蘇教版數(shù)學(xué)高一蘇教版必修4知識(shí)必備3.3幾個(gè)三角恒等式

1、3.3 幾個(gè)三角恒等式知識(shí)梳理一、萬(wàn)能代換公式：sin=;cos=;tan=.二、關(guān)于和差化積、積化和差公式的推導(dǎo)1.積化和差公式推導(dǎo)課本僅推了第一個(gè)，下面給出公式的全部推導(dǎo)過(guò)程：由于sin(+)=sincos+cossin;sin(-)=sincos-cossin;cos(+)=coscos-sinsin;cos(-)=coscos+sinsin.+,得sincos=sin(+)+sin(-);-,得cossin=sin(+)-sin(-);+,得coscos=cos(+)+cos(-);-,得sinsin=-cos(+)-cos(-).2.和差化積公式的推導(dǎo)在積化和差公式中，如果“從右往左

2、”看就是和差化積.令+=,-=,則=,=,代入第一個(gè)積化和差公式，可得sin+sin=2sincos.同理,可得sin-sin=2cossin,cos+cos=2coscos,cos-cos=-2sinsin.知識(shí)導(dǎo)學(xué)要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，可以以一般的數(shù)學(xué)(代數(shù))變換思想為指導(dǎo)，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)式特點(diǎn)的觀察，注意體會(huì)三角恒等變換的特殊性.關(guān)于和差化積、積化和差,萬(wàn)能代換公式這三組公式要了解它們的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)其中用到的換元與方程的思想.課本上雖然不要求記憶，但如果能記住且會(huì)用，在解某些題目時(shí)將會(huì)少繞彎路，起到事半功倍的效果.半角公式雖然不要求記憶，但要熟悉公式的推導(dǎo)和使用，在解題過(guò)程中能熟練地進(jìn)行變形

3、，應(yīng)用它們可以起到降冪或升冪的重要作用.疑難突破1.代數(shù)式變換與三角變換有何異同？剖析：三角恒等變換與代數(shù)恒等變換、圓的幾何性質(zhì)等都有緊密聯(lián)系，推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程比較集中地反映了這種聯(lián)系，從中體現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思想.從數(shù)學(xué)變換的角度看，三角恒等變換與代數(shù)恒等變換既有相同之處又有各自特點(diǎn).相同之處在于它們都是運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)工具對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)式子作“只變其形不變其質(zhì)”的數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)其結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行變換.由于三角函數(shù)式的差異不僅表現(xiàn)在其結(jié)構(gòu)形式上，而且還表現(xiàn)在角及其函數(shù)類型上，因此三角恒等變換常常需要先考慮式子中各個(gè)角之間的關(guān)系，然后以這種關(guān)系為依據(jù)來(lái)選擇適當(dāng)?shù)娜枪竭M(jìn)行變換，這是三角恒等變換的

4、主要特點(diǎn).2.如何確定半角的正弦、余弦、正切的無(wú)理式前的符號(hào)?剖析：(1)若給出角是某一象限角時(shí)，可根據(jù)下表決定符號(hào)：sincostan第一象限一、三象限+、-+、-+第二象限一、三象限+、-+、-+第三象限二、四象限+、-、+-第四象限二、四象限+、-、+-(2)若給出的范圍時(shí)，可先求出的范圍，再根據(jù)的范圍確定符號(hào).(3)若沒(méi)有給出決定符號(hào)的條件時(shí)，則要保留正,負(fù)兩個(gè)符號(hào).3.半角公式的推導(dǎo)和使用.tan還可以用sin、cos的有理表達(dá)式給出嗎？半角僅僅是2與之間的關(guān)系嗎？剖析：(1)半角公式雖然不要求記憶，但要熟悉公式的推導(dǎo)和使用，在解題過(guò)程中能熟練地進(jìn)行變形，特別是sin2=與cos2=.應(yīng)用它們可以起到降冪或升冪的重要作用，在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、證明過(guò)程中有著舉足輕重的地位.(2)課本中半角公式給出了無(wú)理表達(dá)式：sin=,cos=,tan=.其中tan還可以用sin、cos的有理表達(dá)式給出：tan=,推導(dǎo)如下：tan=或tan=,即tan=.這兩個(gè)公式將tan表示成了sin、cos的有理表達(dá)式.使用它們?cè)谝恍┯?jì)算或化簡(jiǎn)過(guò)程中可避免開(kāi)方和對(duì)根號(hào)前符號(hào)的判斷，非常方便，如計(jì)算tan可直接化為-1，但應(yīng)注意到tan=的適用范圍是k(kZ,而tan=與tan=的適用范圍