí)數(shù)的“戴德金分割”理論 鑒于各種實(shí)數(shù)理論本質(zhì)上是一回事，我們只簡(jiǎn)介戴德金的實(shí)數(shù)定義方案。如上所見，戴德金定義實(shí)數(shù)的方法以有理數(shù)系 的分割為基礎(chǔ)。數(shù)與構(gòu)造數(shù)的方法達(dá)成了統(tǒng)一！實(shí)數(shù)系的完備性 實(shí)數(shù)系的完備性究竟是什么意思呢？這需從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系說(shuō)起。 戴德金完備性定理 現(xiàn)在

5、建立起來(lái)的全序集（R, ）本質(zhì)上已具有將有理數(shù)系Q擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系的功能。這里需說(shuō)明（R, ）具有完備性是什么意思，然后再將Q上的加法和乘法運(yùn)算擴(kuò)充到R上（擴(kuò)充到R上的加法和乘法運(yùn)算是唯一確定的）。這樣，（R, ，+，-）就構(gòu)成了我們理想中的完備有序數(shù)系即我們精神世界中的理想直線。 （R, ）的完備性是什么意思呢？（R, ）的完備性表達(dá)出直線的“連通性”，而在（R, ）上定義算術(shù)四則運(yùn)算則可以表達(dá)出直線的“直性”這里我們不打算陷入定義實(shí)數(shù)之算術(shù)運(yùn)算的細(xì)節(jié)中。那么直線又是什么呢？歐幾里得下定義說(shuō)：“線只有長(zhǎng)度沒有寬度”；這只是不能使用的“假定義”而已。希爾伯特提出：將“直線”作為無(wú)定義的原始概念處理。注意：“自然數(shù)是萬(wàn)物之母”的復(fù)生現(xiàn)在想來(lái)， “直線”只是一個(gè)不能加以定義的幾何對(duì)象盡管它在我們心中的影像是那么地確定無(wú)疑與其讓它這般地亦真亦幻，不如將它就“等同”于實(shí)數(shù)系（R，+，-）好了。這種“等同”實(shí)現(xiàn)了“數(shù)與直線的統(tǒng)一”。進(jìn)一步，利用笛卡爾的坐標(biāo)幾何的思想就可以實(shí)現(xiàn)“數(shù)與形的統(tǒng)一”。有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法注：注意有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法中有有限個(gè)整數(shù) 被使用；若使用無(wú)