的初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)同余式

1、(3) 若ab(modm)bc(modm)，則ac(modm)在代數(shù)中，等式可以相加、相減和相乘，同樣的規(guī)則對(duì)同余定理 2 若 ab(modm)d(modm)，則acbd(modm)，acbd(modm)證 由假設(shè)得mab，m-d，所以m(ac)(bd)， mc(a-b)b(cd)，即acbd(modm)，acbd(modm)由此我們還可以得到：若 ab(modm)k是整數(shù)，n是自然n對(duì)于同余式 acbc(modm)，我們是否能約去公約數(shù) c，得到一個(gè)正確的同余式 ab(modm)？在這個(gè)問(wèn)題上，同余式與等式是不同的例如255(mod 10)，這顯然是不正確的但下面這種情形，相約是可以的定理

2、3 若 acbc(modm)(c，m)=1，則ab(modm)若 a與b對(duì)模m同余，由定義1，有111122121212122且 M=m，m，m表示mmm的最小公倍數(shù)，則112n2n前面介紹了同余式的一些基本內(nèi)容，下面運(yùn)用同余這一工具去解決一些具體問(wèn)題故 271A(7271)=1，所以 1897整除A例 4 把 123，127128這 128個(gè)數(shù)任意排列為 aa212123412123解 因?yàn)閷?duì)于一個(gè)整數(shù)a，有aa(mod 2)， aa(mod 2)，所以nk1=aa+aa+a a 4123a-aaa+a a4n3 k123aaaa+a a (mod 2)，4123因此，每經(jīng)過(guò)一次“運(yùn)算”，這

3、些數(shù)的和的奇偶性是不改變的最終得到的一個(gè)數(shù)2kxaaa 112812如果要求一個(gè)整數(shù)除以某個(gè)正整數(shù)的余數(shù)，同余是一個(gè)有力 10的余數(shù)，求一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)字就是求這個(gè)數(shù)除以 100的余數(shù)例 5 9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被 9除的余數(shù)nnn101(mod 9)，故對(duì)任何整數(shù) k1，有1011(mod 9)knnnk5n-5n2n+2n=0(mod 7)，2903193(mod 271)，(2)因?yàn)?1(mod 8)，所以7(1)-1(mod 8)，7-126(mod 8)，F(xiàn)2 +1，n=01，2，n的數(shù)稱為費(fèi)馬數(shù)證明：當(dāng) n2F的末位數(shù)字是n證 當(dāng) n2時(shí)，2是 4的倍數(shù)，故令2=4t于是nnF=21=2 +1=161tn22617(mod 10)，t22即 F的末位數(shù)字是 7n說(shuō)明 費(fèi)馬數(shù)的頭幾個(gè)是F3F5F17F，F(xiàn)65537，30124它們都是素?cái)?shù)費(fèi)馬便猜測(cè)：對(duì)所有的自然數(shù) n，F(xiàn)都是素n數(shù)然而，這一猜測(cè)是錯(cuò)誤的首先推翻這個(gè)猜測(cè)的是歐拉，他522奇數(shù) =8t+11(mod 8)，222證 對(duì)于任一整數(shù)x，以5為模，有x0，12(mod 5)，2x01，4(mod 5)，2x01，1(mod 5)，422所以 x+y+22，34(mod 5)，44從而所給方程無(wú)整數(shù)解說(shuō)明 活，關(guān)鍵在于確定所取的模(本例我們?nèi)∧?5)，這往往應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)來(lái)確定例 8 (1