用不動點法求數(shù)列通項

1、用不動點法求數(shù)列的通項定義：方程f(x)x的根稱為函數(shù)f(x)的不動點.利用遞推數(shù)列f(x)的不動點，可將某些遞推關(guān)系anf(an1)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種方法稱為不動點法.定理1：若f(x)axb(a0,a1),p是f(x)的不動點，an滿足遞推關(guān)系ann1),(n1)，則anpa(an1p)，即anp是公比為a的等比數(shù)列.f(a證明：因為p是f(x)的不動點bpap由anaan1b得anpaan1bpa(an1p)所以anp是公比為a的等比數(shù)列.定理2：設(shè)f()axb(c0,adbc0)，an滿足遞推關(guān)系anf(an1),n1，xcxd初值條件a1f(a1)（1）

2、：若f(x)有兩個相異的不動點anpkan1p（這里kapc）p,q，則qanqaqcan1（2）：若f(x)只有唯一不動點p，則an1p1pk（這里k2c）an1ad證明：由f(x)x得f(x)axbx，所以cx2(da)xb0cxdppdbcp2(da)pb0apc（1）因為p,q是不動點，所以cq2(da)qb0qd，所以qbaqcaan1bpan1pdbanpcand(apc)anbpdapcapcapcan111anqaan1bq(aqc)an1bqdaqcan1qdbaqcan1can1daqc令kapc，則anpkan1paqcanqan1q（2）因為p是方程cx2(da)xb0

3、的唯一解，所以cp2(da)pb0pq所以bpdcp2ap，pad所以2canaan1bp(acp)an1bpd(acp)an1cp2ap(acp)(an1p)pdcan1dcan1dcan1dcan1所以11can1d1c(an1p)dcpcdcp112canpacpan1pacpan1pacpacpan1pan1pad令k2c，則an1an1kadp1p例1：設(shè)an滿足a11,an1an2,nN*，求數(shù)列an的通項公式an例2：數(shù)列an滿足以下關(guān)系：a12a,an12aa2,a0，求數(shù)列an的通項公式an定理3：設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a0,e0)有兩個不同樣的不動點x1,x2,且由e

4、xfun1f(un)確定著數(shù)列un,那么當且僅當b0,e2a時,un1x1(unx1)2un1x2unx2證明:xk是f(x)的兩個不動點axk2bxkc即c2xkexkxkf(ea)xkbxk(k1,2)fun1x1aun2buncx1(eunf)aun2(bex1)uncx1faun2(bex1)un(ea)x12bx1un1x2aun2buncx2(eunf)aun2(bex2)uncx2faun2(bex2)un(ea)x22bx2于是,1x10方程組有唯一解b0,e2a1x2例3：已知數(shù)列an中,a12,an1an22,nN*,求數(shù)列an的通項.2an其實不動點法除認識決上面所考慮的

5、求數(shù)列通項的幾種狀況,還可以解決以下問題:例4：已知a10,a1an46an21,求數(shù)列an的通項.1且an121)4an(an解:作函數(shù)f(x)x46x21x得f(x)的不點4x(x2,解方程f(x)1)x11,x21,x33i,x43i.取p1,q1,作以下代:33逐次迭代后,得:an(a11)4n1(a11)4n1(a14n1(a14n11)1)已知曲Cn:x22nxy20(n1,2,K)從點P(1,0)向曲Cn引斜率kn(kn0)的切l(wèi)n，切點Pn(xn,yn)（）求數(shù)列xn與yn的通公式；（）明：x1x3x5Lx2n11xn2sinxn1xnynp，q數(shù)，是方程x2pxq0的兩個根，數(shù)列xn足x1p，x2p2q，xnpxn1qxn2（n3，4，）（1）明：p，q；（2）求數(shù)列xn的通公式；（3）若p1，q1，求xn的前n和Sn4x2已知函數(shù)f(x)x1，是方程f(x)0的兩個根（），f(x)是f(x)的數(shù)，a11，an1anf(an)(n1，2，L)f(an)（1）求，的；（2）明：任意的正整數(shù)n，都有an；（3）bnlnan(n12)，求數(shù)列bn的前n和Snan，L西文21（本小分12分）已知數(shù)列an足，a1a22,a2anan1,nN*.1n2令bnan1an，明：bn是等比數(shù)列；()求an的通公式。山文20.（本小分12分）等比數(shù)