函數(shù)恒成立問題端點效應

1、函數(shù)恒成立專題01：可求最值型基礎知識：(1)不等式f(x)0在定義域內(nèi)恒成立，等價于fQ)0；min(2)不等式f(x)0在定義域內(nèi)恒成立，等價于f(x)0，f(x)=12x4lnx-3x4-c-2c2恒成立，求c的取值范圍?！纠?】函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1)-kx+1在區(qū)間(-上恒有f(x)0，求k可以取到的最大整數(shù)?！咀兪?】函數(shù)f(x)=-2x2+4x,g(x)=aInx(a0)，若f(x)0時，(x-k)f(x)+x+10，求k的最大值。【變式3】【2012新課標理】已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+1x22I求f(x)的解析式及單調區(qū)間；II若

2、f(x)x2+ax+b，求(a+1)b的值。2專題02：分離變量型基礎知識：分離變量的核心思想就是為了簡化解題，希望同學通過以下例子有所感悟【例1】【2010天津】函數(shù)f(x)=x2-1,對任意3、xxG一,+8,f()-4m2f(x)f(x-1)+4f(m)恒成立，求頭數(shù)m的取值范圍。_2Jm【變式1】【2010安徽】若不等式(-a2)(x2+1)+x0對一切x(0,21恒成立，求a的取值范圍。1,1,、，、一【例2】若函數(shù)f(x)=x2+ax+1在1,+j上單調遞增，求a的取值范圍。x_2J【變式2】【2012湖北】若f(x)=-1x2+bln(x+2)在(-1,+s)上是減函數(shù)，求b的取

3、值范圍。2【變式3】【2014江西】已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+b)%.!二I!(bR)，若f(x)在區(qū)間(0,3)上單調遞增，求b的取值范圍。專題03：端點與一次函數(shù)、二次函數(shù)基礎知識：(1)研究發(fā)現(xiàn)，恒成立與區(qū)間的端點有很深的淵源。首先來看一些恒成立的問題，通過這些常見的例子，我們要把函數(shù)恒成立問題與端點之間的這一層面紗一點一點揭開。(2)一次函數(shù)的恒成立很簡單，如果一個問題能轉化成一次函數(shù)恒成立問題，那就要盡量轉化。【例1】【2009北京】若f(x)=xex(k豐0)在(-1,1)上單調遞增，求k的取值范圍。引申：我們的習慣思維都是默認字母x為函數(shù)的自變量，而像a,m,t這樣的字母代

4、表參數(shù)，但其實x,a,m,t這樣的字母只是一個代號而已，是人為賦予了其身份，這意味著自變量和參數(shù)的身份并非絕對，若題目需要求解參數(shù)的取值范圍，在此需要牢記一點：將待求的變量視為參數(shù)，不要受慣性思維的限制而非要將x視為函數(shù)的自變量，這個方法稱為“變換主元法”?！纠?】【2009福建】已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1的導函數(shù)為f(x),g(x)=f(x)-ax-3.若對滿足-1a1的一切a的值，都有g(x)0，求實數(shù)x的取值范圍?！纠?】【2008天津】已知函數(shù)f(x)=x+a+b(x中0),a,beR，若對于任意的ae1,2卜不式f(x)x2-x-a+1對任意ae(0,+8)恒成立，求實數(shù)x的

5、取值范圍。(3)對于一次函數(shù)或任何單調函數(shù)而言，最值必在端點處取得。若函數(shù)不單調，那情形又如何呢？設f(x)=ax2+bx+c(a0)在la,內(nèi)上不單調且恒大于零，那么,b1b1f(x)在a,-一上遞減，在-,B上遞增，故f(x)的最大值也必然在端點處TOC o 1-5 h z2aL2a取得。所以對于任何一個函數(shù)f(x)而言，若他在區(qū)間上是先減后增，則其最大值fqfq)0,fQ2)0；f(x)=ax2+bx+c(a0)在x,x上非正，等價于12f(x)=ax2+bx+c(a0時，若函數(shù)f(x)在區(qū)間匚1,21上是單調函數(shù)，求a的取值范圍.【例2】【2008江蘇】設函數(shù)f(x)=ax3-3x+1

6、，若對于xel-1,1總有f(x)0恒成立，則a說明：在例1和例2中，都是事先考慮函數(shù)在端點的情形，雖然通過端點不能得到最終結果，但例1通過端點可以不必考慮單增情形，例2通過端點可以縮小a的范圍，我們把這種通過端點來縮小參數(shù)取值范圍的方法稱為“端點效應”。函數(shù)在端點處的取值有以下三種情形：(1)f(x)在區(qū)間a,b的端點a和b處均有定義且1fm0,f(b)豐0；(2)f(x)在區(qū)間(a,b)的端點a或b處無定義或區(qū)間是無限區(qū)間(a,+4(-8,b)；(3)f(x)在區(qū)間(a,b)的端點a或b處有f(a)=0或f(b)=0。一、端點處的取值有意義且不為0【例1】【2008天津】設f(x)是定義在

7、R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)=x2，若對任意的1t,t+2，不等式f(x+1)2f(x)恒成立，則t的取值范圍是()A.B.b,y)C.(0,2D.B.b,y)C.(0,2D.L2,-1【例2】若f(x)=ax2(3a)x+2a0在bl上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是【變式1】【2013全國卷】已知函數(shù)f(x)-x3+3ax2+3x+1,當x金匕+)時，f(x)0,求a的取值范圍。【變式2】【2012江西】已知函數(shù)f(x)-L2-(a+1)x+3在b1上單調遞減，求a的取值范圍。一、.，、_311,一【變式3】【2010天津】已知函數(shù)f(x)-ax3-x2+1,a0，若在區(qū)間-,上f(x)

8、0恒222成立，求a的取值范圍。二、端點處的取值沒有意義且趨于無窮f(x)-lnx的定義域是(0,+8)，且當x趨于0時，f(x)-lnx趨于負無窮，當x趨于+8時，f(x)=lnx趨于正無窮，為了后面方便表述，記f(0)-8,f(+8)=+8。然后不管函數(shù)f(x)在區(qū)間的端點a處有沒有意義，也不管a是否為無窮，我們均記f(a)為當x趨于a時f(x)的值。這樣的記法為了后面的敘述。則a的取值范圍是()D.(2,2)B.I【例1】【2012新課標】當0則a的取值范圍是()D.(2,2)B.I【例2】函數(shù)f(x)=alnx+-x2-(1+a)x(x0)，若f(x)0對定義域內(nèi)任意x恒成立，求實數(shù)2

9、a的取值范圍?！纠?】【2012天津】函數(shù)f(x)-x-,Vx11,+8),f(mx)+mf(x)-2時，f(x)kg(x)，求k的取值范圍?！纠?】【2009江西】已知函數(shù)f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx，若對于任一實數(shù)x,f(x)與g(x)的值至少有一個為正，則m的取值范圍是.【變式1】不等式log(x2-2x+3)2)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()aA.(0,1B.J1,lC.(1,3)D3,+8)I3L3)【變式2】【2011北京】設函數(shù)f(x)=(x-k)2e：，若對于任意的xe(0,+8)，都有f(x)1，e求實數(shù)k的取值范圍?！咀兪?】【2014江蘇】已知

10、函數(shù)f(x)=e+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若關于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍?！咀兪?】【2012北京文】已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2，若VxeR,f(x)0或g(x)0，則m的取值范圍是.【變式5】【2012北京理】已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2，若同時滿足(1)VxeR,f(x)0或g(x)0；(2)3xe(-s,-4)f(x)g(x)0時均有a-1)x-11x2-ax-1)0，貝Ua=.【例3】【2009天津】已知f(x)=3x3+x2+(m21)x,m0,f(x)=

11、0有三個不同的實根，分別為0,x,x(xf恒成立，求m的取值范圍。121212【變式1】【2008全國卷】設函數(shù)f(x)=ax3-3x2，若g(x)=f(x)+f(x)(0 x2)在x=0處取得最大值，求a的取值范圍?！咀兪?】【2011湖北】已知x3-3x2+2x=mx有三個不同的實根，分別為0,x,x(xx)，1212且對任意的xetx,x，x3-3x2+2x0在a,b上恒成立，若f(a)=0，則f(a)0；若f(b)=0，則f(b)0f(x)0在la,b上恒成立，若f(a)=0，則f(a)0特別提醒：這里的結論只是必要條件，不一定是充分條件。【例1】【2007全國I理】已知函數(shù)f(x)=

12、e-e-xI證明：f(x)的導數(shù)f(x)2；II若對所有x0都有f(x)ax，求a的取值范圍?！纠?】【2008全國I文】已知函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2I若a=1,求f(x)的單調區(qū)間；2II若x0時，f(x)0,求a的取值范圍。【例3】【2008全國I理】已知函數(shù)f(x)=S1nx【例3】2+cosxI求f(x)的單調區(qū)間;II如果對任何x0時，都有f(x)0時，f(x)0,求a的取值范圍?！纠?】【2013全國理】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-出土R+xI若x0時，f(x)ln2。nn23n2nn4n【例6】【2014全國I理】已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.I討論f(x)的單調性；設g(x)=f(2x)-4bf(x)，當x0時，g(x)0，求b的最大值；III已知1.4142八/21,4143，估計ln2的近似值(精確到0.001).【例7】【2012大綱理】設函數(shù)f(x)=ax+cosx,xeb,冗1I討論f