單自由度系統(tǒng)的振動

1、PAGE PAGE 9第2章 單自由度(SDOF)系統(tǒng)振動(Single Degree of freedom) 如果振動系統(tǒng)任意時刻的空間位置只需要一個獨立參數(shù)來表達，則稱為單自由度系統(tǒng)。本章介紹單自由度系統(tǒng)運動方程的建立，以及自由振動的特點和動力響應的計算問題。2.1 運動方程的建立此處分別應用基于達朗貝爾原理的直接平衡法、虛位移原理和哈密頓原理建立振動微分方程。2.1.1 直接平衡法 承受動力荷載作用的任何單自由度系統(tǒng)均可以由圖21所示的模型來代表。圖21(a)中，為質量塊的質量()，是為彈簧的剛度()，為粘滯阻尼系數(shù)()，為干擾力()。將坐標原點設在質量塊的靜平衡位置處，坐標即為相對于靜

2、平衡位置產生的質量塊的動位移。在任意瞬時取質量塊的隔離體，如圖21(b)所示，作用于質量塊上的力有下列四種： （1）彈性恢復力（它等于彈簧剛度與位移的乘積），與位移的方向相反； （2）阻尼力（假設為粘滯阻尼機理，它等于阻尼常數(shù)與速度的乘積），與速度的方向相反； （3）慣性力（根據(jù)dAlembert原理，它等于質量與加速度的乘積），與加速度的方向相反；（4）干擾力，.（根據(jù)豎向力的動平衡條件即直接平衡法得出） (21)在振動的任意時刻，這四種力都保持著平衡，只是各個力所占的比例不同而已。由方程(21)可知，相對于動力系統(tǒng)的靜力平衡位置所建立的運動方程是不受重力影響的。換言之，此類情況可以不考慮重

3、力影響建立方程。由于這個原因，建立方程時，位移都以靜力平衡位置作為坐標原點，由此方程僅能得到系統(tǒng)的動位移，而總的位移應該是動力位移響應和靜力位移值的疊加。2.1.2 虛位移原理以圖21所示的結構系統(tǒng)說明如何應用虛位移原理建立方程。令質量發(fā)生虛位移，則作用在質量上的四個力所作的總虛功應該等于零，即式中的負號是因為力的方向和虛位移的方向相反。因為上式中的虛位移不等于零，很容易得到式（21）所示的振動方程。， ，因為，將四種力的表達式代入前式可推出 在結構系統(tǒng)中某些結構具有這樣的特點：彈性變形完全限定于局部的彈簧元件中發(fā)生，而結構本身沒有彈性變形，稱此為剛體集合系統(tǒng)?，F(xiàn)在介紹采用虛位移原理建立這類振

4、動系統(tǒng)的運動方程。 例2.1 圖22所示的系統(tǒng)由兩根剛性桿組成，兩根桿用鉸連接在一起。在O點和D點分別受到阻尼器和彈簧的約束，AD桿的單位長度的質量是均勻的，在無重剛桿DB中點有一個質量，并且上作用一個集中力，現(xiàn)用虛位移原理建立該系統(tǒng)的振動方程。 解 因為兩個桿都是剛性的，所以整個系統(tǒng)僅一個自由度，故其動力響應可以用一個方程來表達。該體系可以用直接平衡法建立方程，但是用虛位移原理更簡便。 選擇鉸的垂向位移為基本自由度，而其他的一切位移均可以通過它來表達。例如阻尼器處的位移為，質量處的位移為，作用于結構上的全部力為： 彈性力，； 阻尼力，； 質量慣性力,；剛性桿平動慣性力，；角加速度用表示：，角

5、加速度用表示：， 干擾力。 根據(jù)作用于系統(tǒng)上的所有力在發(fā)生虛位移時所做的總功等于零來建立運動方程。根據(jù)虛位移和成比例這一特性，可以寫出總的虛功：引進：“引進：“廣義質量、廣義阻尼、廣義剛度和廣義荷載”的概念 或者寫成： 其中， ，分別稱為“廣義質量、廣義阻尼、廣義剛度和廣義荷載”，又可稱為“等效質量、等效阻尼、等效剛度和等效荷載”。僅由彈簧的應變能表達的位能2.1.3 哈密頓原理僅由彈簧的應變能表達的位能針對圖21，采用哈密頓原理建立振動方程。由圖21得系統(tǒng)的動能和勢能分別為：，非保守力即阻尼力和干擾力所做的功的變分為： （22）體系的非保守力為阻尼力和作用的荷載體系的非保守力為阻尼力和作用的

6、荷載解釋：該項相當于虛位移原理的方程中與力有關的虛功表達式。根據(jù)式(16)，將動能對于速度求變分，將勢能對于位移求變分，得到：， （23）將式(2-2)和式(23)代入式(1-6)得： （24）以上各項積分中，僅第一項含有速度的變分，通過分部積分得：解釋：式中利用了關系解釋：式中利用了關系，在哈密頓原理中假定變分在積分限和時為零，故第一項為零。因為在和時刻的位移是給定的，故其變分等于零。于是可得： （25）將式(25)代入式(24)，得： （26）考慮到時間區(qū)間內變分的任意性（），上式如果成立，被積分函數(shù)必須等于零。于是得到與式(21)相同的運動方程。以上的例題說明，同一運動方程可以用三種基本

7、方法中的任一種來導出，顯然對于不同的系統(tǒng)可以選擇不同的方法建立運動方程，以簡單方法建立為好。（對簡單的體系，使用直接平衡法將比較簡單）2.1.4 重力的影響現(xiàn)在討論圖（21）)所示的體系，重力沿著位移的方向作用，此時，作用在質量上的力系如圖（23b）所示，當引用各力的表達式后，體系的平衡關系可以寫作 （附21）其中是剛體的重量。圖23 重力對單自由度體系平衡的影響但是，如果總位移用由重量引起的靜位移及附加動力位移的和來表示，如圖（23c）所示，即： （附22）則彈簧力可寫為： （附23）將方程 (附23)代入方程（附21）得： （附24）注意到，則導致 （附25）對方程（附22）求導數(shù)，同時注

8、意到是不隨時間變化的，因此顯然有等關系，所以方程（附25）可改寫為： （附26）圖24比較方程（附26）及方程(21)可見，相對于動力體系的靜力平衡位置所寫出的運動方程是不受重力影響的（因此單自由度系統(tǒng)的物理模型可以簡化為圖2圖242.1.5支座擾動的影響 結構的動應力和動位移不僅可以由隨時間變化的荷載引起，如圖21所表示的那樣，而且也可以由于結構支承點的運動而產生。由于地震引起的建筑物基礎的運動，或由于建筑物的振動而引起放在建筑物內的設備基底的運動等等，就是這類擾動的重要的例子地震振動問題的一個簡化模型如圖25所示。圖中由于地震引起的地面水平運動用相對于固定參考軸的結構基底位移來表示。圖25

9、制作擾動對單自由度體系平衡的影響：（a）體系的運動；（b）平衡力系在這個剛架里水平橫梁假定是剛性的，而且它包含了結構所有的移動質量。立柱假定為無重且在豎直方向(軸向)不能伸長，抵抗橫梁位移的恢復力，由每一根彈簧常數(shù)為的立柱來提供。這樣，這個質量具有一個自由度，它與立柱的彎曲有關，而且阻尼器則提供了對這個變形的抗力，這個抗力與速度成比例。圖25制作擾動對單自由度體系平衡的影響：（a）體系的運動；（b）平衡力系如圖25(b)所示，對于這個體系的平衡可以寫為： （附27）式中阻尼力和彈性力可以用前述方程表示，而在這種情況下，慣性力由下式給出： （附28）式中表示質量對參考軸的總位移。將慣性力、阻尼力

10、和彈性力的表達式代入方程（附27）可得： （附29）在解這個方程之前，所有的力都必須用單一的變量來表達，為此，把質量的總位移表示為地面運動和柱子變形的和即可，即： （附210）對方程（附210）求導，獲得兩個加速度分量，以它們表示慣性力，并代入方程（附29），可得： （附211）或由于地面加速度代表對結構特定的動力輸入，運動方程可以很方便地寫成： （附212） 在這個方程中，表示等效支承擾動荷載。換句話說，在地面加速度作用下，結構的反應就和在外荷載下產生的反應一樣，只是外荷載等于質量和地面加速度的乘積而已。方程（附212）中的負號表示等效力的方向和地面加速度方向相反；因為般必須假定基底輸入的作

11、用方向不定，因此這一符號實際上是不重要的。附：2.1.5廣義單自由度體系：剛體集合剛體質量和質量慣性矩 直到目前，所討論的所有例子都是十分簡單的因為，體系的物理特性質量、阻尼和彈性中每一個都用單個離散單元來表示。然而，大多數(shù)實際體系的分析，即使可以把它們當作單自由度結構考慮，仍需要用更復雜的理想化模型。為了這個討論目的，將廣義單自由度結構區(qū)分為二類較為方便：（1）剛體的集合，在這種集合中彈性變形完全限定于在局部的彈簧元件中發(fā)生。（2）體系具有分布彈性，在這個體系里變形可以在整個結構上或在它的某些元件上連續(xù)在這兩種情況里，都假定只允許有某種單一形式的位移，從而迫使結構的性狀象單自由度體系一樣。對于此處所討論的剛體集合類結構，其所允許的單一位移形式常常是由剛體集合的構造來決定的，也就是說這些剛體被支承和鉸所約束，因而僅能有一種位移形式。對具有分布彈性的結構，