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1、空間向量的數(shù)量積學(xué)科:高中數(shù)學(xué)年級:高二學(xué)校:行知中學(xué)執(zhí)教者:李曉郁教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能:在充分了解平面向量的概念、運算及空間向量的概念、向量的加、減以及數(shù)乘向量等運算基礎(chǔ)上,進一步類比探究并獲得空間向量的數(shù)量積的定 義、性質(zhì)并掌握空間向量數(shù)量積的應(yīng)用.2、過程與方法體會數(shù)學(xué)拓寬、發(fā)展的一種方法,親身體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.3、情感態(tài)度價值觀領(lǐng)略數(shù)學(xué)嚴(yán)謹、系統(tǒng)、基礎(chǔ)、實用的魅力.教學(xué)重點、難點1、重點:應(yīng)用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何問題2、難點:應(yīng)用空間向量的數(shù)量積解決異面直線所成角的問題教學(xué)方法在“四動策略”的前提下,以“問題驅(qū)動”為切入點,創(chuàng)設(shè)一種多元互動的 學(xué)習(xí)氛圍.教學(xué)過程一、回
2、顧舊知、引入新課(回顧平面向量的數(shù)量積的相關(guān)知識:)平面向量的數(shù)量積定義:向量形式a - b = I a II b I cos 0( 0 0 K)坐標(biāo)形式若 a = x , y , b = x , y ,則 a - b = n + yy11221212平面向量的夾角公式:若a與b是平面兩非零向量,它們的夾角為0,則a - bx x + y ycos 0 = : =. 1 2I a I- I b I x 2 + y 2 x 2 + y 21122平面向量的性質(zhì):兩非零向量a與b垂直的充要條件是:a b = a - b = 0 = x x +yy = 0 兩非零向量a與b平行的充要條件是:a/b。
3、a b= ia iib3 b=ka二、類比探究、獲取新知空間向量的數(shù)量積定義:向量形式 a b = I a II b I cos 0( 0 0 k)frb b坐標(biāo)形式右 a = x , y , z ,b = x , y , z ,則 a b = xx + yy + z z111222121212空間向量的夾角公式:若a與b是空間兩非零向量,它們的夾角為0,則a bx x + yy + z z TOC o 1-5 h z cos 0 = ; =21 2I a I I b I 弋 x2+ y2+ z2 x2+ y2+ z2111222空間向量的性質(zhì):r兩非零向量a與b垂直的充要條件是:a b。a
4、b = 0。x x + yy + z z = 0_121212f f f 兩非零向量a與b平行的充要條件是:a / bO a b= I a II b Iob= ka三、回味建構(gòu)、應(yīng)用拓展(課堂討論,共同探究)問題驅(qū)動:向量融數(shù)形于一體,具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份,那么它除 了在平面幾何中的應(yīng)用外,還可以幫助我們解決哪些立體幾何的問題 呢?應(yīng)用之一:處理角的問題(重點)BC1GC TOC o 1-5 h z 問題:在邊長為2的正方體中,AC交B0于E,G為CC1的中點, 求:1 .異面直線A1E與BC1所成角;A1BC1GC2.異面直線AE與BG所成角.(由學(xué)生完成)11解1:如圖,建立適
5、當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,得相關(guān)點的 坐標(biāo):A1 (2,0,2),E(1,1,0),B(2,2,0),C1 (0,2,2)A貝U A E =T,1,-2,BC =-2,0,2. I AE I = P6,I BC I= 2*2 .設(shè)A1E設(shè)A1E與BC1所成角為0,則cos 0 =A】EBC I A1E II BC 1 IV3v;30 = arccos 6即A1E與BC1所成角為arccos 6應(yīng)用之二:處理垂直問題問題:已知條件不變,求證:&EL平面OGB.(此題結(jié)論可在題1的基礎(chǔ)上得到.)應(yīng)用之三:處理平行問題問題:在正方體中ABCD-A1B1C1D1中,Q是AB的中點,P是BC 的中點. Ai求證:PQ/平面A1BC1(通過證明Pq與京 平行,從而證明線面平行)練習(xí)(由學(xué)生舉例)1 1四、小結(jié)內(nèi)容、練習(xí)實踐A從平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)推廣得到有關(guān)空間向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)(類 比思想);A向量數(shù)量積解決幾何問題有兩種方式;向量數(shù)量積為解決立體幾何中平行、垂直及有關(guān)角度等問題提供了一種新的方法;體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化,即代數(shù)方法解決幾何問題(數(shù)形結(jié)合思想).課外練習(xí): 若 A(m+1, n-1, 3),B(2m , n, m-2n)
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