概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：Ch-5 隨機(jī)變量序列的極限

1、第五章隨機(jī)變量序列的極限本章要點(diǎn)一、大數(shù)定律二、中心極限定理1.依概率收斂的定義5.1 大數(shù)定律2.獨(dú)立同分布情形下的大數(shù)定律 1.依概率收斂定義5.1 設(shè) 是隨機(jī)變量序列, 如果存在一個(gè)常數(shù) , 使得對任意一個(gè) , 總有那么稱序列 依概率收斂于 , 記作或等價(jià)地 考察頻率的穩(wěn)定性率為 在 重貝努利試驗(yàn)中, 設(shè)事件 發(fā)生了 次, 則 其中 那么事件 發(fā)生的頻而且 頻率穩(wěn)定性的證明 在 重貝努利試驗(yàn)中, 事件 發(fā)生的次數(shù)于是其中進(jìn)一步事件 發(fā)生的頻率 是個(gè)隨機(jī)變 量, 且由切比雪夫不等式知, 對任意的 , 有因此由收斂定義得: 2.獨(dú)立同分布情形下的大數(shù)定律定理5.3 設(shè) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量

2、序列,并且則 也即 因?yàn)?, 所以上式也可寫成若 , ,例1 設(shè) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,問 依概率收斂于什么值?解 , 所以 依概率收斂 , 所以 依概率收斂于于例2 頻率的穩(wěn)定性: 在 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中, 設(shè)隨機(jī) 變量事件 在第 次試驗(yàn)中發(fā)生事件 在第 次試驗(yàn)中不發(fā)生那么 次重復(fù)試驗(yàn)中 發(fā)生的頻率為于是 可以表示為 頻率的穩(wěn)定性可以用下面的貝努利大數(shù)定律來表示:貝努利大數(shù)定律（定理5.4） 設(shè) 獨(dú)立同分布, 且 , 則5.2 中心極限定理定理5.5 （獨(dú)立同分布情形下的中心極限定理） 設(shè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 ,且則對任意的實(shí)數(shù)總有 進(jìn)一步說明記 , 則記 , 則所以, 式即為或例3

3、 對某據(jù)點(diǎn)進(jìn)行轟炸, 擊中的炮彈數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量, 已知 . 現(xiàn)在進(jìn)行了100次轟炸, 問擊中的炮彈總數(shù)在180發(fā)至220發(fā)之間的概率.解 記第 次轟炸某據(jù)點(diǎn)擊中的炮彈數(shù)是則 獨(dú)立同分布, 且于是 100次轟炸擊中的炮彈總數(shù)在180發(fā)至220發(fā)之間的概率即為由中心極限定理, 例4 某人要測量甲、乙兩地的距離, 限于測量工具, 他解 設(shè)第 段的測量誤差為 所以累計(jì)誤差為又 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量, 由知分成1200段進(jìn)行測量, 每段測量誤差（單位: 厘米）服從區(qū)間 上的均勻分布. 試求總距離測量誤差的絕對值超過 厘米的概率. 由獨(dú)立同分布的中心極限定理:故所求即為例5 設(shè)有30個(gè)電子元件 它們?nèi)?/p>

4、下使用: 當(dāng) 損壞時(shí)立即使用 損壞時(shí)立即使用 ,依次類推. 用 表示第 個(gè)元件的壽命, 設(shè) （單位: 小時(shí)）. 記 為30個(gè)元件使用的總計(jì)時(shí)間, 問 超過350小時(shí)的概率是多少?解 第 個(gè)電子元件的壽命 則 由中心極限定理30個(gè)電子元件使用的總計(jì)時(shí)間超過350小時(shí)的概率即為例6 某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端, 每個(gè)終端有5%的時(shí)間在使用, 若各個(gè)終端使用與否是相互獨(dú)立的. 試求在任何時(shí)刻有10個(gè)或更多個(gè)終端在使用的概率.解 記 第 個(gè)終端在使用 否則 獨(dú)立同分布, 且其中 又而 就是任何時(shí)刻同時(shí)被使用的終端數(shù). 由中心 極限定理, 故所求概率即為推論: （德莫弗-拉普拉斯中心極限定理） 設(shè) 是獨(dú)

5、立同分布隨機(jī)變量序列,且都服從參數(shù)為 的0-1分布, 則對任意有 此即 一般地有下列公式 設(shè) , 則當(dāng) 充分大時(shí), 例7 一本 萬字的長篇小說進(jìn)行排版, 假定每個(gè)字被排錯的概率為 試求這本小說出版后發(fā)現(xiàn)有6個(gè)以且有上錯字的概率. 假定每個(gè)字是否被排錯是相互獨(dú)立的.解 以 表示錯字總數(shù), 則由中心極限定理, 小說出版后發(fā)現(xiàn)有6個(gè)以上錯別字的概率即為例8 現(xiàn)有一大批種子, 其中良種占 , 今從中任選6000粒. 試問在這些種子中良種所占的比例減去 后小于1%的概率是多少?解 記 為6000粒種子當(dāng)中良種的個(gè)數(shù), 則且由中心極限定理:所求概率即為例9 利用中心極限定理計(jì)算: 當(dāng)擲一枚均勻的銅幣時(shí),需

6、投擲多少次才能保證使得正面出現(xiàn)的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于90%?解 設(shè)需要投擲 次, 并記 為這 次當(dāng)中正面出現(xiàn)的次數(shù), 則 且由中心極限定理 由題意而由中心極限定理故由解得 , 故取 部分作業(yè)解答5.5 已知某廠生產(chǎn)的晶體管的壽命服從均值為 的指數(shù)分布, 隨機(jī)抽取 只, 試求這 只晶體管的壽命總和超過 的概率.解 以 表示第 只晶體管的壽命, 則此時(shí)所求概率為又由中心極限定理得所以原概率近似為試問, 最多可以把這臺機(jī)床分解成多少個(gè)部件, 才能以5.6 為了測定一臺機(jī)床的質(zhì)量, 將其分解成若干個(gè)部件來稱量. 假定每個(gè)部件的稱量誤差（單位: ）服從區(qū)間 上的均勻分布, 且每個(gè)部件的稱量是獨(dú)立的, 不低于 的概率保證總重量的誤差的絕對值不超過解 設(shè)將機(jī)床分解成 個(gè)部件, 而 表示第 個(gè)部件的重量, 則所以由已知條件又即有所以取 5.7 已知生男嬰的概率為 求在 個(gè)嬰兒中男孩個(gè)數(shù)多于女孩的概率.解 設(shè) 個(gè)嬰兒中男嬰的個(gè)數(shù)為 由條件知此時(shí)由中心極限定理得所以所求概率為 5.8