高考數(shù)學(xué)壓軸專題2020-2021備戰(zhàn)高考推理與證明分類匯編及答案

1、【最新】推理與證明專題解析（1）一、選擇題2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為鴻福齊天”、國富民強”、興國之路”，為了弄清 國富民強”這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復(fù)如下：小明說：鴻福齊天”是我制作的；小紅說：國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則鴻福齊天”的制作者是（）A.小明B.小紅C.小金D.小金或小明【答案】B【解析】【分析】將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證【詳解】依題意

2、，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊大小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則 4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點睛】 TOC o 1-5 h z 本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題2災(zāi)K石【比才.3 3O3Q23 3。3Q3U23。3O3/3d C21m.現(xiàn)祭卜列寺工123,123b,123410）匚3333f n 123 n .根據(jù)上述規(guī)律，若f n 225,則正整數(shù)n的值為（）A. 8B. 7C. 6D

3、. 5由規(guī)律得f n 由規(guī)律得f n 12 322n n 1再解方程即可【詳解】22由已知等式的規(guī)律可知f nn n 1 ，當(dāng) f n 225 由已知等式的規(guī)律可知f n4得n 5.故選：D【點睛】考查觀察轉(zhuǎn)化能力，是基礎(chǔ)題本題考查歸納推理，熟記等差數(shù)列求和公式是關(guān)鍵,考查觀察轉(zhuǎn)化能力，是基礎(chǔ)題x v3.在平面直角坐標(biāo)系中，方程- -1表示在x軸、y軸上的截距分別為 a,b的直線，類比 a b到空間直角坐標(biāo)系中，在x軸、y軸、z軸上的截距分別為 a,b,c abc 0的平面方程為()x y z (xy z(A. 1B. 1abcab bc caxy yz zx.C. 1d. ax by cz

4、1ab bc ca【答案】A【解析】【分析】平面上直線方程的截距式推廣到空間中的平面方程的截距式是-abc【詳解】a,b,c,則該平面的方程為:由類比推理得：若平面在 x軸、y軸、za,b,c,則該平面的方程為:-1 ,故選 A. abc【點睛】平面中的定理、公式等類比推理到空間中時，平面中的直線變?yōu)榭臻g中的直線或平面，平 面中的面積變?yōu)榭臻g中的體積 .類比推理得到的結(jié)論不一定正確，必要時要對得到的結(jié)論證 明.如本題中，可令x 0,y 0,看z是否為c.一 、2 4 34.觀祭(x ) 2x , (x ) 4x , (cosx) sin x ,由歸納推理可得：右te義在R上的函數(shù)f(x)滿足f

5、(x) f (x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g( x)=A. f(x)B,f(x)C, g(x)D, g(x)【答案】D【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因為f(x)是偶函數(shù)，則g(x)f(x)是奇函數(shù)，所以g（ x） g（x）,應(yīng)選答案d.c 27, 一一，3, x 4 ,，可推廣為xc 27, 一一，3, x 4 ,，可推廣為xC. 2nD. 22n 2.已知x 0,不等式x - 2, x xxx二n 1 ,則a的值為（） xA. n2B. nn【答案】B【解析】【分析】由題意歸納推理得到a的值即可.【詳解】由題意，當(dāng)分母的指數(shù)為 1時，分子為11 1 ;當(dāng)分母的指數(shù)為2

6、時，分子為22 4；當(dāng)分母的指數(shù)為3時，分子為3327 ; a 一據(jù)此歸納可得：x = n 1中，a的值為nn.x本題選擇B選項.歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理,由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理,由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā) 現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.給出下面類比推理：“若2a2b,則ab”類比推出 若a2b2,則a0,則ab”類比推出 ，bC C,若a- b0,則ab（C為復(fù)數(shù)集）： 其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析

7、】【分析】在數(shù)集的擴展過程中，有些性質(zhì)是可以傳遞的，但有些性質(zhì)不能傳遞，因此，要判斷類比的結(jié)果是否正確，關(guān)鍵是要在新的數(shù)集里進行論證，當(dāng)然要想證明一個結(jié)論是錯誤的，也可以直接舉一個反例，要想得到本題的正確答案，可對四個結(jié)論逐一進行分析，不難解答【詳解】若2a 2b,則a b”類比推出 若a2 b2,則a b”，不正確，比如a 1,b2；a b a b一 “（a b）c ac bc（c 0） ”類比推出-一 一-（c 0）”，正確； c c c在復(fù)數(shù)集C中，若兩個復(fù)數(shù)滿足 a b 0,則它們的實部和虛部均相等，則a,b相等,故正確；若a,b C,當(dāng)a 1 i,b i時，a b 1 0,但a,b是

8、兩個虛數(shù)，不能比較大小， 故錯誤； TOC o 1-5 h z 所以只有 正確，即正確命題的個數(shù)是2個，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)判斷類比得到的結(jié)論的正確性的問題，涉及到的知識點有式子的運算法 則，數(shù)相等的條件，復(fù)數(shù)不能比較大小等結(jié)論，屬于簡單題目.在平面幾何中，與三角形的三條邊所在直線的距離相等的點有4個，類似的，在立體幾何中，與四面體的四個面所在平面的距離相等的點有（）A. 1個B. 5個C. 7個D. 9個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面圖形的結(jié)論，通過想象類比得出立體圖形對應(yīng)的結(jié)論【詳解】根據(jù)三角形的內(nèi)切圓和旁切圓可得與三角形的三條邊所在直線的距離相等的點有且只有4個，由此類比

9、到四面體中，四面體的內(nèi)切球的球心到四個面所在的平面的距離相等， 還有四個旁切球的球心到四個面所在的平面的距離相等，因此這樣的點有且只有 5個.故選：B【點睛】本題考查的是類比推理，找出切入點是解題的關(guān)鍵.小正方形按照下圖中的規(guī)律排列，每個圖形中的小正方形的個數(shù)構(gòu)成數(shù)列an有以下結(jié)論：a5 15 ;an是一個等差數(shù)列； 數(shù)列an是一個等比數(shù)列； 數(shù)列an 的遞堆公式an 1 an n 1（n N工其中正確的是（） TOC o 1-5 h z (3) WA.B,C.D.【答案】D【解析】由圖形可得：ai=i,a2=1+2,n n 1 an 1 2 n.2所以a5=15；正確；an- an-1= n

10、,所以數(shù)列an不是一個等差數(shù)列；故 錯誤； 數(shù)列an不是一個等比數(shù)列； 錯誤；數(shù)列an的遞推關(guān)系是an+1=an+n+1(n C N?).正確；本題選擇D選項.點睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式； 將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等 比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項.關(guān)于甲、乙、丙三人參加高考的結(jié)果有下列三個正確的判斷： 若甲未被錄取，則乙、丙都被錄取； 乙與丙中必有一個未被錄??； 或者甲未被錄取，或者乙被錄取 .則三人中被錄取的

11、是()A.甲B.丙C.甲與丙D.甲與乙【答案】D【解析】【分析】分別就三人各自被錄取進行分類討論，分析 能否同時成立，進而可得出結(jié)論.【詳解】若甲被錄取，對于命題 ，其逆否命題成立，即若乙、丙未全被錄取，則甲被錄取，命題成立，則乙、丙有且只有一人錄取，命題 成立，則乙被錄取，三個命題能同時成立；若乙被錄取，命題 成立，則丙未被錄取，命題 成立，命題 成立，其逆否命題成立，即若乙、丙未全被錄取，則甲被錄取，三個命題能同時成立；若丙被錄取，命題 成立，則乙未被錄取，命題 成立，則甲未被錄取，那么命題 就 不能成立，三個命題不能同時成立.綜上所述，甲與乙被錄取.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考

12、查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題 TOC o 1-5 h z .觀察下列各式：72 49 , 73 343, 74 2401 ,，則71009的末兩位數(shù)字為()A. 49B. 43C. 07D. 01【答案】C【解析】【分析】先觀察前5個式子的末兩位數(shù)的特點，尋找規(guī)律，結(jié)合周期性進行判斷即可【詳解】觀察 72 49 , 7 3 343, 74 2401, 75 2401 7 16807，76 16807 7 117649,，可知末兩位每4個式子一個循環(huán)，72 49至11 71009一共有 1008個式子，且1008 4 252 ,則71009的末兩位數(shù)字與75的末兩位數(shù)字相同，為 07. 故選

13、：C.【點睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)條件尋找周期性是解決本題的關(guān)鍵6ii.6ii.用數(shù)學(xué)歸納法證明+2+3+ -3=-nn-,nCN*，貝U當(dāng)n=k+1時)應(yīng)當(dāng)在 n=k時對應(yīng)的等式左邊加上(A, k3+1(k+1) 3D.(k3+1) + (k3+2) + + 的等式左邊加上(A, k3+1(k+1) 3D.(k3+1) + (k3+2) + + (k+1) 3(k 1)6 (k 1)32【答案】B【解析】分析：當(dāng)項數(shù)從n1時,詳解：當(dāng)n k時,等式左邊當(dāng)n k 1時，等式左邊1等式左邊變化的項可利用兩個式子相減得到。3 .k3.k3(k3 1) (k3 2)(k3 3).(k 1

14、)3所以增加的項為(k3 1) (k32)(k3 3).(k 1)3所以選B點睛：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，當(dāng)項數(shù)變化時分析出增加的項，屬于簡單題。.某單位實行職工值夜班制度，己知 A, B, C, D, E5名職工每星期一到星期五都要值一次夜班，且沒有兩人同時值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，從今天起B(yǎng), C至少連續(xù)4天不值夜班，D星期四值夜班，則今天是星期幾A.B,三C.A.B,三C.四D.五【解析】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假設(shè)今天是周二，則周二與周三B, C至少有一人值夜班，與已知從今天起B(yǎng), C至少連續(xù)4天不值夜班矛盾；若今天是周三

15、，則周五與下周一 B, C至少有一人值夜班，與已知從今天起B(yǎng), C至少連續(xù)4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四.詳解：A昨天值夜班，D周四值夜班，今天不是周一也不是周五，若今天是周二，則周一 A值夜班，周四D值夜班，則周二與周三 B, C至少有一人值夜班，與已知從今天起 B, C至少連續(xù)4天不值夜班矛盾；若今天是周三，則 A周二值夜班，D周四值夜班，則周五與下周一B, C至少有一人值夜班，與已知從今天起 B, C至少連續(xù)4天不值夜班矛盾；若今天是周四，則周三 A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合題意.故今天是周四.故選：C.點睛：本題考查簡單的推理，考查合情推理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能

16、力，屬于中檔題.已知 f (x) sinx cosx,定義 f(x) f (x),_,_* i，、f2(x)f1(x) , fn1(x)fn(x) , ( n N ),經(jīng)計算，fi(x) cosx sin x,f2(x)sin x cosx, f3(x)cosx sin x,，照此規(guī)律，f20i9(x)()A. cosx sin x B. cosx sin x C sin x cosx D. cosx sin x 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)歸納推理進行求解即可.【詳解】解：由題意知：f (x) sin x cosx ,f1 (x)f (x) cosx sin x ,(f2(x)f1(x)s

17、inx cosx ,f3(x)f2(x)cosx sin x ,(f4(x)f3(x)sin x cosx,L照此規(guī)律，可知： f2019(x)f3(x)f2(x)cosx sin x,故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)值的計算，利用歸納推理是解決本題的關(guān)鍵.y y z z x x.設(shè) x, y, z0,則三個數(shù)一 一，一 一，一 一()x z x y z yA.都大于2B.至少有一個大于 2C.至少有一個不小于 2D.至少有一個不大于 2【答案】C【解析】【分析】【詳解】假設(shè)這三個數(shù)都小于 2,則三個數(shù)之和小于 6,又+2+三+ 3 + 2+?=(2+)+ xzxyzy x y(-+ )+(-

18、+ -) 2F2 + 2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x= y=z時取等號，與假設(shè)矛盾，故這三個數(shù) z y x z至少有一個不小于 2.在一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測.甲：我的成績比乙高.乙：丙的成績比我和甲的都高.丙：我的成績比乙高.成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A,甲、乙、丙B,乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一驗證的方法進行求解 .【詳解】若甲預(yù)測正確，則乙、丙預(yù)測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)測正確，則丙預(yù)測也正確，不符合題意；若丙預(yù)測正確，則甲

19、必預(yù)測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙預(yù)測正確，不符合題意，故選 A.【點睛】本題將數(shù)學(xué)知識與時政結(jié)合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查. -1 116.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 -2 3n k到n k 1時，左邊增加的項數(shù)是（ -1 116.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 -2 3n k到n k 1時，左邊增加的項數(shù)是（A. 2kB. 2k 1【答案】A【解析】【分析】2且n N ）時，在證明從C.2k 1d. k根據(jù)題意由nk遞推到n k 1時，由nk 1時的不等式左邊1 1 12 3解.【詳解】12k 1112k2k 1

20、一與n k時不等式的左邊比較即可求 2k 1 1 一1 11 一，一 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark88 o Current Document 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 - 1 1I n的過程中, 2 32n 1,，1 11假設(shè)n k時不等式成立，則左邊1 1 1, HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 2 32k 1，11那么當(dāng)n k 1時，左邊 1,，11那么當(dāng)n k 1時，左邊 1,12 312k 1112k2k 12k 1 1由n k遞推到n k 1時，不等式左邊增加了:112k 2k 12k 1 1

21、共 2k 1 12k 12k 項.故選：A【點睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查觀察、推理與運算能力，屬于中檔題.科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到.任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把中間一段”去掉，這樣，原來的條線段就變成了 4條小線段構(gòu)成的折線，稱為 次構(gòu)造”；用同 樣的方法把每一條小線段重復(fù)上述步驟，得到了16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為 上次構(gòu)造”，如此進行 n次構(gòu)造”，就可以得到一條科曲線.若要科赫曲線的長度達到原來的100倍，至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是（).(取 lg 2 0.3010,lg30.4771)D.

22、18D. 18n 1n-a -4 a,建立不A. 15B. 16C. 17【答案】C【解析】【分析】由折線長度變化規(guī)律得到 n次構(gòu)造后，曲線的長度為ln等式 4 a iooa ,利用對數(shù)運算求解3【詳解】設(shè)原線段長為a,經(jīng)過n次構(gòu)造后,曲線的長度為1n則經(jīng)過1次構(gòu)造后，曲線的長度為設(shè)原線段長為a,經(jīng)過n次構(gòu)造后,曲線的長度為1n則經(jīng)過1次構(gòu)造后，曲線的長度為114a經(jīng)過2次構(gòu)造后,曲線的長度為l2經(jīng)過3次構(gòu)造后,曲線的長度為l3依次類推,經(jīng)過n次構(gòu)造后,曲線的長度為1經(jīng)過n次構(gòu)造后,曲線的長度為1n若要科赫曲線的長度達到原來的100 倍,a 100a，log 4 1003log 4 10031

23、g1002lg 2 lg316.0132 0.3010 0.4771，所以至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是17.故選：C【點睛】 本題主要考查數(shù)列新定義運算問題涉及到對數(shù)運算，還考查了推理論證的能力，屬于中檔 題.三角形的三個頂點的坐標(biāo)分別為(不，%) , (X2,y2), (X3,y3),則該三角形的重心X1 X2 X3 % V2 V3(二邊中線父點)的坐標(biāo)為 ,-.類比這個結(jié)論，連接四面體的一 TOC o 1-5 h z 33個頂點及其對面三角形重心的線段稱為四面體的中線，四面體的四條中線交于一點，該點 稱為四面體的重心.若四面體的四個頂點的空間坐標(biāo)分別為(為，丫乙)，(X2,y2,Z2),(X3

24、, y3,Z3) , (X4, y4,Z4),則該四面體的重心的坐標(biāo)為()X1X2X3X4,y1V2y3丫4,4 Z2 Z3。XiX2X3X4 y2 y3 y4 4 Z2 Z3 , HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 222XiX2X3X4y y3y3y44Z2Z34,% X2 X3 X4 y y2 Ya y4 4 z2 Z3 d .,444【答案】D【解析】 【分析】首先根據(jù)題意，三角形的重心的坐標(biāo)是三個頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，從平面擴展到空間， 從三角形擴展到四面體，得到四面體的重心的坐標(biāo)是四個頂點的算術(shù)平均數(shù)，從而得到答 案.【詳解】根據(jù)題意，三角形重心的坐標(biāo)是三個頂點的坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，從平面擴展到空間，從三角形推廣到四面體，就是四面體重心的坐標(biāo)是四個頂點的算術(shù)平均數(shù)，故選D.【點睛】該題考查的是類比推理，由平面圖形的性質(zhì)類比猜想得出空間幾何體的性質(zhì)，一般思路是：點到線，線到面，或是二維到三維，屬于簡單題