標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差之歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編

1、歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編時(shí)間:2021.03. 03時(shí)間:2021.03. 03標(biāo)準(zhǔn)偏差 （也稱標(biāo)準(zhǔn)離差或均方根差）是反映一組測(cè)量數(shù)指 標(biāo)配合使用。標(biāo)準(zhǔn)偏差在誤差理論、質(zhì)量管理、計(jì)量型抽樣試驗(yàn)等 領(lǐng)域中均得到了廣泛的應(yīng)用。因此，標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算十分 重要，它的準(zhǔn)確與否關(guān)于器具的不確定度、測(cè)量的不確定度 以及所接受產(chǎn)品的質(zhì)量有童要影響。然而在關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)偏差的 計(jì)算中，不少人不論測(cè)量次數(shù)多少，均按貝塞爾公式計(jì)算。樣本標(biāo)準(zhǔn)華的表示公式數(shù)學(xué)表達(dá)式:S標(biāo)準(zhǔn)偏差（）n-試樣總數(shù)或測(cè)量次數(shù)，一般n20-30個(gè)i 物料中某成分的各次測(cè)量值，1 一n；標(biāo)準(zhǔn)偏竝的使用方法z在價(jià)格變化劇烈時(shí)，該指標(biāo) 值

2、通常很高。如果價(jià)格保持平穩(wěn)，這個(gè)指 標(biāo)值不高 O在價(jià)格發(fā)生劇烈的上漲/下降 之前，該指標(biāo)值總是很低。標(biāo)準(zhǔn)飾差的計(jì)算步驟標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟是：步驟一、(每個(gè)樣本數(shù)據(jù)-樣本全部數(shù)據(jù)之平均值)2。步驟二、把步驟一所得的各個(gè)數(shù)值相加。步驟三、把步驟二的結(jié)果除以1) (f指樣本數(shù) 準(zhǔn)偏差O六個(gè)計(jì)葬標(biāo)準(zhǔn)倫蔓的公式標(biāo)準(zhǔn)偏蓋的現(xiàn)論計(jì)葬公式設(shè)關(guān)于真值為 X 的某量進(jìn)行一組等楙度測(cè)量，其測(cè)得值為h、2、令測(cè)得值1與該量真值X之差為真差6則有6 = 1 廠X02 =【2 _ X我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)差）Q為=lim=limn QQ和w(1)由于真值 X 都是不可知的，因此真差O 占也就無(wú)法求 得，故式只有理論意

3、義而無(wú)實(shí)用價(jià)值。標(biāo)準(zhǔn)飾竝的常用估量一貝 套爾公式由于真值是不可知的，在實(shí)際應(yīng)用中.我們常用n次測(cè)/ 1亦+仁來(lái)代表真值。n理論上也表明，隨著測(cè)量次數(shù)的増多，算術(shù)平均值最接近真 值，當(dāng)冗 T 00時(shí)，算術(shù)平均值就是真值。于是我們用測(cè)得值厶與算術(shù)平均值乙之差剩余誤差（也叫殘差）匕來(lái)代替真差 6 即設(shè)一組等楙度測(cè)量值為、In則 Vi = li L經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差o與剩余誤差V的關(guān)系為將上式代入式（1）有式（）（）它用于有限次測(cè)量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算。由于當(dāng)72 t ，乙一丁，（他一1） f o見(jiàn)貝塞爾公式與o的定義式（1）是完全一致的。歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編應(yīng)該指出，在 n 有限時(shí)，用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)

4、準(zhǔn) 偏差O 的一個(gè)估量值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 O。因此，我們 稱式(2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差o 的常用估量。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，我們 將 o 的估量值用“S 表示。于是，將式(2)改寫(xiě)為1n 在求S 時(shí)，為免去求算術(shù)平均值厶的麻煩，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(進(jìn)程從略)有于是，式(2J 可寫(xiě)為I?(珀滬n(2”)按式(2求S時(shí)，只需求出各測(cè)得值的平方和i=i 和各n(E2測(cè)得值之和的平方藝1=1,即可標(biāo)準(zhǔn)飾菱O的夭侑估量數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義S?為樣本方差CT2數(shù)學(xué)上已經(jīng)表明S?是總體方差O?的無(wú)偏估量。即大量反復(fù)試驗(yàn)中CT2歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編而式（2）在n有限時(shí),S并且不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差o的無(wú)偏估量,也就是說(shuō)S和o之o的無(wú)偏估

5、計(jì)值庁為則 a = Si = KbS即$和S僅相差一個(gè)系數(shù)KKG是與樣本個(gè)數(shù)測(cè)量次 數(shù)有關(guān)的一個(gè)系數(shù)，Ko值見(jiàn)表。計(jì)算KG 時(shí)用到r（ + 1）= nr（n）歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編1an歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編人值4a23 - 781.0424201.0562251.0132601.0105701.00431,00365；1.06385；1.0638101.0281軻1.00641.002861.0509r（i）= i151,018050L0051100L0025a.1.031730901.00321 n30 時(shí)，K” = 1.0087 = 1。因此，當(dāng) n30 (3)和式(2)之間的n=3O 50 時(shí)，最宜用貝塞爾公

6、式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)nvlO 時(shí)，由于 K影響已不可忽略，宜用式(3)，標(biāo)準(zhǔn)偏菱的最大似無(wú)估量o 的定義式(1)中的真值 X 用算術(shù)平均值代替且當(dāng)n 有限時(shí)就得到（以-1=1仏）2n歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編式（4）適用于n50時(shí)的情況、當(dāng)n50時(shí)（n-1）關(guān)于計(jì) 算結(jié)的影響就很小了。2.5 a 極差用表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽 取的n 個(gè)樣本測(cè)得值中的最大值與最小值之差。若關(guān)于某量作次等精度測(cè)量測(cè)得 /I、仏In, 且它們服 從正態(tài)分布，則R = I max Lnin公式為(5)S3o2為與樣本個(gè)數(shù)n（）2由表 2 知，當(dāng) n15 時(shí),血 w 血，因此，標(biāo)準(zhǔn)偏差o 更粗 略的估量值為歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)

7、編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編(5)還可以看出，當(dāng) 200n1000 時(shí)，26 因而又有顯然，不需查表利用式(5)和(5”)了即可關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)偏差值 作出快速估量，用以關(guān)于用貝塞爾公式及其他公式的計(jì)算結(jié) 果進(jìn)行校核。應(yīng)指出，式(5)5n10時(shí)，由于舍去數(shù)據(jù)信息較多，因此誤差較大，為了提高準(zhǔn)確度，這時(shí)應(yīng)將測(cè)得值分成四個(gè)或五一組，先求各組的極差/?R2 再 由各組極差求出極差平均值乩極差平均值 R 和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為O需指出，此時(shí)2大小要用每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)查表2再則，分組時(shí)一定要按測(cè)得值的先后J幀序排列，不能打亂或顛倒。O標(biāo)準(zhǔn)傭茲G 的平均獲拯估量平均誤差的定義為誤差理論紿出矽= = 0

8、.7979(7 a -aV 7T5(A)nn.歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編i=-1=1i=-1=1的關(guān)-系為(表明從略)77 =于是1X1nEIK-l廠1)(B)由式(A)和式(B)得從而有式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.l856)5值、由于rightlVrightlT吏用條件與貝塞爾公式 相似。標(biāo)準(zhǔn)飾菱的應(yīng)用實(shí)例關(guān)于標(biāo)稱值Ra0.160mathWmath的一塊粗糙15個(gè)數(shù)據(jù):1.45J.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74 和 1.63(.1/77,試求該樣塊 凡的平均

9、值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并且 判斷其合格否。解：1)先求平均值】2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差 S若用 無(wú)偏極差估量公式式(5)計(jì)蘇，首先將測(cè)得的,15個(gè)數(shù)據(jù)按尿順序分為三組，毎組五見(jiàn)農(nóng) 3。組號(hào)1_11_5R11.481.651.601.671.520.1921.461.721.691.771.640.3131.561.501.641.74130.24 = -43因每組為 5 個(gè)數(shù)據(jù).按n=5 由表 2 查得乙 2若按常用估量即貝塞爾公式式(2J ,則若按無(wú)偏估量公式即式(3)計(jì)算，因 n=15,由表 1 查得K1.01&則若按最大似然估量公式即式(4)計(jì)算，則=0.09296( math卩加 math若按平均誤差估

10、量公式即式(6),則 現(xiàn)在用式(5)關(guān)于以上計(jì)算進(jìn)行校核S、S1、5*2S3 和S4 沒(méi)有粗大誤差。由以上計(jì)算結(jié)果可知0.092960.09620.09790.10170.1062Si5） 勺召-亍）2H 一 2,=1歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)創(chuàng)編或或aVW-1相關(guān)于俁差（）n相關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)偏差-X100%XS=-xlOO%X定值與真實(shí)值契合的程度絕關(guān)于娛蔓：測(cè)量值（或多次測(cè)定的平均值）與真（實(shí)）示。相關(guān)于娛墓：絕關(guān)于誤差與真值的比值稱為相關(guān)于誤差。常用百 分?jǐn)?shù)表示o絕關(guān)于誤差可正可負(fù)，可以表明測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度，但 不能反映誤差在測(cè)量值中所占比例，相關(guān)于誤差反映測(cè)量誤 差在測(cè)量

11、結(jié)果中所占的比例，衡量相關(guān)于誤差更有意義。0.5cm的尺測(cè)量長(zhǎng)度，可以讀準(zhǔn)到cm,0.1cm;1mm0,1mm,該尺測(cè)量的絕關(guān)于誤差為 0.1mm。0.1mg,2mg,0.1%,少應(yīng)稱量多少樣本？=X解： Z IOO% = U IJUU2g=Xw 0.2go答：稱量樣本量應(yīng)不小于 0.2go真值(“):真值是客觀存在的，但任何測(cè)量都存在誤 差，故真值只能逼近而不可測(cè)知，實(shí)際工作中，往往用“標(biāo)準(zhǔn)值”代替“真值”。標(biāo)準(zhǔn)值：采用多種可靠的分析 方法、由具有豐富經(jīng)驗(yàn)的分析人員經(jīng)過(guò)反復(fù)多次測(cè)定傅出 的結(jié)果平均值。精密皮：幾次平行測(cè)定結(jié)果相互接近的程度。各次測(cè)定結(jié)果越接近，精密度越高，用偏差衡量楙密 度O

12、 偸菱:單次測(cè)量值與樣本平均值之差：a 二召-兀平均僞M：各次測(cè)量偏差絕關(guān)于值的平均值。相關(guān)于平均倔拯：平均偏差與平均值的比值。標(biāo)準(zhǔn)侑蔓：各次測(cè)量偏差的平方和平均值再開(kāi)方，比平均 偏差更靈敏的反映較大偏差的存在，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上更有怠 義。相關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)偏差(變異系數(shù))例：分析鐵礦石中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，傅到如下數(shù)據(jù)：37.45, 37.20, 37.50, 37.30, 37.25 (%),計(jì)算測(cè)結(jié)果的 平均值、平均偏差、相關(guān)于平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、變異系數(shù)。解：=37.34%各次測(cè)量的偏差訣別是：011, -0.14, -0.04, 0.16, -0.195=(0.11+0.14+0.04+0.16+0.19) /5 =0