22函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、第2課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與最值1理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)討論和證明一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的單調(diào)性2理解函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義，并能求出一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的最大(小)值對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P12【梳理自測(cè)】一、函數(shù)的單調(diào)性1下列函數(shù)f(x)中滿足“對(duì)任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)eq f(1,x)Bf(x)(x1)2Cf(x)e2 Df(x)ln(x1)2函數(shù)yx22x3(x0)的單調(diào)增區(qū)間是()A(0，) B(1，)C(，1) D(，3答案：1.A2.A以上題目主要考查了以下內(nèi)容：(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定

2、義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間二、函數(shù)的最值1(教材改編)f(x)x22x(x2，4)的最小值為_(kāi)，最大值為_(kāi)2(教材改編)函數(shù)f(x)eq f(2x,x1)在1，2的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)答案：1.182.eq f(4,3)1以上題目主要考查了以下內(nèi)容：前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果

3、存在實(shí)數(shù)M滿足條件對(duì)于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M對(duì)于任意xI，都有f(x)M存在x0I，使得f(x0)M結(jié)論M為最大值M為最小值【指點(diǎn)迷津】1函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性，從定義上看，是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性，是局部的特征在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)如yx2在(，)上不具有單調(diào)性 .2f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增與函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為a，b的含義不同3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域4單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，不能用并集符號(hào)“

4、”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)如函數(shù)yeq f(1,x)的單調(diào)減區(qū)間為(，0)(0，)是錯(cuò)誤的對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P12考向一判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)f(x)eq f(ax,x1)在(1，)上的單調(diào)性，并證明【審題視點(diǎn)】利用單調(diào)性定義證明【典例精講】當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yf(x)在(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yf(x)在(1，)上單調(diào)遞減證明如下：設(shè)1x1x2，則f(x1)f(x2)eq f(ax1,x11)eq f(ax2,x21)eq f(ax1（x21）ax2（x11）,（x11）（x21）)eq f(a（x1x2）,（x11）（x21）)1x1x2，x1x20，x110，x210.當(dāng)a0時(shí)，f(x1

5、)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)yf(x)在(1，)上單調(diào)遞增同理當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)yf(x)在(1，)上單調(diào)遞減【類題通法】(1)判定(或證明)函數(shù)單調(diào)性的主要方法有：能畫(huà)出圖象的函數(shù)，用圖象法能作差變形的用定義法能求導(dǎo)的函數(shù)用導(dǎo)數(shù)法由基本初等函數(shù)通過(guò)加、減運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)，用轉(zhuǎn)化法(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)先求定義域；(3)用定義法判斷(或證明)函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：取值作差變形判號(hào)定論，其中變形為關(guān)鍵，而變形的方法有因式分解、配方法等1試討論函數(shù)f(x)eq f(ax,x1)(a0)在(1，1)上的單調(diào)性解析：設(shè)1x1x21

6、，f(x)aeq f(x11,x1)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,x1)，f(x1)f(x2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,x11)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,x21)aeq f(x2x1,（x11）（x21）)當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1，1)上遞減；當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1，1)上遞增考向二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)函數(shù)f(x)xeq f(a,x)(a0)(x0)；(2)函數(shù)yeq r(x2x6).【審

7、題視點(diǎn)】(1)用定義法，(2)用復(fù)合函數(shù)法【典例精講】(1)設(shè)x1x2，f(x1)f(x2)x1eq f(a,x1)(x2eq f(a,x2)(x1x2)eq f(a（x2x1）,x1x2)(x1x2)eq f(（x1x2a）,x1x2)當(dāng)0 x1x2eq r(a)時(shí)，x1x2a，f(x1)f(x2)0.在(0，eq r(a)上，f(x)是減函數(shù)當(dāng)eq r(a)x1x2時(shí)，x1x2a，f(x1)f(x2)0，f(x)在(eq r(a)，)上是增函數(shù)，f(x)xeq f(a,x)(a0)的增區(qū)間為(eq r(a)，)，減區(qū)間為(0，eq r(a)(2)令ux2x6，yeq r(x2x6)可以看作

8、有yeq r(u)與ux2x6的復(fù)合函數(shù)由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是減函數(shù)，在2，)上是增函數(shù)，而yeq r(u)在(0，)上是增函數(shù)yeq r(x2x6)的單調(diào)減區(qū)間為(，3，單調(diào)增區(qū)間為2，)【類題通法】求單調(diào)區(qū)間的方法(首先求定義域)1定義法：注意證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義和導(dǎo)數(shù)法2圖象法：圖象上升區(qū)間為增區(qū)間；圖象下降區(qū)間為減區(qū)間3導(dǎo)數(shù)法：f(x)0的解的區(qū)間為增區(qū)間；f(x)0的解的區(qū)間為減區(qū)間4復(fù)合函數(shù)法：按復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2(1)函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)(2)函數(shù)yx|1x|的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)解析：(1)函

9、數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)，令t2x1(t0)，因?yàn)閥log5t在t(0，)上為增函數(shù)，t2x1在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，).(2)yx|1x|eq blc(avs4alco1(1，x1，,2x1，x1.)作出該函數(shù)的圖象如圖所示由圖象可知，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(，1，無(wú)單調(diào)減區(qū)間答案：(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)(2)(，1考向三利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式(2

10、014山東濟(jì)寧二模)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上遞增，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)0，則滿足f(logeq sdo9(f(1,8)x)0的x的取值范圍是()A(0，)B.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)(2，)C.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)【審題視點(diǎn)】根據(jù)單調(diào)性剝?nèi)ァ癴”符號(hào)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)不等式【典例精講】由f(x)f(x)f(|x|)得f(|logeq sdo9(f(1,8)x|)

11、feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，于是|logeq sdo9(f(1,8)x|eq f(1,3)，解出答案，可知選B.【答案】B【類題通法】根據(jù)函數(shù)yf(x)的單調(diào)性，由x1、x2的大小，可比較f(x1)與f(x2)的大小反之知f(x1)與f(x2)的大小，可得x1與x2的大小，即剝?nèi)ァ癴”符號(hào)解不等式3定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x20，)(x1x2)，有eq f(f（x2）f（x1）,x2x1)0，則()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)解析：選A.由題意得，在0，)上，eq

12、 f(f（x2）f（x1）,x2x1)0，故f(x)在0，)上單調(diào)遞減，且滿足nN*時(shí)，f(2)f(2)，3210，得f(3)f(2)f(1)，故選A.考向四函數(shù)的最值及應(yīng)用(2014昆明模擬)已知函數(shù)f(x)eq f(x22xa,x)，x1，)(1)當(dāng)aeq f(1,2)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對(duì)任意x1，)，f(x)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍【審題視點(diǎn)】(1)利用單調(diào)性求最小值(2)當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)min0，求a.【典例精講】(1)當(dāng)aeq f(1,2)，f(x)xeq f(1,2x)2，f(x)1eq f(1,2x2)，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)0恒成立，f(x)在1，

13、)上是增函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取最小值，f(1)eq f(7,2).故f(x)mineq f(7,2).(2)要使f(x)0，x1，)恒成立，即x22xa0，x1，)恒成立設(shè)g(x)x22xa(x1)2a1，當(dāng)x1，)時(shí)，g(x)min3a.3a0，a3即可，a(3，)【類題通法】1.求函數(shù)最值的常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值；(5

14、)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值2恒成立問(wèn)題的解法(1)mf(x)恒成立mf(x)max；(2)mf(x)恒成立mf(x)min.4(2014荊州市高三質(zhì)量檢測(cè))函數(shù)f(x)|x33x2t|，x0，4的最大值記為g(t)，當(dāng)t在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，g(t)的最小值為_(kāi)解析：令g(x)x33x2t，則g(x)3x26x，令g(x)0，則x0或x2，在0，2上g(x)為減函數(shù)，在2，4上g(x)為增函數(shù)，故f(x)的最大值g(t)max|g(0)|，|g(2)|，|g(4)|，又|g(0)|t|，|g(2)|4t|，|g(4)|16t|，在同一坐標(biāo)系中分別作

15、出它們的圖象，由圖象可知，在y16t(t16)與y4t(t4)的交點(diǎn)處，g(t)取得最小值，由16t4t，得2t12，t6，g(t)min10.答案：10對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P14 求函數(shù)在閉區(qū)間上最值和單調(diào)性應(yīng)用(2014鄭州市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)eq f(1x,ax)ln x.(1)當(dāng)aeq f(1,2)時(shí)，求f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)若函數(shù)g(x)f(x)eq f(1,4)x在1，e上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍【審題視點(diǎn)】(1)利用求導(dǎo)法求極值再與f(1)，f(e)比較得最值(2)g(x)在1，e上遞增可轉(zhuǎn)化為g(x)0在1，e上恒成立，求解a.【思維流程】aeq f(

16、1,2)時(shí)，化簡(jiǎn)f(x)求導(dǎo)，并求出f(x)0的根判斷單調(diào)性，確定極值點(diǎn)求極值，并確定最值確定g(x)并求導(dǎo)轉(zhuǎn)化題意，求解g(x)0恒成立問(wèn)題利用二次函數(shù)求a的范圍【規(guī)范解答】(1)當(dāng)aeq f(1,2)時(shí)，f(x)eq f(2（1x）,x)ln x，f(x)eq f(x2,x2)，令f(x)0，得x2，當(dāng)x1，2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在1，2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(2，e時(shí)，f(x)0，故f(x)在(2，e上單調(diào)遞增，f(x)在區(qū)間1，e上有唯一的極小值點(diǎn)，故f(x)minf(x)極小值f(2)ln 21.3分又f(1)0，f(e)eq f(2e,e)0.f(x)在區(qū)間1，e上的最大值f(

17、x)maxf(1)0.5分綜上可知，函數(shù)f(x)在1，e上的最大值是0，最小值是ln 21.6分(2)g(x)f(x)eq f(1,4)xeq f(1x,ax)ln xeq f(1,4)x，g(x)eq f(ax24ax4,4ax2)(a0)，設(shè)(x)ax24ax4，由題意知，只需(x)0在1，e上恒成立即可滿足題意.9分a0，函數(shù)(x)的圖象的對(duì)稱軸為x2，只需(1)3a40，即aeq f(4,3)即可故正實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq blcrc)(avs4alco1(f(4,3)，).12分【規(guī)范建議】(1)區(qū)分極值與最值(2)正確轉(zhuǎn)化題意，如本題(2)中轉(zhuǎn)化為g(x)0恒成立時(shí)求a的范圍切記不

18、能去掉“”號(hào)1(2012高考陜西卷)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()Ayx1Byx3Cyeq f(1,x) Dyx|x|答案：D2(2013高考北京卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的是()Ayeq f(1,x) ByexCyx21 Dylg|x|解析：選C.利用偶函數(shù)的定義及函數(shù)單調(diào)性的判斷方法求解A項(xiàng)，yeq f(1,x)是奇函數(shù)，故不正確；B項(xiàng)，yex為非奇非偶函數(shù)，故不正確；C，D兩項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，且yx21在(0，)上是減函數(shù)，ylg|x|在(0，)上是增函數(shù)，故選C.3(2013高考全國(guó)大綱卷)若函數(shù)f(x)x2axeq f(1,x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A1，0 B1，)C0，3 D3，)解析：選D.由題意知f(x)0對(duì)任意的xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)恒成立，又f(x)2xaeq f(1,x2)，所以2xaeq f(1,x2)0對(duì)任意的xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)恒成立，分離參數(shù)得aeq f(1,x2)2x，若滿足題意，需aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)2x)eq sdo7(max).令h(x)eq f(1,x2)2x，xeq blc(