無(wú)窮小的比較

1、2. 兩個(gè)重要極限或注: 在同一問(wèn)題中 代表相同的表達(dá)式1.6 內(nèi)容回顧1 . 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則)13、判斷函數(shù)不存在極限或不是的方法利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(P37定理4及推廣)(1). 找一個(gè)滿足條件數(shù)列不存在 .(2). 找兩個(gè)滿足條件的數(shù)列及使(3). 找一個(gè)滿足條件數(shù)列如P42 6,7題2 第一章 都是無(wú)窮小,引例 .但 可見兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限是各種情況均可以發(fā)生 . 1.7 無(wú)窮小的比較=1，不存在3定義.若則稱 是比 高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱 是比 低階的無(wú)窮小;則稱 是 的同階無(wú)窮小;則稱 是關(guān)于 的 k

2、 階無(wú)窮小;則稱 是 的等價(jià)無(wú)窮小,記作4例如 , 當(dāng)時(shí)又如 ，故時(shí)是關(guān)于 x 的二階無(wú)窮小,且5例1. 證明: 當(dāng)時(shí),證:k(0)一般地:時(shí),后面還要補(bǔ)充6定理1.證:即即例如,故本定理在近似計(jì)算方面有應(yīng)用價(jià)值.則如:關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小有下面兩個(gè)定理:7定理2 . 設(shè)且存在(或?yàn)? , 則證:例如,(或?yàn)?設(shè)若=0,則8說(shuō)明:(1) 和差時(shí),不要輕易進(jìn)行等價(jià)代換 等價(jià)無(wú)窮小代換可大大簡(jiǎn)化 型的極限計(jì)算但要注意下述規(guī)則. 事實(shí)上原式=1/2見例2 *和差代替規(guī)則: 例如,例如,見例29(2) 因式代替規(guī)則:即因子積時(shí),各因子可分別作等價(jià)代換.(3) 常用的幾組等價(jià)無(wú)窮小:時(shí)10例2. 求解: 原式

3、 例3. 求解:11內(nèi)容小結(jié)1. 無(wú)窮小的比較設(shè) , 對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小, 且 是 的高階無(wú)窮小 是 的低階無(wú)窮小 是 的同階無(wú)窮小 是 的等價(jià)無(wú)窮小 是 的 k 階無(wú)窮小12思考與練習(xí)P59 題1 , 2 作業(yè) P59 3 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3) 常用等價(jià)無(wú)窮小 :求13二、 函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、 函數(shù)連續(xù)性的定義 1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章 14可見 , 函數(shù)在點(diǎn)一、 函數(shù)連續(xù)性的定義定義:在的某鄰域內(nèi)有定義 , 則稱函數(shù)(1) 在點(diǎn)即(2) 極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;15若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)

4、, 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .例如,在上連續(xù) .又如, 有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有在端點(diǎn)a,b分別是指右連續(xù)和左連續(xù).16對(duì)自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時(shí), 有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:17例1. 證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù) .證: 即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)在內(nèi)連續(xù) .18例2. 證明證:則所以令函數(shù)在內(nèi)連續(xù) .我們證明由x0的任意性得,在內(nèi)連續(xù) .19在在二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù)(2) 函數(shù)不存在;(3) 函數(shù)存在 ,但 不連續(xù) :設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點(diǎn) . 在無(wú)定義 ;(可以是半鄰域)20間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在 ,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在 ,稱若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無(wú)窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn) .21為其無(wú)窮間斷點(diǎn) .為其振蕩間斷點(diǎn) .為可去間斷點(diǎn) .例如:22顯然為其可去間斷點(diǎn) .(4)(5) 為其跳躍間斷點(diǎn) .23內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類