統(tǒng)計學(xué)常用公式

1、統(tǒng)計學(xué)常用公式The manuscript was revised on the evening of 2021公式一A數(shù) MODE未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計算未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。組距分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計算對于組距分組數(shù)據(jù)，先找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值所在組，即為眾數(shù)所在組，再根據(jù)下面的公式計算計算眾數(shù)的近似值。下限公式：M =L+ 下限公式：M =L+ 氣 x io A +A式中：M0表示眾數(shù)；L表示眾數(shù)的下線；氣表示眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差；氣表示眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；，表示眾數(shù)組的組距。上限公式：M上限公式：M0=U- A2 xi12式

2、中：U表示眾數(shù)組的上限。2 .中位數(shù)蛔。明】(1)未分組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的計算根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計算中位數(shù)時，要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置。設(shè)一 組數(shù)據(jù)按從小到大排序后為X X2，XN，中位數(shù)Me，為則有：Me=X山當(dāng)N為奇數(shù)(2)1 rM =ix +X |當(dāng)N為偶數(shù)e 21:河1(2)分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算時，要先根據(jù)公式N / 2確定中位數(shù)的位置，并確定中位數(shù)所在的組，然后采用下面的公式計算中位數(shù)的近似值：式中：Me表示中位數(shù)；L表示中位數(shù)所在組的下限；Smi表示中位數(shù)所在組以下各 組的累計次數(shù)；fm表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；表示中位數(shù)所在組的組距。3.均值的計算AVE

3、RAGE(1)未經(jīng)分組均值的計算未經(jīng)分組數(shù)據(jù)均值的計算公式為：乎未經(jīng)分組數(shù)據(jù)均值的計算公式為：乎Xi4=1n(2)分組數(shù)據(jù)均值計算_ _ f +_ f + +_ f x/i分組數(shù)據(jù)均值的計算公式為：_ _ _ 4 分組數(shù)據(jù)均值的計算公式為：疽+ +fkfii=14.幾何平均數(shù)【GEOMEAN幾何平均數(shù)是N個變量值乘積的N次方根，計算公式為：式中：g表示幾何平均數(shù)；n 表示連乘符號。.調(diào)和平均數(shù)HARMEAN調(diào)和平均數(shù)是對變量的倒數(shù)求平均，然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)，它有簡單調(diào)和 平均數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種計算形式。簡單調(diào)和平均數(shù):H_r_n-1+1+ + 1 Y 1_ _. _ m加權(quán)調(diào)和平均

4、數(shù):H m +m +mim + m2 + m mp i=1 了式中：H表示調(diào)和平均數(shù)。.%差 Range極差也稱全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，即式中：R表示極差；max(x )和min(式中：R表示極差；max平均差Mean Deviation平均差是各標(biāo)志值與其平均數(shù)的絕對離差的算術(shù)平均。4 -X(1)根據(jù)未分組資料的計算公式： AD=x 匚n根據(jù)分組資料的計算公式：AD=Z *fii=1式中：AD表示平均差.方差【Variance和標(biāo)準(zhǔn)差Standard Deviation方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。要求掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法。 (x - X )未分組數(shù)據(jù)方差的計算

5、公式為:-2 =n分組數(shù)據(jù)方差的計算公式為:分組數(shù)據(jù)方差的計算公式為:&i i=1式中：n 2表示方差。方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相應(yīng)的計算公式為：未分組數(shù)據(jù):分組數(shù)據(jù)：E (x - X未分組數(shù)據(jù):分組數(shù)據(jù)：-r=1nE(x -X) f i-t=1i =1式中：C表示標(biāo)準(zhǔn)差。9.離散系數(shù)離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來計算的，因此，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測度數(shù)據(jù)離散程度的相對指標(biāo)。其計算公式為：v =C X式中：vc表示離散系數(shù)。10.偏態(tài)SKEW偏態(tài)是對分布偏斜方向及程度的測度。利用眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間的關(guān)系就可以判x -x -X 3EXCEL中偏態(tài)系數(shù)的計算

6、公式為：偵1北2）弋i=111 .峰tfKURTEXCEL中峰值系數(shù)的計算公式為：式中：s表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差。公式二1.均值估計樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，即為樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，又稱為樣本均值的抽樣平均誤 差，它反映的是所有可能樣本的均值與總體均值的平均差異程度，反映了所有可能樣 本的實際抽樣誤差水平。樣本均值的抽樣平均誤差計算公式為：重復(fù)抽樣方式：。（X）= .和 =6*不重復(fù)抽樣方式：6（X）= J62百寸V n v N -1通常情況下，當(dāng)N很大時，（N-1）幾乎等于N,樣本均值的抽樣平均誤差的計算 公式也可簡化為：在公式中，a是總體標(biāo)準(zhǔn)差。但實際計算時，所研究總體的標(biāo)準(zhǔn)差通常是未知的

7、， 在大樣本的情況下，通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替。 大樣本均值的極限誤差氣=Z&?（X） 大樣本下總體均值的區(qū)間估計總體均值的置信度為（1-a）的置信區(qū)間：x - z .2a（X） x + z 2a （x）艮口 x - z .2 = X + z .2 -= 總體方差未知，小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計總體均值的置信度為（1-a）的置信區(qū)間：ssx-t r R x + t ra 2 -na 23比例估計樣本比例的抽樣平均誤差樣本比例的抽樣平均誤差為：重復(fù)抽樣下:重復(fù)抽樣下:a(p )=上式中，p應(yīng)為總體比例，實際計算時通常用樣本比例p代替。不重復(fù)抽樣下：。偵）pX-p)( N-nN-1 J1 不重復(fù)抽

8、樣下：。偵）pX-p)( N-nN-1 J1 N)樣本比例的抽樣極限誤差總體比率的區(qū)間估計總體比例P的置信度為（1-a ）的置信區(qū)間為：即 p-Zp p + Z b()a/2or 2總齡值檢驗（1）單總體均值檢驗正態(tài)總體（總體方差已知）或大樣本均值檢驗檢驗統(tǒng)計量z為：z = T&6正態(tài)總體（總體方差未知）小樣檔值檢驗檢驗統(tǒng)計量t為：兩個總體的均值檢驗兩個正態(tài)總冊值檢驗一兩個總體方差已知或大樣本Z檢驗統(tǒng)計量為：大樣本下對兩個總體均值進(jìn)行檢驗時，在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計算，檢驗統(tǒng)計量不變兩個正態(tài)總體均值檢驗(小樣本)兩個總體方差未知但相等T檢驗統(tǒng)計量為：其中：s

9、 2 其中：s 2 (x - X )；1 n -1i 11i=1s 2 (x x)2 n -1 i 22i=1總體比例檢驗單一總體的比例檢驗總體比例檢驗單一總體的比例檢驗Z檢驗統(tǒng)計量pZ檢驗統(tǒng)計量ppp (1 - p01n兩個總體比例的檢驗兩個總體比例的檢驗其中：檢驗的統(tǒng)計量為：7 其中：檢驗的統(tǒng)計量為：7 p - p:p(1-p) + p(1-p)p為當(dāng)p=p時p和p的聯(lián)合估計值。1212總體方差假設(shè)檢驗(1)單一正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗、.(n -1) s 2檢驗統(tǒng)計量為：X 2 =b 20 (x - X)其中：s2 = 4一七為b 2的估計量。n -1兩個正態(tài)總體的方差假設(shè)檢驗檢驗統(tǒng)計量為

10、：F = s小212工(X - x )龍(x - x)其中：S2 = 4一七一 ；S2 = 4一七一。12公式三1.單因素方差分析設(shè)總體共分為k種處理進(jìn)行觀察，第j種處理試驗了容量為與的樣本。(1)計算各項離差平方和在單因素方差分析中，需要計算的離差平方和有3個，它們分別是總離差平方和，誤 差項離差平方和以及水平項離差平方和?？傠x差平方和，用SST (Sum of Squares for Total)代表：式中：X表示全部樣本觀測值的總均值。其計算公式為：誤差離差平方和，用SSE (Sum of Squares for Error)代表：汐x式中：%表示第j種水平的樣本均值，% =j水平項高差

11、平方和。為了后面敘述方便，可以把單因素方差分析中的因素稱為A。于是水平項離差平方和可以用SSA (Sum of Squares for Factor A)表示。SSA的計算公式為：SSA的計算公式為：SSA = ji=1 J =1(2)計算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和(Mean Square)。對SST來說，其 自由度為(n-1)；對SSA來說，其自由度為(r-1)，這里r表示水平的個數(shù)；對SSE 來說，其自由度為(n-r)。與離差平方和一樣，SST、SSA、SSE之間的自由度也存在 著如下的關(guān)系：n-1= （r-1） +（n-r）對于SSA，其平均平方MSA (組間均方差

12、)為：對于SSA，其平均平方MSA (組間均方差)為：MSA =SSAr 1對于SSE，其平均平方MSE (組內(nèi)均方差)為：MSE =SSE檢驗統(tǒng)計量F檢驗統(tǒng)計量FF =MSE2.兩因素方差分析設(shè)兩個因素A、B分別有k個水平和n個水平，共進(jìn)行nk次試驗。(1)計算各項高差平方和在兩因素方差分析中，需要計算的離差平方和有4個，它們分別是總離差平方和, 誤差項離差平方和以及水平A、B項離差平方和。(=)總離差平方和，用 SST (Sum of Squares for Total)代表：SST = ZZ 、.- Xn k式中：x表示全部樣本觀察值的總均值，其計算公式為：x = -1彥 xnk iji

13、=1 j =1水平項離差平方和可以分別用SSA (Sum of Squares for Factor A)和SSB (Sum ofSquares for Factor B)表示。SSA的計算公式為：SSA = 尤(廣 X ) i=1 j=1式中：%j = 1乎乂可=1SSB的計算公式為：SSB = ( - X) i= 1 j = 1式中：. =1寸xj=1誤差離差平方和，用SSE （Sum of Squares for Error）代表：（2）計算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。對SST來說，其 自由度為（nk-1）；對SSA來說，其自由度為（k-1），這里k表示水平A的個數(shù)