平面幾何五種模型

1、平面幾何五種模型等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊1、等積模型等底等高的2個三角形面積相等2個三角形高相等，面積比=底之比2個三角形底相等，面積比 =高之比夾在一組平行線之間的等積變形（方方模型）等積模型是基本應用應是爛熟于心的都是利用面積公式得到的推定比例如下：1等底等高的2個平行四邊形面積相等2三角形面積等于它等底等高的平行四邊形面積的一半32個平行四邊形高相等，面積比=底之比；2個平行四邊形底相等，面積比= 高之比2、鳥頭模型（共角定理）鳥頭定理：2個三角形中，有一個角 相等或互補，這2個三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）力X，卜兩夾邊的乘積之比（夾角 2邊無

2、衣）鳥頭定理的使用要火眼金睛，經(jīng)常需要自己補一條輔助線同時經(jīng)過2次以上轉(zhuǎn)換對應才能得到結果。如圖，淺紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于淺紫色三角形是“嵌入”在大三角形 ABC里面，注意，鳥頭定 理用的是乘積比！不是單獨的線段比 k .AD XAE小X小記憶上用夾角2邊天城天最好記，這里等于AbXAC鳥頭定理的證明，寫出來是因為很多題目的解題過程，都需要補這么一條輔助線來過度連接2個看起來無關的圖形。證明的途徑其實跟我們?nèi)粘＝忸}途徑重合，所以寫出來，仔細看。經(jīng)由媒介的ABE,聯(lián)系了 ADE和大三角形ABCBE輔助線很重要！鳥頭定理是用等高（等于是用等積推算而得）第二種的證明方式

3、將對頂角壓回來 ABC內(nèi)，對頂角性質(zhì)是相等的， 所以壓回來的新跟 ADE是全等，再做一條輔助線就能用共角的方式 證明由對角的鳥頭定理互補角的鳥頭定理證明ADDSJAADE=SADE,因為同底等高AD=AD,高相等，所以面積相等寫了這幾個證明，其實說的目的只有一個：連接小三角形和大三角形過度的那條輔助線, 特別重要！3蝴蝶模型任意四邊形中的比例關系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶 S = S4 或者G父S3 = S2父S4 AO:OC = S S : S4 s3S1左上 S4右上 S1左上-S4右上;上面旗 上線上下比 Sz左下=S3右下= S 2左下+ S3右下=下面積 =F線S1左上 S2左下 S1左

4、上+ S2左下=左面積 左線【上上比】S二右上二I右F = 右，、； 一下 行而出 =一出由上述比例可以按數(shù)學運算原則推出很多規(guī)則：如S1左上S4右上面積交叉相乘的乘積相等 2左下=3右下=S父S3 = S2父S4 梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶）222. 2 S ： S3 = a : b 上：下二a : b2 . 22. 2 S ： S3: S2: S4 = a ：b :ab：ab一上：下：左：右=a : b : ab: ab2s的對應份數(shù)為（a + b）-a2+2ab+b 2=a2+b2+ab+ab有木有T4相似三角形形狀相同，大小不同的三角形，只要形狀不變，無論大小怎么改變, 他們都相似。1相似三

5、角形的一切對應線段的長度成比例，并且=它們的相似比2相似三角形的面積比=相似比的平方3連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長 =它所對應的底邊長的一半就是三角形任2邊中點連由來的中位線就是第三邊長的一半！由題幾率：多產(chǎn)生于 2條平行線造成的相似三角形金字塔模型沙漏模型SADE: SABC=AF2: AG2特別注意！相似三角形的面積比是等于相似比的平方5共邊定理燕尾模型、風箏模型、塞瓦定理共邊定理說明如圖一想知道 PAB和QAB的面積比？我們就如圖二做個高，因為 同底（就是共用一個邊）所以面積比 =高之比，再想辦法偷懶，延長PQ、AB的線相交于 M ,那么剛

6、學的相似三角形可以派上用場，因為PDM Q QEM如圖三PPD PM所以.二丁共邊定理：若直線AB和PQ相交于點 M（4種情況）則有PAB-PMqAB = qm圖三圖四最常應用到的其實是圖一，無論在三角形或四邊形上我們喜歡用共邊2方的不同三角形面積比來比曲線段比。（圖形不重疊）圖二的比例圖形有重疊，所以線段長度也是重疊比圖三就是“燕尾定理”圖形不重疊，所以線段比不重疊。圖四是四邊形，做比的三角形有重疊，而比值是四邊形的頂：延長 線段QM（切記，唯一對比線段不在圖形內(nèi)的哈 ）共邊定理的證明S PABS qAB =PMQM1 , M點是PQ和AB延長后的交點2,取N ,使得MN長度=ABS PAB s PNM3、丁/屋=S QNMPNM 和QNM 是等高，塞瓦定理（燕尾定理模型補充）三邊比例互乘為1在AABC內(nèi)任取一點 O,直線AO、BO、CO分別交對邊于 E、F、D ,則得出BE C