矩陣函數(shù)以與應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計-說明

1、具有應(yīng)用畢業(yè)項目的矩陣函數(shù)1 簡介Matrix的發(fā)展和歷史矩陣的研究由來已久。魔方和拉丁方在很久以前就已經(jīng)被研究過了HYPERLINK :/baike.baidu /view/244170.htm。在過去很長一段時間里，矩陣是人們解決線性問題的主要方式。漢初的算術(shù)九章在表達(dá)線性方程組的過程中，采用了將方程中不同系數(shù)分開的方法。該方法最終得到了后續(xù)不斷演化下方程組的增廣矩陣。在計算過程中，常使用矩陣的初等變換進行消元。具體來說，上面給出的增廣矩陣是通過一些計算技術(shù)轉(zhuǎn)化為行最簡形式的。但當(dāng)時我們能知道的矩陣知識卻很少。雖然過去的標(biāo)準(zhǔn)和現(xiàn)在的矩陣在表示上非常相似，但都是以線性方程組為基本標(biāo)準(zhǔn)。事實上

2、，子宮矩陣的控制中心和生命意義開始的地方就是矩陣的本義，所以矩陣具有生命的意義。在數(shù)學(xué)中，對當(dāng)前數(shù)學(xué)起決定性作用的行列式開始出現(xiàn)，但要求行列式的行列數(shù)相等，最后排列的表格是正方形的。隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)行數(shù)等于列數(shù)的行列式已經(jīng)不能滿足現(xiàn)實生活中的實際需要。在這種情況下，矩陣應(yīng)運而生。現(xiàn)在對于我們非常熟悉的矩陣和行列式來說，它們的概念是非常不同的。行列式可以按照我們的規(guī)則計算出它的結(jié)果，矩陣就是按照一定的順序排列數(shù)字得到的。在學(xué)術(shù)研究中適當(dāng)使用矩陣可以將線性方程組中的系數(shù)矩陣表示為向量空間中的向量；這樣，一個多元線性方程組的解的情況，就與一系列問題的理論解的不同關(guān)系而言，可以完全解決。矩陣有

3、自己的行和列，水平的稱為行，垂直的稱為列。我們現(xiàn)在所看到的關(guān)于矩陣的一切都被無數(shù)數(shù)學(xué)家摸索過。矩陣（ Matrix ）在數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有非常重要的地位，一直是數(shù)學(xué)研究的一個主要方面，在數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用過程中經(jīng)常用到。 “矩陣”最早是由英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特使用的，他用這個數(shù)學(xué)術(shù)語最終將矩陣的列數(shù)與早期的行列式分開。在漫長的數(shù)學(xué)發(fā)展史上，矩陣論的創(chuàng)始人被一致認(rèn)為是英國數(shù)學(xué)家凱萊，他首先提出矩陣作為一個單獨的數(shù)學(xué)概念，許多關(guān)于矩陣的學(xué)術(shù)論文和著作都是他第一次發(fā)表。其實最早的矩陣是從大量行列式的研究中分離出來的，因為行列式本身對應(yīng)的方陣可以做大量的研究和應(yīng)用。隨著對行列式的深入研究，矩陣的很多知識點也越

4、來越好。從邏輯上講，概念應(yīng)該先于矩陣行列式的概念與歷史上真實的順序完全相反。 1850年代，英國數(shù)學(xué)家凱萊公開展示了他關(guān)于矩陣的最新研究成果矩陣論研究報告，使我們對矩陣的認(rèn)識更進一步。本文定義了矩陣等式、矩陣算法、矩陣轉(zhuǎn)置和基本概念，如矩陣逆相加、給出級數(shù)、互換性和綁定。此外，英國數(shù)學(xué)家凱萊還給出了方陣的特征值（eigenvalues）等諸多結(jié)論。在矩陣的發(fā)展史中，德國著名數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯（Frobenius）發(fā)揮了非常重要的作用，他是第一位全面介紹矩陣中的最小多項式問題的著名數(shù)學(xué)家。他還介紹了矩陣的秩、不變量和主因子的知識、正交矩陣的相似變換，以及矩陣的契約、不變量和主因子的邏輯排列等概念

5、。理論等在他的作品中也有所體現(xiàn)。 1850年代，喬丹經(jīng)過潛心研究，首次發(fā)表了將一般矩陣變換為標(biāo)準(zhǔn)矩陣的方法。 1890年代，梅茨勒首先提出了矩陣函數(shù)的基本概念，最終找到了一種以冪級數(shù)形式表示矩陣的方法，這對矩陣的發(fā)展具有重要意義。此外，傅立葉（ Fourier ）和龐加萊（ Poincare ）主要研究無窮矩陣方面。至此，矩陣已經(jīng)很完整了。在實踐中，矩陣的最大用途是求解用傳統(tǒng)方法難以求解的方程。實際操作中另一個非常有意義的作用是表示線性變換，即關(guān)于f(x), 4x等線性函數(shù)的推斷。矩陣的特征向量可以揭示線性變換的深層特征。經(jīng)過兩個世紀(jì)以來無數(shù)數(shù)學(xué)家的無私奉獻(xiàn)，矩陣論已經(jīng)成為一個成熟的數(shù)學(xué)分支。

6、矩陣在很多方面都有重要的應(yīng)用，比如在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、工程數(shù)學(xué)、經(jīng)濟管理等領(lǐng)域都有矩陣。1.2 本文所做的主要工作矩陣?yán)碚摪芏鄡?nèi)容，矩陣函數(shù)在矩陣?yán)碚撝姓加蟹浅Ｖ匾牡匚?。與矩陣函數(shù)中的其他知識相比，矩陣多項式更容易理解。這是一個易于理解的矩陣多項式，我們執(zhí)行矩陣函數(shù)。研究的理論基礎(chǔ)。定義矩陣函數(shù)的方法有很多。本文主要從多項式和冪級數(shù)兩個方面進行研究。本文主要討論矩陣函數(shù)及其應(yīng)用。文章第一部分總結(jié)了矩陣函數(shù)必備的基礎(chǔ)知識，主要包括代數(shù)多項式理論中的一些結(jié)論，行列式和矩陣，以及數(shù)學(xué)分析中的冪級數(shù)定律。文章的第二部分總結(jié)了矩陣函數(shù)的概念、性質(zhì)和推論，介紹了幾個重要的矩陣函數(shù)。文章第三部分總結(jié)

7、了矩陣函數(shù)的幾種計算方法，包括哈密頓-凱萊定理、使用相似對角化計算、使用Jordan標(biāo)準(zhǔn)法進行計算、使用待定系數(shù)法求解四種計算方法。本部分最后對四種方法進行了對比，在對比中加深了對矩陣函數(shù)解的理解。可以根據(jù)計算過程中遇到的實際情況進行選擇，會給計算帶來很大的方便。在本文的第四部分，通過查閱文獻(xiàn)和與導(dǎo)師交流的方式，對矩陣函數(shù)在求解線性微分方程過程中的應(yīng)用進行了研究，以及矩陣函數(shù)在求解線性微分方程過程中的應(yīng)用。介紹了線性系統(tǒng)的可控性和可觀性。在本文的最后部分，通過Matlab編寫了可以計算常用矩陣函數(shù)的程序，這將使矩陣函數(shù)的計算更加方便快捷。2 矩陣函數(shù)2.1 研究本文的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為了進一步討論和便

8、于理解，介紹以下與本文相關(guān)的概念：1.一個線性空間在集合上具有一定的結(jié)構(gòu)或滿足一定的要求，那么這個集合就是一個特定的空間。如果它是一個非空集，它是一個數(shù)字字段。對中的元素定義了一個代數(shù)運算，稱為加法；就是給出一個規(guī)則，使得和中的任意兩個元素都可以在唯一匹配它的元素中找到，也就是和的和，記為。在數(shù)字域和集合中的元素中，定義了另一個運算，稱為數(shù)量乘法；即如果數(shù)字域中的任何數(shù)字和數(shù)字域中的任何元素，都可以找到與之匹配的元素，并且它是和的數(shù)字。產(chǎn)品記錄為 。如果加法和乘法同時符合它們的算法，則稱為數(shù)域上的線性空間。2.系列系列知識是 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baid

9、u%20%20%20%20/view/1611825.htm 分析科學(xué)的重要組成部分；這個概念經(jīng)常出現(xiàn)在其他數(shù)學(xué)分支中。通過逐項添加序列的項目，.，.獲得的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 函數(shù)。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/555607.htm 數(shù)列稱為數(shù)列。如：，簡寫為，是級數(shù)的總稱，記為級數(shù)的偏和。如果此時數(shù)列有 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/

10、39749.htm 極限，則數(shù)列 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/17644.htm 收斂，否則發(fā)散。系列經(jīng)常用于研究功能。它在理論和實踐中都有很多用途。主要有兩個原因： 1. 很多常用的非 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/46323.htm 初等函數(shù)可以用級數(shù)來表示，級數(shù)也可以用。表示 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/35285.htm 微分方程的解； 2.函數(shù)可以用來表示

11、系列，系列也可以用來探索函數(shù)的性質(zhì)。冪級數(shù)是級數(shù)中非常重要的一類，在實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)等許多基礎(chǔ)領(lǐng)域中被用作基礎(chǔ)知識，在這些領(lǐng)域發(fā)揮著巨大的作用。冪級數(shù)是指每一項對應(yīng)于該系列項的序號的常數(shù)倍數(shù)的冪（是從0開始遞增的自然數(shù)，是一個常數(shù)）。冪級數(shù)非常接近多項式形式，在許多方面具有相似的特征，HYPERLINK :/zhidao.baidu /search?word=冪級數(shù)&fr=qb_search_exp&ie=utf8可以認(rèn)為是“無限 HYPERLINK %20%20%20%20:/zhidao.baidu%20%20%20%20/search?word=多項式&fr=qb_search_exp

12、&ie=utf8 多項式”。3. 正定矩陣 在線性代數(shù)中，正定矩陣有時被稱為正定矩陣。它有廣義和狹義的定義。廣義定義： 令其為一個階方陣，若有任何非零向量，則有 的轉(zhuǎn)置，稱為正定矩陣。例如：是階矩陣，是單位矩陣，是正實數(shù)。當(dāng)足夠大時，它是一個正定矩陣。 （必須是對稱矩陣） 狹義定義：一個實數(shù)對稱矩陣是正定的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/422527.htm ，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有非零實系數(shù) HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/77260.htm 向量，

13、有。代表 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/689095.htm 轉(zhuǎn)置。4. 線性算子 線性算子是數(shù)學(xué)運算各個領(lǐng)域（如線性變換、線性代數(shù)理論中的微分方程、積分方程理論、微分、積分、積分變換）中線性性質(zhì)的抽象摘要。這是研究線性泛函的一個重要目標(biāo)。線性算子用途廣泛，不僅在許多數(shù)學(xué)分支中，而且是量子物理學(xué)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。5. 對稱和反對稱矩陣 對稱矩陣的定義是：（的轉(zhuǎn)置），一個對稱矩陣元素。反對稱矩陣的定義是：（矩陣的轉(zhuǎn)置加減號）它的第一行和第一列的元素絕對值相等，符號相反。也就是說，因此，對角線上的元素， ，在非偶數(shù)域中存在，

14、即反對稱矩陣的對角線元素為零，并且該性質(zhì)僅在非偶數(shù)域中成立。6.零（零）多項式給定矩陣，如果滿足多項式，則稱為零多項式， （一般取前導(dǎo)系數(shù)為1） 。7. 令矩陣的譜半徑為矩陣，并為其特征值，= 1, 2, .,。它由以下數(shù)學(xué)公式表示。如果指定的光譜半徑，即。也就是說，矩陣的譜半徑是矩陣所有特征值的模的最大值；如果特征值是一個虛數(shù)，則譜半徑是實部和虛部平方和的算術(shù)平方根。8. 表示整個矩陣在數(shù)域 F 上的線性空間；9.表示復(fù)矩陣集；10.數(shù)域 F 上的標(biāo)量多項式；11. 矩陣的譜 通過數(shù)學(xué)運算計算得到的特征值集合就是一個矩陣的譜，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示，即：表示的譜，即；12. 次數(shù)最低的零多項式稱為

15、矩陣的最小多項式，記為；13、參考文獻(xiàn)1給出了矩陣級數(shù)的定義：定義 1：設(shè)為矩陣序列，其中無窮和稱為矩陣級數(shù)，記為。對于正整數(shù)，它表示為矩陣系列的部分和。如果矩陣序列收斂且有極限，即稱矩陣序列收斂，稱為矩陣序列之和，記為。不收斂的矩陣級數(shù)稱為發(fā)散的。定義 2：讓，作為的矩陣級數(shù)稱為矩陣冪級數(shù)。14. 相似度矩陣設(shè)置為階矩陣。如果存在階可逆矩陣，則稱該矩陣為相似矩陣，記為。相似矩陣表示等價關(guān)系。15. 對角化矩陣 如果一個階的方陣可以類似于對角矩陣，則稱它是可對角化的。一個方陣可對角化的充分必要條件是它具有線性獨立的特征向量。對角矩陣是 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike

16、.baidu%20%20%20%20/view/10337.htm 主對角線之外的所有元素都為 0 的矩陣。對角線HYPERLINK :/baike.baidu /view/2378312.htm上的元素可以為0 或任何其他值。然后引入了線性獨立的概念。對于一組向量，如果有一組不全為零的數(shù)字，則稱這組向量是線性相關(guān)的。如果不存在，換句話說，當(dāng)且僅當(dāng)向量方程成立時，向量集才被稱為線性獨立的。16. 可逆矩陣 可逆矩陣是線性代數(shù)中的一種矩陣，定義為線性代數(shù)中，給定一個階方陣，如果有一個一階方陣，使得（或，滿足任意一個），其中 是階單位 矩陣是可逆的，是矩陣的逆矩陣，記為 。2.2 矩陣函數(shù)的定義類

17、似于代數(shù)中函數(shù)的定義，知道定義域和值域都屬于方陣的函數(shù)稱為矩陣函數(shù)。定義矩陣函數(shù)的方法有很多。為了便于進一步研究，本文主要從常用的多項式和冪級數(shù)中定義矩陣函數(shù)。矩陣函數(shù)的多項式表示：設(shè)是數(shù)域 F 上的階矩陣，簡寫為，是數(shù)域 F 上的一次多項式，簡寫為，將這個多項式替換為 ，將其替換為單位矩陣，則矩陣函數(shù)可定義為：矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示：讓, 如果一元函數(shù)可以展開為 z = , R的冪級數(shù),其中表示冪級數(shù)的收斂半徑。當(dāng)階矩陣的譜半徑時，收斂矩陣冪級數(shù)之和稱為矩陣函數(shù)，記為，即= 。2.3 一些矩陣函數(shù)的重要性質(zhì)和推論性質(zhì) 1： Sum是可交換的，即假設(shè)一個標(biāo)量多項式，則矩陣多項式為，然后= =性質(zhì)

18、2：函數(shù)和（或差）的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的和（或差），即性質(zhì)3：函數(shù)乘積的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的乘積，即性質(zhì) 4：如果, 那么, 即如果, 那么證明存在一個可逆矩陣使得，如果它是一個標(biāo)量多項式，那么屬性 5：假設(shè), , 和, 函數(shù)定義在 , 并且定義在, 那么設(shè),的最小多項式的次數(shù)分別為和，則有次數(shù)不超過的多項式和次數(shù)不超過的多項式，使得因為, 所以對于任何正整數(shù), , 都有, 所以 A 的多項式和 B 的多項式相乘時可以交換，即我們得到性質(zhì)6：假設(shè)A的特征值都是正實數(shù)，它是系數(shù)為非負(fù)實數(shù)的冪級數(shù)的和函數(shù)，其收斂半徑為，則，和證明因為 A 的特征值都是正實數(shù)，并且系數(shù)是非負(fù)實數(shù)的冪級數(shù)的和函數(shù)

19、，所以 A 的特征值是A的特征值，所以如果它不總是 0，那么，因此；如果它始終為 0，則，因此。屬性 7：假設(shè)函數(shù)定義在 上，則證明由于和相似，因此，對于相同的譜，也存在相同的最小多項式，由上定義，然后由上定義，和的譜上的值相同，所以可以取相同的多項式，這樣。性質(zhì)8：設(shè)對稱矩陣，函數(shù)如上定義，則為對稱矩陣性質(zhì)9：設(shè)實對稱矩陣，實函數(shù)定義如上，對于A的任意特征值，如果存在，則為正定矩陣。證明是一個實函數(shù)，A是一個實對稱矩陣，根據(jù)性質(zhì)8，它是一個實對稱矩陣，因為A的特征值是A的特征值，所以它是一個正定矩陣。性質(zhì)10：如果是反對稱矩陣，函數(shù)如上定義，且為奇函數(shù)，則為反對稱矩陣。證明是從性質(zhì) 7 得到

20、的，因為它是一個奇函數(shù)，所以即反對稱矩陣。2.4 常用矩陣函數(shù)在矩陣?yán)碚撝?，有許多不同種類的矩陣函數(shù)。常用的矩陣函數(shù)有矩陣的指數(shù)函數(shù)和矩陣的三角函數(shù)。以下是矩陣函數(shù)的基本性質(zhì)：根據(jù)上面定義的帶有冪級數(shù)的矩陣函數(shù)，可以得到。根據(jù)這個定義，就可以得到一個類似于數(shù)學(xué)分析中的一些函數(shù)的矩陣函數(shù)，現(xiàn)在得到的矩陣函數(shù)的性質(zhì)可以通過之前學(xué)習(xí)的高級數(shù)學(xué)知識進行比較。喜歡：，。矩陣指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)：(1) 如果，則；(2) ;(3)證明（1）顯然滿足矩陣加法的交換律，所以我們只需要證明。根據(jù)已有的矩陣指數(shù)函數(shù)表達(dá)式：(2) 在(1)中令B=-A，則得，所以(3) 設(shè)置 A的特征值，則特征值為，所以推論, ,

21、(是一個整數(shù))。這表明矩陣的指數(shù)函數(shù)矩陣總是有逆矩陣。如果矩陣函數(shù)的參數(shù)被替換為，參數(shù)在哪里，則相應(yīng)地存在。在實踐中，經(jīng)常需要找到一個帶參數(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)。矩陣三角函數(shù)的基本性質(zhì)：(1)(2) ,(3)(4) 如果，那么證明 (1) 因為, 將分為偶數(shù)和奇數(shù), 那么我們有(2) 可取得與(1)相同的證書添加兩個公式減去兩個(3) 因為, 所以, 因為, 所以(4) 如果，那么同樣可以證明3 矩陣函數(shù)的計算矩陣函數(shù)的計算是矩陣實際應(yīng)用中的一個關(guān)鍵問題。物理、統(tǒng)計學(xué)和模擬電路中矩陣函數(shù)的計算有許多實際應(yīng)用，例如，需要定義條目、行列式逆矩陣的跡和高階矩陣值等。 13 與矩陣相關(guān)的計算問題本文將研究函

22、數(shù)。雖然矩陣函數(shù)的計算方法多種多樣，但很難通過定義來求解矩陣函數(shù)的過程。本文主要研究最具代表性的四種方法。四種方法不同，涉及到一些知識，如微分方程的解、 Jordan歸一化形式、特征多項式等。因此，研究如何方便地計算矩陣函數(shù)對于解決現(xiàn)實生活中的實際問題非常重要。為此，我們介紹以下常用的算法。在前一章中，矩陣函數(shù)是通過使用收斂矩陣的冪級數(shù)之和來定義的。在具體應(yīng)用中，需要找到所表示的具體矩陣，即求矩陣函數(shù)的具體值。本章介紹了幾種求矩陣函數(shù)的方法。為了簡化運算，假設(shè)出現(xiàn)在以下等式中的矩陣函數(shù)為收斂矩陣冪級數(shù)。3.1 使用哈密頓-凱萊定理求矩陣函數(shù).為了方便后面的理解，這里做一個簡單的證明。假設(shè)B (

23、 )為伴隨矩陣，則根據(jù)伴隨矩陣的定義：因為矩陣B ( )的元素都是 的代數(shù)輔因子，所以它們都是多項式，并且它們的次數(shù)不超過。因此，根據(jù)矩陣的運算性質(zhì)， B ( ) 可以寫為其中 M n ( F )。重置，然后 (1)然后(2)比較（1）和（2），我們得到 (3)使用第一個公式，第二個公式，.，第n個公式，第n +1個公式，從右邊依次乘以（3），我們得到 (4)n + 1個表達(dá)式，左邊為零，右邊為f ( A ) ，所以f ( A )=0 。為了繼續(xù)研究的需要，這里對上面提到的伴隨矩陣的概念做一個簡單的介紹。根據(jù)線性代數(shù)的知識體系，任何方陣的伴隨矩陣實際上是一個 HYPERLINK %20%20%

24、20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/597891.htm 類似于矩陣逆矩陣的概念。如果一個 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/10337/6436981.htm 矩陣是可逆的，則可以得到它的伴隨矩陣和它的逆矩陣之間存在多重關(guān)系。但是，對于不可逆矩陣也定義了伴隨矩陣， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/346210.htm 不需要除法。矩陣的伴隨 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.bai

25、du%20%20%20%20/view/10337.htm 矩陣可以定義如下： 1. 用匹配的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1073605.htm 代數(shù)輔因子替換矩陣的每個元素； （ HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1073605.htm 代數(shù)輔因子的定義：在一個階的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/111348.htm 行列式中，將元素所在的行替換掉和列 HYPERLI

26、NK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/111348.htm 的所有元素，剩下的所有元素組成的階行列稱為元素的輔因子，記住；即，稱為元素的代數(shù)輔因子） 注意：前面的計算是一個具體的數(shù)字，而不是一個矩陣。 2、將（1）中得到的矩陣轉(zhuǎn)置為伴隨矩陣，并添加：（伴隨矩陣的實際解為A*=adj(A)：去除的行列式中的元素對應(yīng)的新行和列分別為獲得。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/111348.htm 行列式，所以不需要轉(zhuǎn)置）假設(shè) example 是n 階可逆矩陣，則，其中g(shù) (

27、) 是n -1次多項式。證明的特征多項式設(shè)置為,根據(jù)Hamilton-Cayley定理，我們可以得到O._ _因為A是可逆矩陣，所以，上式可以轉(zhuǎn)化為,這表明,其中，是一個n -1 次多項式。假設(shè)它是一個數(shù)字字段，一個文本，找到一個多項式環(huán)，一個給定的矩陣，如果它的元素都是關(guān)于一個多項式的，也就是矩陣的所有元素，這個矩陣稱為矩陣。因為數(shù)字域中存在的元素也是一個數(shù)字，所以矩陣也包含了一個由元素組成的矩陣。為了與原始矩陣區(qū)分開來，我們稱由數(shù)字域中的元素組成的矩陣為數(shù)字矩陣。在下一篇文章中，Equals 用于表示矩陣。上面提到的多項式環(huán)中的環(huán)實際上是一個代數(shù)結(jié)構(gòu)。在 HYPERLINK %20%20%

28、20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/85107.htm 抽象代數(shù)中，代數(shù)結(jié)構(gòu)是指至少有兩個計算的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1241995.htm 非空集合（最常見的操作，可以有無限的計算） 。通常研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)包括 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/48541/10964128.htm 群、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview

29、/144821/12216217.htm 環(huán)、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/35472/12149453.htm 域、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/119575/12216267.htm 格、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/subview/324132/12957802.htm 模、域代數(shù)和 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%

30、20%20%20%20/view/327493.htm 向量空間。對于一個非空集R，如果定義了兩個代數(shù) HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1049334.htm 運算+和* （不一定是代數(shù)中加法和乘法的意思），并且滿足以下條件： 1）集合R在運算下可以形成一個阿貝爾群+ HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1077278.htm （亞伯）。 2) * 是 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/vi

31、ew/585152.htm 封閉的，即對于任何aR，bR，總是存在a*bR 。 3)算子 * 下存在分配律HYPERLINK :/baike.baidu /view/120423.htm和 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/120414.htm 結(jié)合律，即對于任意 a R、b R 和 c R，總有：a*(b+c)=a*b+a*c, ( b +c)*a=b*a+c*a, (a*b)*c=a*(b*c)，我們稱 R a ring 。所以滿足上述定義的多項式稱為多項式環(huán)。我們知道里面的元素可以進行加減乘乘三種計算，它們的計算和數(shù)

32、字的運算規(guī)則是一樣的。元素的加法和乘法用在矩陣加法和乘法的定義中，所以可以類似于矩陣的加法和乘法，其定義方式與數(shù)值矩陣運算的算法規(guī)則相同。通過行列式的本質(zhì)可以看出，只用到了元素的加法和乘法，所以矩陣行列式也可以用同樣的方式定義。一般來說，矩陣的行列式也是多項式，與數(shù)字矩陣的行列式具有相同的特性。相同的性質(zhì)。如果存在這樣的矩陣，則定義矩陣稱為可逆矩陣, (1)這是單位矩陣。 (1) 適用的矩陣（它是唯一的）稱為矩陣的逆矩陣，記為。已知的例子，請。通過哈密頓-凱萊定理，解的特征多項式為： ，即這是所以.3.2 使用相似對角化求矩陣函數(shù)設(shè)它是一個對角矩陣，那么一定有一個可逆的階矩陣，所以然后有從而，

33、為了便于理解，這里對本文將用到的對角化矩陣、可逆矩陣、交換矩陣和變換矩陣等相關(guān)概念做一個簡單的介紹。說清楚對角化矩陣的概念，先簡單解釋一下相似度矩陣的概念。假設(shè)它們都是階矩陣，如果存在階可逆矩陣，則該矩陣類似于矩陣，記為。矩陣的相似度是等價關(guān)系。如果一個階方陣可以類似于對角矩陣，則稱它是可對角化的。一個階方陣可對角化的充分必要條件是它具有線性無關(guān)的特征向量?？赡婢仃囀蔷€性代數(shù)中常用的矩陣。它在線性代數(shù)中被定義為給定階數(shù)的方陣。如果有一個階為 的方陣，使得（或者，任意滿足一個），其中 階單元 A 矩陣被稱為是可逆的，它的逆矩陣記為 。如果一個方陣具有乘法交換律，那么這個方陣就是一個交換矩陣，用數(shù)

34、學(xué)表達(dá)式表示為： 。變換矩陣是線性代數(shù)中的一個數(shù)學(xué)概念。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/32243.htm 在線性代數(shù)中， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/325734.htm 線性變換可以用 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/10337.htm 矩陣來表示。如果是一個可以映射到的線性變換，并且是一個元素為 的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.ba

35、idu%20%20%20%20/view/3891521.htm 列向量，那么我們可以轉(zhuǎn)換成 mn 矩陣，稱為變換矩陣。任何線性變換都可以用矩陣來表示，而且計算起來要容易得多，即使有很多線性變換可以通過正確的矩陣乘法來連接。如果線性變換函數(shù)的類型是，只要對標(biāo)準(zhǔn)基中的任意一個向量進行簡單變換，結(jié)果就插入到矩陣的列中，所以它是一個容易確定的變換矩陣，即：示例已知請求所以解的特征值為 , 。對應(yīng)特征向量；對應(yīng)于線性無關(guān)的特征向量，所以制作然后上面是一個通用矩陣。一般矩陣可以通過相似對角化的方法求解矩陣函數(shù)。對于一般矩陣，相似對角化的過程首先要找到矩陣的特征向量。當(dāng)然，矩陣中還有一些特殊的矩陣，因為它

36、們的特殊性可以簡化計算。對角矩陣就是這樣一個特殊的矩陣，接下來我們將介紹求對角矩陣函數(shù)的方法。 （對于對角矩陣或?qū)蔷仃噳K）。(1) 矩陣函數(shù)是矩陣冪函數(shù)如果是對角矩陣，則然后通過矩陣乘法，我們有如果是塊對角矩陣，即，子塊在哪里。但(2 矩陣函數(shù)是矩陣多項式因為它是幾個矩陣指數(shù)函數(shù)的線性組合，所以仍然可以作為（1）中的計算方法。3.3 使用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式法求矩陣函數(shù)令矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式 為, 即必須有一個可逆矩陣使得因此，由矩陣函數(shù)的性質(zhì) 4 可知，所以需求可以通過以下3個步驟來計算：第一步是先求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式，再求相似變換矩陣，這樣；第二步是計算,在第三步是使用該方法的關(guān)

37、鍵是如何求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型J ，這里簡單介紹一下如何使用初等因數(shù)法求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型J ：文獻(xiàn)10有基本因子不變因子的定理和定義，摘錄如下：規(guī)范形式主對角線上非零元素的不變因子。定義4. 將矩陣各度大于零的不變量因子分解為第一項為1的不同一階冪的乘積。所有這些一階冪（必須根據(jù)出現(xiàn)次數(shù)計算）稱為矩陣的基本因子。求喬丹標(biāo)準(zhǔn)形式：1.首先，找到給定矩陣的特征矩陣；2.然后求矩陣的初等因子群，可能相同，也可能相同，但總是有；3. 每個初等因子對應(yīng)一個若當(dāng)塊，其階數(shù)為，對角元素為，即4. 這些Jordan塊的組合形成Jordan矩陣J ，即例如，問。解決訂單。得到的Jordan標(biāo)準(zhǔn)格式為：.然后找到

38、相似的變換矩陣。讓它成為應(yīng)該滿足有兩個線性獨立的解。解，同一個解方程組，單獨取，得到特征向量，所以有規(guī)律，計算出來。然后.Jordan塊的排列順序無關(guān)，無需選擇特定的變換矩陣P，矩陣函數(shù)總是可以轉(zhuǎn)化為計算矩陣多項式。3.4 使用待定系數(shù)法求矩陣函數(shù)（零多項式法）從上面的介紹可以知道，通過求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式求矩陣函數(shù)的方法是非常復(fù)雜的。它需要Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式和變換矩陣，這個過程非常繁瑣。接下來介紹一種根據(jù)歸零多項式求解矩陣函數(shù)的方法，希望達(dá)到減少計算量的目的。為了實現(xiàn)這一點，我們需要引入一個非常有用的定理。定理階方陣的最小多項式等于其特征矩陣的第一個（和最后一個）不變因子。初等因子

39、和不變因子的概念見參考文獻(xiàn)10中的定義3和定義4，這里不再介紹。令階方陣的不變因子逆序排列，它們給出的初等因子分別在其中。因為因此必須出現(xiàn)在；如果，那么。因此，一個矩陣的最小多項式是，它的最小多項式就是它的歸零多項式，即根據(jù)矩陣函數(shù)的定義，只需要多項式，我們有令m 為 A 的最小多項式的次數(shù)。由上述條件，可以得到方程組，從而得到 ，最后得到這就是使用待定系數(shù)法（多項式法）求解矩陣函數(shù)的理論知識，這里舉一個具體的例子來說明如何使用這種方法。讓我們建立一個矩陣，找到解由于特征多項式，很容易計算出不是 A 的零多項式，所以A的最小多項式為雙根，所以有這是解決方案必須從而得到3.5 四種方法的比較為了

40、澄清問題，這里有一些基本概念需要復(fù)習(xí)。首先了解初等變換的概念。初等變換（ elementary transformation ）是高代數(shù)學(xué)術(shù)語，也代表一種運算。初等變換主要包括三種情況：線性方程的初等變換、 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/111348.htm 行列式的初等變換和矩陣的初等變換。三個方面的基本變換略有不同。由于本文是研究矩陣函數(shù)及其應(yīng)用，所以本文主要介紹矩陣的初等變換，而不再詳細(xì)介紹其他兩種初等變換。矩陣的初等變換包括矩陣的初等行變換和其初等列變換。下面給出的三個基本變換都稱為矩陣的基本行變換： 1.交換

41、兩行； 2. 將一行的所有元素乘以一個非零實數(shù)； 3. 將一行的所有元素乘以一個非零常數(shù) k 被添加到另一行的相應(yīng)元素。如果將前面定義中的“行”替換為“列”，則得到矩陣的基本列變換的定義。如果矩陣 A 通過有限次數(shù)的基本變換變換為矩陣，則矩陣 和等價。此外： HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1337018.htm 分塊矩陣還可以定義基本變換。四種方法中第二種計算方法難度最大。求Jordan表達(dá)式時，需要矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式，求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式的過程中也涉及到矩陣的初等變換。計算很麻煩，最后還要計算交換矩陣，計算

42、量很大。矩陣的階數(shù)越大，計算量越大。也是最實用的，因為這種方法的優(yōu)點是計算步驟非常清晰易懂。第一種、第三種和第四種方法使用了更多的數(shù)學(xué)原理和方法，顯然比第二種方法計算量少。他們的計算過程比較簡單，但是要理解為什么會這樣，也需要清楚的理解。了解其中使用的一些定理和方法。4 矩陣函數(shù)的應(yīng)用矩陣函數(shù)理論對矩陣?yán)碚摼哂兄匾饬x。由于矩陣函數(shù)，人們對矩陣的研究從以前的計算進入了分析領(lǐng)域。同時，它不僅可以解決數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多計算問題，還可以解決工程技術(shù)等許多其他領(lǐng)域的許多計算問題。本文簡要介紹了矩陣函數(shù)的一些實際應(yīng)用，主要以在現(xiàn)代控制理論中的應(yīng)用為例。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域眾多，自動控制技術(shù)在各個方面的作用越來越

43、明顯。隨著科學(xué)技術(shù)的日益成熟，自動控制理論進入了一個新的過渡階段，從過去的傳統(tǒng)控制理論到現(xiàn)在的控制理論。優(yōu)化控制系統(tǒng)主要討論變參數(shù)多變量的高性能、多變量系統(tǒng)的高精度，主要工具是矩陣?yán)碚摗Ｒ虼?，矩陣?yán)碚摵途仃嚭瘮?shù)的知識在現(xiàn)代控制理論中起著重要的作用。同樣，為了更好地研究這個問題，我們將簡要介紹一下控制論中涉及到這個問題的一些概念。首先簡單介紹一下線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的發(fā)展歷史。 1950年代左右，經(jīng)過一段時間的應(yīng)用和改進后首次出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論已經(jīng)發(fā)展成為一套完整的理論，并在許多工程技術(shù)領(lǐng)域得到應(yīng)用。由矩陣函數(shù)定義的線性控制問題的解決方案是使用鑲嵌技術(shù)來獲得所需矩陣的傳遞函數(shù)。 14 最早出現(xiàn)的線

44、性系統(tǒng)理論是以拉普拉斯變換為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識。它最基本的數(shù)學(xué)模型就是上面提到的傳遞函數(shù)。最基本的研究和綜合方法是通過頻率響應(yīng)。方法。該方法非常適用于單輸入輸出類型的線性不變系統(tǒng)的分析。但是，這個理論也有非常突出的缺陷。最明顯的不足是不能很好地處理多輸入多輸出的系統(tǒng)，難以表達(dá)系統(tǒng)的真實特征。1960年代前后，線性系統(tǒng)理論經(jīng)歷了從最早的經(jīng)典階段到現(xiàn)代階段的重要時期，其中最具代表性的是卡爾曼首次完整介紹了系統(tǒng)理論和控制狀態(tài)空間方法。狀態(tài)空間方法最重要的特點之一是通過描述狀態(tài)的部分空間來代替以往使用傳遞函數(shù)來描述外部輸入輸出系統(tǒng)的方法，將整個系統(tǒng)探索和整合到狀態(tài)空間中。時域。狀態(tài)空間方法不僅可以用于輸入

45、輸出系統(tǒng)，還可以用于線性系統(tǒng)等多種系統(tǒng)?？柭跔顟B(tài)空間法的基礎(chǔ)上，提出了系統(tǒng)的可控性和可觀性這兩個可以揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征的重要概念。它是線性系統(tǒng)理論中最常用的概念。上述的可控性和可觀測性對進一步研究和集成線性系統(tǒng)的基本指導(dǎo)規(guī)則產(chǎn)生了重大影響。這種影響主要體現(xiàn)在以“在研”取代傳統(tǒng)的“外研”，探究整合過程所需的基礎(chǔ)理論更加嚴(yán)謹(jǐn)。從 1960 年代中期至今，不僅在研究內(nèi)容和研究方法上，而且在線性系統(tǒng)上都有許多新的突破。產(chǎn)生了一種探索線性系統(tǒng)及其結(jié)構(gòu)特征的新方法。這種方法主要是基于幾何方法來解決實際問題。與此同時，一種新的基于抽象代數(shù)的代數(shù)理論也出現(xiàn)了，主要用于線性系統(tǒng)。通過擴展經(jīng)典頻率方法發(fā)展起來的

46、多元頻域理論。這時，由于計算機技術(shù)的飛速發(fā)展和完善，線性系統(tǒng)的研究和集成中出現(xiàn)的計算困難，以及使用計算機對線性系統(tǒng)進行輔助分析和輔助設(shè)計的現(xiàn)象也很普遍。已得到廣泛而深入的研究。為了使研究問題更加深入，接下來的重點是可控性和可觀察性?？煽匦院涂捎^性是當(dāng)前控制理論中最基本的概念。它由卡爾曼在 1960 年代首次提出，其基礎(chǔ)是線性系統(tǒng)的理論分析和設(shè)計?？煽匦詫嶋H上是指一種可能性，是指控制動作控制被控系統(tǒng)狀態(tài)的可能性；可觀察性實際上描述了一種可能性，它通過系統(tǒng)的輸出來反轉(zhuǎn)?？赡艿南到y(tǒng)狀態(tài)。可控性描述了狀態(tài)的控制能力，可觀察性描述了狀態(tài)的觀察能力。這兩個屬性給出了兩個最基本的控制系統(tǒng)的問題。下面給出線性

47、系統(tǒng)的可控性和可觀測性的定義?？煽匦远x：一般來說，對于線性平穩(wěn)系統(tǒng)(1-1)其中， , 分別為 , 維向量； ,是常值矩陣，常值矩陣滿足矩陣運算。如果給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，在有限的時間區(qū)間 , 內(nèi)，可以發(fā)現(xiàn)控制使得，此時系統(tǒng)的狀態(tài)是可控的；如果系統(tǒng)對于任何初始狀態(tài)都可以控制，則稱系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可控的，簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)可控的或系統(tǒng)可控的。關(guān)于可控性定義的幾點：(1) 初始狀態(tài)是狀態(tài)空間中任意一個非零有限點，控制目標(biāo)是狀態(tài)空間坐標(biāo)的原點（原點可控性）。(2) 如果在 , 中，可以找到將系統(tǒng)從狀態(tài)空間的原點推到預(yù)先指定狀態(tài)的控制，稱為狀態(tài)可達(dá)性；因為任何連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移都形成一個非奇異矩陣，所以在

48、一定程度上，系統(tǒng)的可達(dá)性就是系統(tǒng)的可控性。這里簡單介紹一下非奇異矩陣。如果一個階矩陣的行列式非零，則稱為非奇異矩陣，否則稱為奇異矩陣。(3) 如果, , 系統(tǒng)狀態(tài)方程的解是(t)= +如果系統(tǒng)是可控的，則可以找到控制使得= + =0=-(0)=- (1-2)為了滿足初始狀態(tài)類型，它必須是可控狀態(tài)。不附加到系統(tǒng)的確定性擾動，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為因為它是一種確定性擾動，所以它不會改變系統(tǒng)的可控性?？捎^察性定義一般來說，對于線性平穩(wěn)系統(tǒng)若在有限時間區(qū)間,內(nèi)，通過觀察，可以唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，稱系統(tǒng)狀態(tài)為可觀察的；如果可以觀察到任何初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可觀察的，稱為系統(tǒng)可觀察狀態(tài)或系統(tǒng)可觀

49、察狀態(tài)。關(guān)于可觀察性定義的幾點說明：(1) 系統(tǒng)在有限時間區(qū)間,內(nèi)的輸出已知，觀察的目標(biāo)是確定初始狀態(tài)。（2）系統(tǒng)可以唯一確定,中輸出的任意指定狀態(tài)，表示可以檢測到系統(tǒng)的狀態(tài)；因為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，所以系統(tǒng)的可檢測性和可觀察性是等價的。(3) 可觀察性表示輸出反映狀態(tài)的能力，與控制效果沒有直接關(guān)系。因此，在分析可觀測性時，可以成立，只需要從齊次狀態(tài)方程和輸出方程進行分析。則線性平穩(wěn)系統(tǒng)變?yōu)?4) 如果系統(tǒng)中存在確定性干擾信號，即由于和的獨立性 ,在 系統(tǒng) 的 可 觀測 性 研究 中 不 考慮其 影響.2. 可控性和可觀察性的確定線性系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)特征是可控性和可觀性，它們代表

50、了系統(tǒng)的輸入輸出與系統(tǒng)狀態(tài)量之間的關(guān)系。直觀上，可控性問題是對系統(tǒng)的部分狀態(tài)變量的研究可以完全控制問題的輸入。如果系統(tǒng)的每個運動狀態(tài)都可以改變和控制，并且可以通過任何起點到達(dá)原始狀態(tài)空間原點，則稱該系統(tǒng)是完全可控的。可觀察性是系統(tǒng)輸入和輸出的狀態(tài)，能充分反映系統(tǒng)問題。如果任何形式的狀態(tài)變量的輸出系統(tǒng)充分反映了運動，并且所代表的系統(tǒng)狀態(tài)相當(dāng)可觀，則稱為觀察。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：系統(tǒng)的可控性討論了控制系統(tǒng)的輸入量對狀態(tài)量的影響?？煽匦杂腥齻€最常用的判別規(guī)則：1、通過判斷矩陣判斷可控性?？煽匦跃仃嘠k=B AB A2B An-1B是滿秩的。如果秩為 ，則可控性矩陣Qk=B AB A2B An-rB 。

51、為了繼續(xù)研究需要，這里簡單介紹滿秩的概念，首先介紹矩陣秩的概念。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/346467.htm 矩陣的秩：通過 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/2658916.htm 初等行變換將 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/10337.htm 矩陣變換為 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/3

52、557532.htm 梯形矩陣，將矩陣中非零行數(shù)定義為矩陣的秩，記為 。滿秩 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/10337.htm 矩陣（非奇異矩陣）：如果稱其為滿秩矩陣，則設(shè)為n階矩陣。滿秩矩陣的概念很重要，它可以判斷矩陣是否可逆，非奇異矩陣是滿秩矩陣。2.用對角喬丹式判斷。這個狀態(tài)決定了哪個狀態(tài)是不可控的。3、用傳遞函數(shù)判斷。狀態(tài)輸入型的傳遞函數(shù)： (SI-A)-1B沒有零極點抵消現(xiàn)象，完全可控。這個標(biāo)準(zhǔn)不能單獨使用。為了便于理解和后續(xù)研究，這里介紹一個非常重要的概念，傳遞函數(shù)。傳遞 HYPERLINK %20%20%

53、20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 函數(shù)是兩個拉普拉斯變換的除法。是 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/375180.htm 原始系統(tǒng)中輸出變量的拉普拉斯變換與輸入變量的拉普拉斯變換的商 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/132034.htm 。寫，上一個分別代表輸出和輸入 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/132034.ht

54、m 的拉普拉斯變換。傳遞 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 函數(shù)是描述 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/375180.htm 線性系統(tǒng)動態(tài)特性的常用工具。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/939432.htm 初始控制理論常采用響應(yīng) HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/85570.htm

55、頻率法和 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/480964.htm 根軌跡法，它們都是基于傳遞函數(shù)的。系統(tǒng)定律的微分方程是對應(yīng)的。因此，我們可以先把整體分成幾個部分，先得到每個部分的傳遞函數(shù)，然后通過一定的邏輯組合這些傳遞函數(shù)，得到我們需要的整體傳遞函數(shù)。它們可用于探索系統(tǒng)的動態(tài)特性、穩(wěn)定性，或根據(jù) HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/2637115.htm 需要集成控制系統(tǒng)以設(shè)計出令人滿意的控制器。一種基于傳遞 HYPERLINK %20%20%20%2

56、0:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 函數(shù)知識 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/2637115.htm 探索和集成控制的系統(tǒng)方法是頻域方法。它不僅是最開始出現(xiàn)的控制 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/939432.htm 基礎(chǔ)理論 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/672447.htm ，而且在以單變量頻域法為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論的成長

57、過程中，不斷完善，直到現(xiàn)在的多變量頻域法。域控制理論，是研究多變量控制系統(tǒng)的有力工具。當(dāng)一個純虛數(shù)復(fù)數(shù)的虛部是角頻率時，它被稱為傳遞函數(shù)中的頻率響應(yīng) HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/85570.htm 。工程中經(jīng)常使用拉普拉斯變換。 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/626001.htm 拉普拉斯變換是一種 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/325734.htm 線性變換，它將具

58、有實參數(shù) ( ) 的函數(shù)轉(zhuǎn)換為具有復(fù)參數(shù)的函數(shù)。在很多情況下，實變量函數(shù)在實數(shù)域中是非常難以操作的，但是對于拉普拉斯實變量函數(shù)的變換，它可以在復(fù)數(shù)域中進行各種數(shù)學(xué)運算。對 的計算結(jié)果進行拉普拉斯逆變換，最終可以得到實數(shù)域的結(jié)果。這種方法在操作上比直接求解方便得多。用拉普拉斯變換法計算的結(jié)果的線性微分方程非常明顯，因為它可以將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，所以計算簡單。在初始控制理論中， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/57978.htm 控制系統(tǒng)的討論和集成都是基于拉普拉斯變換。引入拉普拉斯變換最明顯的優(yōu)點是用 HYPERLI

59、NK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/131859.htm 傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)的特性，取代了之前的常系數(shù)微分方程。它的特點是用直觀、簡單的圖形方法來確定控制系統(tǒng)，運行過程控制系統(tǒng)的分析，并為控制系統(tǒng)的調(diào)試提供可能。拉普拉斯變換是一個復(fù)變量函數(shù)，它是通過關(guān)系表達(dá)式（其中使用自然對數(shù)底的指數(shù)）從連續(xù)時間函數(shù)變換而來的。這就是時間函數(shù)在“復(fù)頻域”中的表示方式。它的作用主要是變換，目的是使計算簡單，主要是實變量和復(fù)變量之間的變換函數(shù)。對于復(fù)數(shù)參數(shù)， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/vi

60、ew/15061.htm 函數(shù)在(-, +) 上的積分稱為函數(shù) 的（雙邊） HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/132034.htm 拉普拉斯變換，簡稱拉普拉斯變換。如果在 0,+) 中積分，則稱為單邊拉普拉斯變換，是用 表示的復(fù)變函數(shù)。假設(shè)一個系統(tǒng)的輸入函數(shù) HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/15061.htm 是，輸出函數(shù)是，那么拉普拉斯變換和拉普拉斯變換的商稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)由系統(tǒng)的性質(zhì)決定，是一個獨立的輸入量。了解了傳遞 HYPERLI