經(jīng)典層次分析法分析及實例教程

1、經(jīng)典層次分析法分析及實例教程第1頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二層次分析法建模一 問題的提出 日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。例1 購物 買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。例2 旅游 假期旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。第2頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二例3 擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、

2、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素擇業(yè)。例4 科研課題的選擇 由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進行選題。第3頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二 面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當?shù)谋戎亟o用數(shù)學方法解決問題帶來不便。等人20世紀在七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是一種定性和定量相結合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過去研究自

3、然和社會現(xiàn)象主要有機理分析法和統(tǒng)計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學工具分析現(xiàn)象的因果關系，后者以隨機數(shù)學為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學工具之一。第4頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二層次分析法的基本思路：與人們對某一復雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序?qū)⒏鱾€鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆第5頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二二 層次分析法的

4、基本步驟1 建立層次結構模型 一般分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中間是準則層或指標層。例1 的層次結構模型 準則層 方案層目標層買鋼筆質(zhì)量顏色價格外形實用可供選擇的筆第6頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二例2 層次結構模型 準則層A 方案層B目標層Z若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結構，否則稱為不完全層次結構。選擇旅游地景色費用居住飲食旅途蘇州、杭州、桂林第7頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二設某層有個因素，2 構造成對比較矩陣要比較它們對上一層某一準則（或目標）的影響程度，確定在該層中相

5、對于某一準則所占的比重。（即把個因素對上層某一目標的影響程度排序）用 表示第個因素相對于第個因素的比較結果，則則稱為成對比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取19尺度。第8頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二尺度第 個因素與第 個因素的影響相同第 個因素比第 個因素的影響稍強 第 個因素比第 個因素的影響強 第 個因素比第 個因素的影響明強第 個因素比第 個因素的影響絕對地強 含義比較尺度：（19尺度的含義）2,4,6,8表示第個因素相對于第個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。第9頁，共37頁，2022年，5月20日，1

6、7點59分，星期二由上述定義知，成對比較矩陣則稱為正互反陣。比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對目標層Z的影響兩兩比較結果如下：滿足一下性質(zhì)ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。第10頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二由上表，可得成對比較矩陣旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。問題：兩兩進行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上層某因素的影響程度的排序結果呢？第11頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二

7、3 層次單排序及一致性檢驗層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。用權值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權值。例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對比較矩陣由右面矩陣可以看出，第12頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二即，但在例2的成對比較矩陣中，在正互反矩陣 中，若 ,則稱 為一致陣。一致陣的性質(zhì)：5. 的任一列(行)都是對應于特征根 的特征向量。作業(yè)第13頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應于最大特征根 的歸一化特征向量 ，且定理： 階互反陣 的

8、最大特征根 ，當且僅 當 時， 為一致陣。表示下層第 個因素對上層某因素影響程度的權值。若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對應的歸一化特征向量作為權向量 ，則（為什么？）這樣確定權向量的方法稱為特征根法.第14頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二由于 連續(xù)的依賴于 ，則 比 大的越多， 的不一致性越嚴重。用最大特征值對應的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用 數(shù)值的大小來衡量 的不一致程度。定義一致性指標其中 為 的對角線元素之和，也為 的特征根之和。第15頁，共37頁，2022年，5

9、月20日，17點59分，星期二則可得一致性指標 定義隨機一致性指標隨機構造500個成對比較矩陣隨機一致性指標 RI 的數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第16頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率0.1及隨機一致性指標的數(shù)值表，對 進行檢驗的過程。 一般，當一致性比率 的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣，對 加以調(diào)整。時，認為第17頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二4 層次總排序及其

10、一致性檢驗 確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權值過程，稱為層次總排序 從最高層到最低層逐層進行。設： 對總目標Z的排序為的層次單排序為第18頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二即 層第 個因素對總目標的權值為：層的層次總排序為：B層的層次總排序AB第19頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二層次總排序的一致性檢驗設 層 對上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標為 ，隨機一致性指為 ，則層次總排序的一致性比率為：當 時，認為層次總排序通過一致性檢驗。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。第20頁，共37頁，2022年，5月20

11、日，17點59分，星期二1.建立層次結構模型 該結構圖包括目標層，準則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權向量并做一致性檢驗2.構造成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和19尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應的特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權向量；若不通過，需要重新構造成對比較矩陣。第21頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二計算最下層對最上層總排序的權向量。4.計算總排序權向量并做一致性檢驗進行檢驗。若通過，則可按照總排序權向量表示的結果進行決策，否則需要重新考慮模型

12、或重新構造那些一致性比率 較大的成對比較矩陣。利用總排序一致性比率第22頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二三 層次分析法建模舉例旅游問題(1)建模分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。 第23頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二（2）構造成對比較矩陣第24頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二(3)計算層次單排序的權向量和一致性檢驗成對比較矩陣 的最大特征值表明 通過了一致性驗證。故則該特征值對應的歸一化特征向量第25頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二 對成對比較矩陣 可以

13、求層次總排序的權向量并進行一致性檢驗，結果如下： 計算 可知 通過一致性檢驗。第26頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二對總目標的權值為：（4）計算層次總排序權值和一致性檢驗又決策層對總目標的權向量為：同理得， 對總目標的權值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗。第27頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二可作為最后的決策依據(jù)。故最后的決策應為去桂林。又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權重排序為第28頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二四 層次分析法的優(yōu)點和局限性1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較

14、判斷、綜合的思維方式進行決策 ，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。 2 實用性 層次分析法把定性和定量方法結合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性。第29頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得結果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一 只能從原有的方

15、案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。第30頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二第二 該法中的比較、判斷以及結果的計算過程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問題。第三 從建立層次結構模型到給出成對比較矩陣，人主觀 因素對整個過程的影響很大，這就使得結果難以讓 所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法 是克服這個缺點的一種途徑。思考：多名專家的綜合決策問題第31頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二五 正互反陣最大特征值和特征向量實用算法用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當困難，特別是階數(shù)較高時；成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結果，對它的精確計算是沒有必要的。尋找簡便的近似方法。第32頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二定理對于正矩陣 A （A的所有元素為正）1） A 的最大特征根為正單根 ；2） 對應正特征向量 w（w的所有分量為正）；3）其中是對應 的歸一化特征向量。第33頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二1 冪法 步驟如下a) 任取 n 維歸一化初始向量b) 計算c) 歸一化，即令第34頁，共37頁，2022年，5月20日，17點59分，星期二d) 對于預先給定的精度 ，當下式成立時即為所求的特征向量；否則返回b；