勾股數(shù)的規(guī)律詳解

1、勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù)凡是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)。觀察3, 4, 5； 5, 12, 13； 7, 24, 25;發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)都 是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)。計(jì)算0.5 (9-1), 0.5(9+1)與0.5(25-1), 0.5 (25+1),并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出分別能表示7, 24 , 25的股和弦的算式。根據(jù)的規(guī)律，用n的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、 弦,合情猜想他們之間的兩種相等關(guān)系,并對(duì)其中一種猜想加以說(shuō)明。繼續(xù)觀察4 , 3 , 5； 6 , 8 , 10； 8 , 15 , 17;可以發(fā)現(xiàn)各組 的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)，運(yùn)

2、用上述類似的探索 方法，之間用m的代數(shù)式來(lái)表示它們的股合弦。設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c ,由勾股定理知aA2+bA2=cA2 , 這是構(gòu)成直角三角形三邊的充分且必要的條件。因此,要求一組勾股 數(shù)就是要解不定方程xA2+yA2=z2 ,求出正整數(shù)解。例：已知在Aabc中，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c , a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n1),求證：Zc=90。此例說(shuō)明了對(duì)于 大于2的任意偶數(shù)2n(n1),都可構(gòu)成一組勾股數(shù)，三邊分別是：2n、 n2-1、n2+1。如：6、8、10 , 8、15、17 , 10、24、26等。再來(lái)看下面這些勾股數(shù)：3、4、5 , 5、12、13 , 7、24

3、、25 , 9、 40、41 , 11、60、61這些勾股數(shù)都是以奇數(shù)為一邊構(gòu)成的直角 三角形。由上例已知任意一個(gè)大于2的偶數(shù)可以構(gòu)成一組勾股數(shù)，實(shí) 際上以任意一個(gè)大于1的奇數(shù)2n+1(n1)為邊也可以構(gòu)成勾股數(shù)，其 三邊分別是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,這可以通過(guò)勾股定理的 逆定理獲證。觀察分析上述的勾股數(shù)，可看出它們具有下列二個(gè)特點(diǎn)：1、直角三角形短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個(gè)連續(xù) 自然數(shù)。2、一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)等于短直角邊的平方與短邊自身的和。掌握上述二個(gè)特點(diǎn)，為解一類題提供了方便。例：直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度是正整數(shù)，其中一條短直角邊的長(zhǎng) 度是13,求這個(gè)直角

4、三角形的周長(zhǎng)是多少？用特點(diǎn)1解：設(shè)這個(gè)直角三角形三邊分別為13、x x+1，則有： 169+x2=(x+1)2，解得 x=84，此三角形周長(zhǎng)=13+84+85=182。用特點(diǎn)2解：此直角三角形是以奇數(shù)為邊構(gòu)成的直角三角形，因此 周長(zhǎng)=169+13=182。勾股數(shù)的通項(xiàng)公式：題目：已知aA2+bA2=cA2,a,b,c均為正整數(shù)，求a,b,c滿足的條 件.解答：結(jié)論1：從題目中可以看出,a+bc (1)，聯(lián)想到三角形的成立條 件容易得出。結(jié)論2: aA2=cA2-bA2=(c+b)*(c-b)(2)從(2)中可以看出題目的關(guān)鍵是找出a2做因式分解的性質(zhì)，令 x=c+b,y=c-b所以：aA2=x

5、*y,(xy,ay)(3)首先將y做分解，設(shè)y的所有因子中能寫(xiě)成平方數(shù)的最大的一個(gè)為k=mA2,所以 y=n*mA2 (4)又(3)式可知 aA2=x*n*mA2 (5)比較(5)式兩邊可以a必能被m整除，且n中不可能存在素?cái)?shù)的平 方因子，否則與(4)中的最大平方數(shù)矛盾。同理可知aA2=y*n*mA2(6), x=n*mA2,且n為不相同素?cái)?shù)的乘積將(5)式與(6)式相乘得aA2=(m*m)A2*n*n, (n,n為不相同 素?cái)?shù)的乘積)(7)根據(jù)(7)知n*n仍然為平方數(shù)，又由于n,n均為不相同素?cái)?shù)乘 積知n=n(自行證明，比較簡(jiǎn)單)可知 a=m*m*nc=(x+y)/2=(n*mA2+n*m

6、A2)/2=n*(mA2+mA2)/2b=(x_y)/2=n*(mA2_mA2)/2a=m*n*m編輯本段勾股數(shù)的常用套路所謂勾股數(shù)，一般是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)(a,b,c)o即 aA2+bA2=cA2,a,b,c n又由于，任何一個(gè)勾股數(shù)組(a,b,c )內(nèi)的三個(gè)數(shù)同時(shí)乘以一個(gè)整數(shù)n 得到的新數(shù)組(na,nb,nc)仍然是勾股數(shù)，所以一般我們想找的是 a,b,c互質(zhì)的勾股數(shù)組。關(guān)于這樣的數(shù)組，比較常用也比較實(shí)用的套路有以下兩種：1、當(dāng)a為大于1的奇數(shù)2n+1時(shí)，b=2*nA2+2*n, c=2*nA2+2*n+1o實(shí)際上就是把a(bǔ)的平方數(shù)拆成兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，例如：n=1 時(shí)(

7、a,b,c)=(3,4,5)n=2 時(shí)(a,b,c)=(5,12,13)n=3 時(shí)(a,b,c)=(7,24,25) 這是最經(jīng)典的一個(gè)套路，而且由于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)必然互質(zhì)，所以 用這個(gè)套路得到的勾股數(shù)組全部都是互質(zhì)的。2、當(dāng)a為大于4的偶數(shù)2n時(shí)，b=nA2-1, c=nA2+1也就是把a(bǔ)的一半的平方分別減1和加1,例如：n=3 時(shí)(a,b,c)=(6,8,10)n=4時(shí)(a,b,c)=(8,15,17)n=5 時(shí)(a,b,c)=(10,24,26)n=6 時(shí)(a,b,c)=(12,35,37) 這是次經(jīng)典的套路，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)由于(a,b,c)是三個(gè)偶數(shù)，所以該 勾股數(shù)組必然不是互質(zhì)的；而n為

8、偶數(shù)時(shí)由于b、c是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù) 必然互質(zhì)，所以該勾股數(shù)組互質(zhì)。所以如果你只想得到互質(zhì)的數(shù)組，這條可以改成，對(duì)于a=4n(n=2), b=4*nA2-1, c=4*nA2+1，例如：n=2 時(shí)(a,b,c)=(8,15,17)n=3 時(shí)(a,b,c)=(12,35,37)n=4時(shí)(a,b,c)=(16,63,65) =edward 補(bǔ)充=對(duì)于n為質(zhì)因數(shù)比較多的和數(shù)時(shí)?？梢詤⒄掌滟|(zhì)因數(shù)進(jìn)行取相 應(yīng)的勾股數(shù)補(bǔ)充，即1個(gè)n會(huì)有多對(duì)的勾股數(shù),例如：n=9時(shí)(a,b,c) = (9,24,25) or (9,12,15)3* (3,4,5)n=12時(shí)(a,b,c) = (12,35,37) or (12,

9、16,20)4* (3,4,5) =shangjingbo 補(bǔ)充=還有諸如此類的勾股數(shù)，20、21、29;119、120、169;696、697、985;4059、4060、5741;23660、 23661、 33461;137903 137904 195025803760 803761 11366894684659 4684660 6625109已有三千年研究歷史的勾股定理還有研究的空間嗎？我用本文試 探索。勾股數(shù)定義：凡符合x(chóng) 2+y A 2=z 已有三千年研究歷史的勾股定理還有研究的空間嗎？我用本文試 探索。勾股數(shù)定義：凡符合x(chóng) 2+y A 2=z A 2公式的正整數(shù)值我們稱之為勾 x

10、和y是直角邊，z是斜邊。凡有公約數(shù)的勾股數(shù)我們稱之為派生勾股數(shù)，例30,40, 50無(wú)公約數(shù)的勾股數(shù)，例3,4, 5; 8, 15, 17等，我們稱1.股數(shù)。2.等;3.之為勾股數(shù)。全是偶數(shù)的勾股數(shù)必是派生勾股數(shù)，三個(gè)奇數(shù)不可能符 合定義公式。因此，勾股數(shù)唯一的可能性是：x和y分別是奇數(shù)和偶數(shù)（偶數(shù)和奇數(shù)），斜邊z只能是奇數(shù)。4.勾股數(shù)具有以下特性：斜邊與偶數(shù)邊之差是奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)只能是某奇數(shù)的平方數(shù)，例 1,9,25,49,，至無(wú)窮大；斜邊與奇數(shù)邊之差是偶數(shù)，這個(gè)偶數(shù)只能是某偶數(shù)平方數(shù)的一半， 例2, 8, 18, 32,，至無(wú)窮大；5由以上定義我們推導(dǎo)出勾股公式：x = p A2 + pq

11、 （x等于p平方加pq）y = qA 2/ 2 + pq （y等于二分之q方加pq）z = p A2 + qA2 / 2 + pq （z等于p平方加二分之q方加pq）6.此公式涵蓋了自然界的全部勾股數(shù)，包括派生勾股數(shù)。7用此公式很容易導(dǎo)出全部勾股數(shù)，例如2000以內(nèi)的勾股數(shù)計(jì)有320組，（不含派生勾股數(shù)）。最大的一組是315, 1972, 19978斜邊是1105和1885的勾股數(shù)各有4組：47, 1104, 1105 264, 1703, 1105 576, 943, 1105 744, 817, 1105;427, 1836, 1885 1003, 1596, 1885 1643, 924

12、, 1885 1813, 516, 1885;以任意奇數(shù)代入p，任意偶數(shù)代入q，即可得到唯一一組勾 股數(shù)。例如p = 5 , q = 8 ,得到x = 25 + 5x8 = 65y = 32 + 5x8 = 72z = 25 + 32 + 5x8 = 97它極清楚地顯示出了斜邊與偶數(shù)直角邊之差是奇數(shù)的平方， 斜邊與奇數(shù)直角邊之差是偶數(shù)平方值的一半，而斜邊則是由奇數(shù)的平 方與偶數(shù)平方的一半和此奇數(shù)與偶數(shù)之積三項(xiàng)之和所構(gòu)成。當(dāng)P與q有公約數(shù)時(shí)，例如9與12，再例如21與28等，推 導(dǎo)出來(lái)的是派生勾股數(shù)；當(dāng)P與q無(wú)公約數(shù)時(shí)，例如9與8，再例如21與16等，推導(dǎo)出來(lái) 的是勾股數(shù)；12不存在不符合本公式

13、的勾股數(shù)。例如有人奉獻(xiàn)趣味勾股數(shù) 88209, 90288, 126225,它實(shí)際是個(gè)派生勾股數(shù)，它是297, 304, 425乘297倍而成，它是由p = 11和q = 16導(dǎo)出。本文所提供的公式是依據(jù)本文第4條的兩條勾股數(shù)特性規(guī)律 推導(dǎo)而出，但是它可以與六百年前印度婆羅門笈多公式相互推導(dǎo)。依據(jù)本公式勾股定理可從正整數(shù)拓展到負(fù)整數(shù)。在笛卡爾座 標(biāo)圖上，勾股三角形可以在更大的位置上顯現(xiàn)。編輯本段勾股數(shù)公式及證明a=2mnb=mA2-nA2c=mA2+nA2證：假設(shè)aA2+bA2=cA2，這里研究(a,b)= 1的情況(如果不等于1則 (a,b)|c,兩邊除以(a,b)即可)如果a,b均奇數(shù)，則

14、aA2 + bA2 = 2(mod 4)(奇數(shù)mod4余1), 而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一個(gè)偶數(shù)。不妨設(shè)a=2k等式化為4 kA2 = (c+b)(c-b)顯然b,c同奇偶(否則右邊等于奇數(shù)矛盾)作代換：m=(c+b)/2, n=(c-b)/2，顯然m, n為正整數(shù)現(xiàn)在往證：(m,n)=1如果存在質(zhì)數(shù)p,使得p|m,p|n,那么p|m+n(=c), p|m-n(=b), 從而p|c, p|b,從而p|a,這與(a,b)=1矛盾所以(m,n)=1得證。依照算術(shù)基本定理，kA2 = p1Aa1 * p2Aa2 * p3Aa3 * .,其中 a1,a2.均為偶數(shù)，p1,p2,p3.均為質(zhì)數(shù)如果對(duì)于某個(gè)pi, m的pi因子個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，那n對(duì)應(yīng)的pi因 子必為奇數(shù)個(gè)(否則加起來(lái)不為偶數(shù))，從而pi|m, pi|n, (m,n)=pi1 與